2020福建中考数学精准大二轮复习专题五:二次函数综合题(含答案)

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1、专题五二次函数综合题类型一 与一次函数图象的交点问题 (2019三明质检)已知抛物线C:y1a(xh)22,直线l:y2kxkh2(k0)(1)求证:直线l恒过抛物线C的顶点;(2)若a0,h1,当txt3时,二次函数y1a(xh)22的最小值为2,求t的取值范围;(3)点P为抛物线的顶点,Q为抛物线与直线l的另一个交点,当1k3时,若线段PQ(不含端点P,Q)上至少存在一个横坐标为整数的点,求a的取值范围【分析】(1)将抛物线顶点坐标代入直线l的解析式中即可求证;(2)由二次函数最小值为2可知,th1t3,解不等式即可得解;(3)使y1y2得点Q的横坐标为h,分类讨论a0和a0时,将直线l向

2、上平移b1个单位长度得直线l,若抛物线的顶点P在直线l上,且与直线l的另一个交点为Q,当点C在直线l上方的抛物线上时,求四边形OPCQ面积的最大值2(2019福建名校联考)如图1,将抛物线yax2(1a0时,hh1,ak.1k3,0a1.当a1,ak.1k3,3k1,1a0.综上所述,a的取值范围是0a1或1a0.跟踪训练1(1)证明:把yxb代入yx2bx得x2bxxb,整理得x2(b1)xb0.(b1)241(b)(b1)20,方程必有实数根,抛物线与直线l至少有一个公共点(2)解:由(1)得方程x2(b1)xb0,x,x1b,x21.当xb时,y0;当x1时,y1b.不妨设A(b,0),

3、B(1,1b)线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点,11b2或21b1,解得3b2或0b2m1,即m1时,(2m1m)2m33,整理得4m23m40,此方程没有实数根;b当2m1m2m1,即1m1时,m33,解得m0;c当m1时,(2m1m)2m33,整理得4m213m40,解得m1(舍去),m2.综上所述,m的值为0或.3解:(1)由题意得168(k1)0,解得k3.k为正整数,k1,2,3.(2)当k1时,方程为2x24x0有一个根为零;当k2时,方程为2x24x10,424218,方程解为,不是整数,不符合题意;当k3时,方程为2x24x20有两个相同的非零整数根1.综上所述,只有k3符合

4、题意将y2x24x2的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y2x24x6.(3)设二次函数y2x24x6的图象与x轴交于A,B两点,则A(3,0),B(1,0)如图所示,当直线yxb经过A点时,可得b;当直线yxb经过B点时,可得b.由图象可知,符合题意的b(b3)的取值范围为b.类型二【例2】 (1)抛物线过点A(0,2),c2.又点(,0)也在抛物线上,a()2b()20,即2ab20(a0)(2)当x1x20时,x1x20,由(x1x2)(y1y2)0,得y1y20,即当x0时,y随x的增大而增大同理,当x0时,y随x的增大而减小,抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,则b0.如图,O为

5、圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,ABC是等腰三角形又ABC有一个内角为60,故ABC为等边三角形设线段BC与y轴的交点为D,则BDCD,且OCD30.又OCOA2,CDOCcos 30,ODOCsin 301.不妨设点C在y轴的右侧,则点C的坐标为(,1)点C在抛物线上,且c2,b0,3a21,解得a1,所求抛物线的解析式为yx22.由知,点M的坐标为(x1,x122),点N的坐标为(x2,x222)设直线OM的解析式为yk1x.O,M,N三点共线,x10,x20,且,即x1x2,化为x1x2,由x1x2得x1x22,即x2,点N的坐标为(,2)如图,设点N关于y轴的对称点为点N

6、,则点N的坐标为(,2)点P是点O关于点A的对称点,OP2OA4,即点P的坐标为(0,4)设直线PM的解析式为yk2x4.点M的坐标为(x1,x122),x122k2x14,则k2,即直线PM的解析式为yx4.42,即点N在直线PM上,PA平分MPN.跟踪训练4解:(1)抛物线过点A(0,2),c2.当x1x20时,x1x20,由(x1x2)(y1y2)0得y1y20,当x0时,y随x的增大而增大;同理可得当x0时,y随x的增大而减小抛物线的对称轴为y轴且开口向下,则b0.如图,O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,ABC是等腰三角形又ABC有一个内角为60,故ABC为等边三角形,

7、OBOA2.设线段BC与y轴的交点为D,则BDCD,且OBD30,BDOBcos 30,ODOBsin 301.点B在点C的左侧,点B的坐标为(,1)点B在抛物线yax2bxc上,且c2,b0,3a21,解得a1,所求抛物线的解析式为yx22.(2)由(1)知,点M的坐标为(x1,x122),点N的坐标为(x2,x222)MN与直线y2x平行,设直线MN的解析式为y2xm,则x1222x1m,即mx122x12,直线MN的解析式为y2xx122x12.将y2xx122x12代入yx22得x22xx122x1,化为(x)2(x1)2,解得xx1,或x2x1,x22x1,则y2(2x1)22x12

8、4x110.如图,过点M作MEBC,过点N作NFBC,垂足分别为E,F.点M,N位于直线BC的两侧,且y1y2,则y21y12,且x1x2,MEy1(1)x123,BEx1()x1,NF(1)y2x124x19,BFx2()3x1.在RtBEM中,tanMBEx1,在RtBFN中,tanNBFx1,tanMBEtanNBF,MBENBF,即BC平分MBN.y轴为BC的垂直平分线,可设MBC的外心为P(0,y0),则PBPM,即PB2PM2.由勾股定理可得()2(y01)2x12(y0y1)2.x122y1,y022y04(2y1)(y0y1)2,即y01.由知,1y12,所以y00,即MBC的

9、外心的纵坐标的取值范围为y00.5解:(1)由题意得A(,0),B(3,0),C(0,3)设抛物线的解析式为ya(x3)(x),把C(0,3)代入得a,抛物线的解析式为yx2x3.(2)在RtAOC中,tanOAC,OAC60.AD平分OAC,OAD30,ODOAtan 301,D(0,1),直线AD的解析式为yx1.由题意得P(m,m2m3),H(m,m1),F(m,0)FHPH,1mm1(m2m3),解得m或(舍去),当FHHP时,m的值为.(3)如图,PF是抛物线的对称轴,F(,0),H(,2)AHAE,EAO60,EOOA3,E(0,3)C(0,3),HC2,AH2FH4,QHCH1.

10、在线段HA上取一点K,使得HK,此时K(,)HQ21,HKHA1,HQ2HKHA,QHKAHQ,KQAQ,AQQEKQEQ,当E,Q,K共线时,AQQE的值最小,最小值为.拓展类型一1解:(1)ymx22mxm1m(x1)21,抛物线的顶点坐标为(1,1)(2)由ymx22mxm1和ymxm1可得mx22mxm1mxm1,mx2mx0,mx(x1)0.m0,x10,x21,抛物线与直线有两个交点(3)由(2)可得抛物线与直线交于(1,1)和(0,m1)两点,点P的坐标为(t,mt22mtm1),点Q的坐标为(t,mtm1)如图1,当1t0时,PQyQyPmt2mtm(t)2m.m0,当t时,P

11、Q有最大值,且最大值为m.0m3,0m,即PQ的最大值为.如图2,当0t1时,PQyPyQmt2mtm(t)2m.m0,当t1时,PQ有最大值,且最大值为2m.0m3,02m6,即PQ的最大值为6.综上所述,PQ的最大值为6.2解:(1)抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为ya(x2)2.该抛物线经过点(4,1),14a,解得a,抛物线的解析式为y(x2)2x2x1.(2)联立直线AB与抛物线解析式得解得点A的坐标为(1,),点B的坐标为(4,1)如图,作点B关于直线l的对称点B,连接AB交直线l于点P,此时PAPB取得最小值点B(4,1),直线l解析式为y1,点B的坐标为(4,3

12、)设直线AB的解析式为ykxb(k0),将A(1,),B(4,3)分别代入ykxb得解得直线AB的解析式为yx.当y1时,有x1,解得x,点P的坐标为(,1)(3)点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,(mx0)2(ny0)2(n1)2,m22x0mx022y0ny022n1.M(m,n)为抛物线上一动点,nm2m1,m22x0mx022y0(m2m1)y022(m2m1)1,整理得(1y0)m2(22x02y0)mx02y022y030.m为任意值,解得定点F的坐标为(2,1)拓展类型二3解:(1)yx2x,当y0时,x2x0,解得x1,x21,A点的坐标为(1,0)将A(1,0)代

13、入yxb得01b,解得b,直线的解析式为yx.由解得B点的坐标为(5,3)(2)设P(x,x2x),则C(x,x),PCx2x(x)x24x5,SAPBPC|xAxB|(x24x5)(15)3x212x153(x2)227,当x2时,APB面积最大,最大值为27,此时点P的坐标为(2,)4解:(1)将A(4,0),B(6,0)代入yax2bx3得解得该抛物线的函数解析式为yx2x3.(2)当点G与C重合时,点G的坐标为(0,3)将y3代入yx2x3得x2x33,解得x10,x22,点D的坐标为(2,3),GD2,DE3,S矩形DEFGDGDE236.(3)设直线BC为ykxm(k0)将B(6,

14、0),C(0,3)代入得解得直线BC的解析式为yx3.设点D的横坐标为n,由对称性得2n6,点D,N的坐标分别为D(n,n2n3),N(n,n3),DNn2n3(n3)(n3)2,当n3时,DN取得最大值为.DGx轴,DMNOBC.又MDNBOC90,DMNOBC,()2,当DN最大时,DMN的面积也最大SOBC369,SDMNSOBC()29(3)2,DMN面积的最大值为.拓展类型三5解:(1)抛物线过点B(6,0),C(2,0),设抛物线的解析式为ya(x6)(x2)将点A(0,6)代入得12a6,解得a,抛物线的解析式为y(x6)(x2)x22x6.(2)如图,过点P作PMOB于点M,交

15、AB于点N,过点A作AGPM于点G.设直线AB的解析式为ykxb.将点A(0,6),B(6,0)分别代入得解得则直线AB的解析式为yx6.设P(t,t22t6),其中0t6,则N(t,t6),PNPMMNt22t6(t6)t22t6t6t23t,SPABSPANSPBNPN(AGBM)PNOB(t23t)6t29t(t3)2,当t3时,PAB面积有最大值,此时,点P的坐标为(3,)(3)如图,PHOB于点H,DHBAOB90,DHAO.OAOB6,BDHBAO45.PEx轴,PDx轴,DPE90.若PDE为等腰直角三角形,则PDPE.设点P坐标为(a,a22a6),PDa22a6(a6)a23

16、a,PE2|2a|,a23a2|2a|,解得a4或a5,点P(4,6)或P(5,35)6解:(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3,0),B(1,0),ya(x3)(x1)又抛物线经过点C(0,3),3a(03)(01),解得a1,抛物线的解析式为y(x3)(x1),即yx22x3.(2)如图,过点A作AMBC,垂足为点M,AM交y轴于点N,BAMABM90.在RtBCO中,BCOABM90,BAMBCO.A(3,0),B(1,0),C(0,3),AOCO3,OB1.又BAMBCO,BOCAON90,AONCOB,ONOB1,N(0,1)设直线AM的函数解析式为ykxb.把A(3,0)

17、,N(0,1)代入得解得直线AM的函数解析式为yx1.同理可求直线BC的函数解析式为y3x3.解方程组得切点M的坐标为(,)(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形设Q(t,0),P(m,m22m3)分两种情况考虑:当四边形BCQP为平行四边形时,由B(1,0),C(0,3),根据平移规律得1m0t,0(m22m3)30,解得m1.当m1时,m22m3822233,即P(1,3);当m1时,m22m3822233,即P(1,3)当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(1,0),C(0,3),根据平移规律得1t0m,003(m22m3),解得m0或2.当m0时,P(0,3)(舍去);

18、当m2时,P(2,3)综上所述,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标为(1,3)或(1,3)或(2,3)拓展类型四7解:(1)抛物线yax2bx2(a0)过点A,B,解得抛物线的解析式为yx2x2.yx2x2(x)2,C(,)(2)如图,以AB为直径作M,则抛物线在圆内的部分,能使APB为钝角,易得M(,0),M的半径为.设P是抛物线与y轴的交点,OP2,MP,P在M上,P的对称点为点(3,2),当1m0或3m4时,APB为钝角(3)存在抛物线向左或向右平移,AB,PC是定值,A,B,P,C所构成的多边形的周长最短,只要ACBP最小第一种情况:抛物线向右平移,ACBPA

19、CBP.第二种情况:向左平移,如图,由(2)可知,P(3,2)又C(,),C(t,),P(3t,2)AB5,P(2t,2),要使ACBP最短,只要ACAP最短即可点C关于x轴的对称点C坐标为(t,),设直线PC的解析式为ykxb,解得直线PC的解析式为yxt.当P,A,C在同一条直线上时,周长最小,t0,t,故将抛物线向左平移个单位时,A,B,P,C所构成的多边形的周长最短8解:(1)已知抛物线yx2bxc经过点A(1,0),B(0,2),解得抛物线的解析式为yx23x2.(2)A(1,0),B(0,2),OA1,OB2,可得旋转后的点C的坐标为(3,1)当x3时,y323322,可知抛物线yx23x2过点(3,2),将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C,平移后的抛物线的解析式为yx23x1.(3)点N在抛物线yx23x1上,可设N点坐标为(x0,x023x01),将yx23x1配方得y(x)2,对称轴为直线x.当0x0时,如图,SNBB12SNDD1,1x021(x0),x01,此时x023x011,N点的坐标为(1,1)当x0时,如图,同理可得1x021(x0),x03,此时x023x011,N点的坐标为(3,1)综上所述,N点的坐标为(1,1)或(3,1)

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