1、专题五二次函数综合题 类型一 线段、周长问题 (5年1考) (2019临邑二模)如图，抛物线yax2bx与x轴交于A(1，0)，B(6，0)两点，D是y轴上一点，连接DA并延长，交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点E在第一象限，过点E作EFx轴于点F，ADO与AEF的面积比为，求出点E的坐标；(3)若D是y轴上的动点，过D点作与x轴平行的直线交抛物线于M，N两点，是否存在点D，使DA2DMDN？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据相似三角形的性质与判定，可得AF的长，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；(3)
2、根据两点间距离可得AD的长，根据根与系数的关系，可得x1x2，根据DA2DMDN，可得关于n的方程，解方程，即可得答案【自主解答】1(2019淄博中考)如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)问在y轴上是否存在一点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值类型二 图形面积问题 (5年1考) (2018菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx5交
3、y轴于点A，交x轴于点B(5，0)和点C(1，0)，过点A作ADx轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求EAD的面积；(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和ABP的最大面积【分析】(1)根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得EAD的面积；(3)根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题【自主解答】2(2019经济开发区
4、二模)如图，已知抛物线yx2bxc经过ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由类型三 抛物线上架构的三角形问题 (5年2考) (2019宁津二模)如图1，已知二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)的图象过点O(0，0)和点A(4，0)，函数图象最低点M的
5、纵坐标为，直线l的解析式为yx.(1)求二次函数的解析式；(2)直线l沿x轴向右平移，得直线l，l与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CEx轴于点E，把BCE沿直线l折叠，当点E恰好落在抛物线上点E时(图2)，求直线l的解析式；(3)在(2)的条件下，直线l与y轴交于点N，把BON绕点O逆时针旋转135得到BON，P为l上的动点，当PBN为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(直角三角形)的问题：首先弄清题意(如等腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)；其次
6、借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点3(2018临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，点B的坐标为(1，0)，抛物线yx2bxc经过A，B两点(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PEDE.求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由类型四 抛物线上架构的四边形问题 (5年1考) (2019包头中考)如图，在平
7、面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若DCBCBD，求点D的坐标；(3)已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点(其中1x2)，连接CE，CF，EF，求CEF面积的最大值及此时点E的坐标(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)将点A(1，0)，B(3，0)代入yax2bx2即
8、可；(2)过点D作DGy轴于G，作DHx轴于H，设点D(1，y)，在RtCGD中，CD2CG2GD2(2y)21，在RtBHD中，BD2BH2HD24y2，可以证明CDBD，即可求y的值；(3)过点E作EQy轴于点Q，过点F作直线FRy轴于R，过点E作FPFR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据SCEFS矩形QRPESCRFSEFP，代入边即可；(4)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M(2，2)或M(4，)或M(2，)【自主解答】解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是
9、否成立遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏4(2019庆云一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA4，OC3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)当POPC的值最小时，求点P的坐标；(3)是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)将A
10、(1，0)，B(6，0)代入函数解析式得解得抛物线的解析式为yx2x.(2)EFx轴于点F，AFE90.AODAFE90，OADFAE，AODAFE.()2，AO1，AF3，OF314.当x4时，y424，点E的坐标是(4，)(3)存在点D，使DA2DMDN，D点坐标为(0，)或(0，3)理由如下：设D点坐标为(0，n)，则AD21n2.当yn时，x2xn，化简得3x221x184n0.设方程的两根为x1，x2，x1x2.DMx1，DNx2，DA2DMDN，即1n2，化简得3n24n150，解得n1，n23，D点坐标为(0，)或(0，3)跟踪训练1解：(1)抛物线yax2bx3过点A(3，0)
11、，B(1，0)，解得这条抛物线对应的函数解析式为yx22x3.(2)在y轴上存在点P，使得PAM为直角三角形理由：yx22x3(x1)24，顶点M(1，4)，AM2(31)24220.设点P坐标为(0，p)，AP232p29p2，MP212(4p)2178pp2.若PAM90，则AM2AP2MP2，209p2178pp2，解得p，P(0，)若APM90，则AP2MP2AM2，9p2178pp220，解得p11，p23，P(0，1)或(0，3)若AMP90，则AM2MP2AP2，20178pp29p2，解得p，P(0，)综上所述，点P坐标为(0，)或(0，1)或(0，3)或(0，)时，PAM为直
12、角三角形(3)如图，过点I作IEx轴于点E，IFAD于点F，IHDG于点H.DGx轴于点G，HGEIEGIHG90，四边形IEGH是矩形点I为ADG的内心，IEIFIH，AEAF，DFDH，EGHG，矩形IEGH是正方形设点I坐标为(m，n)，OEm，HGGEIEn，AFAEOAOE3m，AGGEAEn3m.DAOA3，DHDFDAAF3(3m)m，DGDHHGmn.DG2AG2DA2，(mn)2(n3m)232，化简得m23mn23n0，配方得(m)2(n)2，点I(m，n)与定点Q(，)的距离为，点I在以点Q(，)为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动，当点I在线段CQ上时，CI最小CQ，
13、CICQIQ，CI最小值为.类型二【例2】 (1)抛物线yax2bx5经过点B(5，0)和点C(1，0)，解得抛物线的解析式为yx24x5.(2)抛物线yx24x5交y轴于点A，A点坐标为(0，5)又点E关于x轴的对称点在直线AD上，点E的纵坐标为5.如图，过点E作EFDA，交DA的延长线于点F，EF5|5|10.设点D的坐标为(a，5)，a24a55，a10(舍去)，a24，点D的坐标为(4，5)，AD|4|4，SEADADEF41020.(3)设直线AB的解析式为ykxb，且该直线经过点B(5，0)和点A(0，5)，解得直线AB的解析式为yx5.如图，过点P作PNx轴，垂足为点N，交直线A
14、B于点M.设P(x，x24x5)，则M(x，x5)，SABPSPMBSPMA(x5)(x24x5)5(x25x)(x)2，当x时，SABP最大，最大值为.将x代入yx24x5得y，P点的坐标为(，)，最大面积为.跟踪训练2解：(1)把点A(0，1)，B(9，10)的坐标代入yx2bxc得解得抛物线的解析式是yx22x1.(2)ACx轴，A(0，1)，由x22x11，解得x16，x20，C(6，1)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，由解得则直线AB的解析式为yx1.设点P的坐标为(m，m22m1)，则点E的坐标为(m，m1)，EPm1(m22m1)m23m.ACEP，AC6，S四边形AECP
15、SAECSAPCACEFACPFAC(EFPF)ACPE6(m23m)m29m(m)2.又6m0，则当m时，四边形AECP的面积最大，最大值是，此时点P的坐标是(，)(3)由yx22x1(x3)22得顶点P的坐标是(3，2)，此时PFyFyP3，CFxFxC3，则在RtCFP中，PFCF，PCF45.同理可求EAF45，PCFEAF.如图，可求AB9，AC6，CP3.当CPQ1ABC时，设Q1(t1，1)，由得，解得t14.当CQ2PABC时，设Q2(t2，1)，由得，解得t23.综上所述，使得以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似的Q点坐标为(4，1)或(3，1)类型三【例3】 解：(1)由
16、题意得抛物线的顶点坐标为(2，)，设抛物线的解析式为ya(x2)2.把(0，0)代入得a，抛物线的解析式为y(x2)2x2x.(2)E在抛物线上，E，B关于对称轴对称设直线l的解析式为yxm，B点坐标为(m，0)，则E点坐标为(4m，0)根据题意得42m(4m)2(4m)，解得m13，m22(舍去)，直线l的解析式为yx3.(3)如图，BON是等腰直角三角形，旋转后BON顶点坐标为O(0，0)，B(，)，N(，)当P1与N重合时，P1BN是等腰三角形，此时P1(0，3)当NPNB时，设P(m，m3)，则有(m)2(m3)218，解得m1，m2，P2(，)，P3(，)当BPBN时，延长BO交BN
17、于点F，可得BFBN，BF3.又BNBN3，BFBN.BPBF，这种情况不存在综上所述，满足条件的点P坐标为(0，3)或(，)或(，)跟踪训练3解：(1)在RtABC中，由点B的坐标可知OB1.OC2OB，OC2，则BC3.又tanABC2，AC2BC6，则点A的坐标为(2，6)把点A，B的坐标代入抛物线yx2bxc中得解得该抛物线的解析式为yx23x4.(2)由点A(2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y2x2.如图，设点P的坐标为(m，m23m4)，则点E的坐标为(m，2m2)，点D的坐标为(m，0)，则PEm2m2，DE2m2，由PEDE得m2m2(2m2)，解得m1.又
18、2m1，m1，点P的坐标为(1，6)M在直线PD上，且P(1，6)，设M(1，y)，AM2(12)2(y6)21(y6)2，BM2(11)2y24y2，AB2(12)26245.分三种情况：()当AMB90时，有AM2BM2AB2，1(y6)24y245，解得y3，M(1，3)或(1，3)；()当ABM90时，有AB2BM2AM2，454y21(y6)2，解得y1，M(1，1)()当BAM90时，有AM2AB2BM2，1(y6)2454y2，解得y，M(1，)综上所述，点M的坐标为(1，3)或(1，3)或(1，1)或(1，)类型四【例4】 (1)将点A(1，0)，B(3，0)代入yax2bx2
19、，可得a，b，yx2x2，对称轴x1.(2)如图，过点D作DGy轴于G，作DHx轴于H.设点D(1，y)，C(0，2)，B(3，0)，在RtCGD中，CD2CG2GD2(2y)21，在RtBHD中，BD2BH2HD24y2.在BCD中，DCBCBD，CDBD，CD2BD2，(2y)214y2，y，D(1，)(3)如图，过点E作EQy轴于点Q，过点F作直线FRy轴于R，过点E作FPFR于P，EQRQRPRPE90，四边形QRPE是矩形SCEFS矩形QRPESCRFSEFPSCQEE(x，y)，C(0，2)，F(1，1)，SCEFEQQREQQCCRRFFPEP，SCEFx(y1)x(y2)11(
20、x1)(y1)yx2x2，SCEFx2x，当x时，面积有最大值是，此时E(，)(4)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设N(1，n)，M(x，y)，四边形CMNB是平行四边形时，x2，M(2，)；四边形CNBM是平行四边形时，x2，M(2，2)；四边形CNMB是平行四边形时，x4，M(4，)综上所述，M(2，2)或M(4，)或M(2，)跟踪训练4解：(1)在矩形OABC中，OA4，OC3，A(4，0)，C(0，3)抛物线经过O，A两点，抛物线的顶点的横坐标为2.顶点在BC边上，抛物线顶点坐标为(2，3)设抛物线解析式为ya(x2)23.把(0，0)坐标代入可得0a(02)
21、23，解得a，抛物线解析式为y(x2)23，即yx23x.(2)如图，连接PA.点P在抛物线对称轴上，PAPO，POPCPAPC.当点P与点D重合时，PAPCAC；当点P不与点D重合时，PAPCAC，当点P与点D重合时，POPC的值最小设直线AC的解析式为ykxb.代入A，C坐标得解得直线AC的解析式为yx3.当x2时，y23，则D(2，)，当POPC的值最小时，点P的坐标为(2，)(3)存在当以AC为对角线，四边形AQCP为平行四边形时，点Q为抛物线的顶点，即Q(2，3)，则P(2，0)；当AC为边，四边形AQPC为平行四边形时，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则
22、Q点的横坐标为6，当x6时，yx23x9，此时Q(6，9)，则点A(4，0)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C(0，3)向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P(2，6)；当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为2，当x2时，yx23x9，此时Q(2，9)，则点C(0，3)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A(4，0)向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P(2，12)综上所述，当P(2，0)，Q(2，3)或P(2，6)，Q(6，9)或P(2，12)，Q(2，9)时，以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
