1、专题四二次函数综合题类型一 线段、周长问题 (5年2考) (2019改编题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)如图，直线yx与抛物线交于A，B两点，直线l为y1.(1)求抛物线的表达式；(2)在y轴上是否存在一点M，使点M到点A，B的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在l上是否存在一点P，使PAPB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设点S是直线l的一点，是否存在点S，使得SBSA最大，若存在，求出点S的坐标【分析】(1)设顶点式ya(x2)2，将点(4，1)代入即可求a的值，得出抛物线的表达式
2、；(2)联立直线AB与抛物线表达式得到点A与点B的坐标，设出点M的坐标为(0，m)，利用等式MA2MB2，求出点M的坐标；(3)利用最短线段思想，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PAPB取得最小值求出直线AB表达式后，联立直线l得出点P坐标；(4)由最短线段思想可知，当S，A，B三点共线时，SBSA取得最大值【自主解答】1(2019烟台中考)如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CDy轴交抛物线于另一点D，作DEx轴，垂足为点E.双曲线y(x0)经过点D，连接MD，BD.(1)求抛物线的表达式；(2)点N，F分别是x
3、轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，BPD的度数最大？(请直接写出结果)类型二 图形面积问题 (5年1考) (2019娄底中考)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C，且过点D(2，3)点P，Q是抛物线yax2bxc上的动点(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值；(3)如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标【分析】(1)先求出函数的表
4、达式，再将点D坐标代入即可求解；(2)表示出SPOD，根据二次函数的最值即可求解；(3)分ACBBOQ，BACBOQ两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解【自主解答】2(2019日照中考)如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2bxc经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线表达式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC，PA，当点P运动到某一位置时
5、，PCPA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由类型三 抛物线上架构的三角形问题 (5年3考) (2018怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式和直线AC的表达式；(2)请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；在数轴上是否存在点M，使得ACM是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不
6、存在，请说明理由【分析】(1)设交点式ya(x1)(x3)，展开得到2a2，然后求出a即可得到抛物线表达式；再确定C(0，3)，然后利用待定系数法求直线AC的表达式；(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1，4)，作B点关于y轴的对称点B，连接DB交y轴于点M，利用两点之间线段最短可判断此时MBMD的值最小，则此时BDM的周长最小，然后求出直线DB的表达式即可得到点M的坐标；(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直，一次项系数互为负倒数求出直线PC的表达式，当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标；由ACM是以AC为底的等腰三角形，得出MA
7、2MC2，然后分类讨论点M在x轴、y轴时的两种情况，进而求出点M的坐标即可【自主解答】3(2019淄博中考)如图，顶点为M的抛物线yax2bx3与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y轴上是否存在一点P，使得PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DAOA，过D作DGx轴于点G，设ADG的内心为I，试求CI的最小值类型四 抛物线上架构的四边形问题 (5年1考) (2019包头中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于A(1，0)
8、，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC.(1)求该抛物线的表达式，并写出它的对称轴；(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若DCBCBD，求点D的坐标；(3)已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点(其中1x2)，连接CE，CF，EF，求CEF面积的最大值及此时点E的坐标(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)将点A(1，0)，B(3，0)代入yax2bx2即可；(2)过点D作DGy轴于G，作DHx轴于H，设点D(1，y)，在R
9、tCGD中，CD2CG2GD2(2y)21，在RtBHD中，BD2BH2HD24y2，可以证明CDBD，即可求y的值；(3)过点E作EQy轴于点Q，过点F作直线FRy轴于R，过点E作FPFR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据SCEFS矩形QRPESCRFSEFP，代入边即可；(4)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M(2，2)或M(4，)或M(2，)【自主解答】解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用
10、分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏4如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bxc(a0)与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，且OC2OA.(1)试求抛物线的表达式；(2)直线ykx1(k0)与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与直线BC上方的抛物线交于点P，记m，试求m的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是平面坐标系内的一点，是否存在这样的点Q，N，使得以P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由参考答案【专题类型突破】类型一【例1
11、】 (1)抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的表达式为ya(x2)2.该抛物线经过点(4，1)，14a，解得a，抛物线的表达式为y(x2)2x2x1.(2)存在联立解得或点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4，1)设点M的坐标为(0，m)，MA2(01)2(m)2，MB2(04)2(m1)2.点M到A，B的距离相等，MA2MB2，即(01)2(m)2(04)2(m1)2，m，点M的坐标为(0，)(3)存在如图，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PAPB取得最小值点B(4，1)，直线l为y1，点B的坐标为(4，3)设直线AB的表达式为ykxb(k0)，将A(1，)，B(
12、4，3)代入ykxb得解得直线AB的表达式为yx.当y1时，有x1，解得x，点P的坐标为(，1)(4)存在点S和点A，B在同一条直线上时，SBSA最大点S在直线l上，设点S的坐标为(n，1)，代入yx得n4，点S的坐标为(4，1)跟踪训练1解：(1)由题意得点C的坐标(0，3)，OC3.kOCCD6，CD2，点D的坐标(2，3)将点A(1，0)，D(2，3)分别代入抛物线yax2bx3得解得抛物线的表达式为yx22x3.(2)如图，分别作点M，D关于y轴、x轴的对称点M，D，连接MD交x轴、y轴于点N，F.由抛物线的表达式可知，顶点M的坐标(1，4)，点M的坐标(1，4)设直线MD的表达式为y
13、kxb，点D的坐标(2，3)，解得直线MD的表达式为yx.令y0，则x0，解得x，点N的坐标(，0)令x0，则y，点F的坐标(0，)，(3)92.类型二【例2】 (1)设函数的表达式为ya(x1)(x3)，将点D坐标代入上式，解得a1，抛物线的表达式为yx22x3.(2)设直线PD与y轴交于点G，设点P(m，m22m3)，由题意得直线PD的表达式为ymx32m，则OG32m，SPODOG(xDxP)(32m)(2m)m2m3.10，故SPOD有最大值，当m时，其最大值为.(3)OBOC3，OCBOBC45.ABCOBE，故OBE与ABC相似时，分为两种情况：当ACBBOQ时，AB4，BC3，A
14、C.如图，过点A作AHBC于点H，SABCAHBCABOC，解得AH2，则sinACB，则tanACB2，则直线OQ的表达式为y2x.联立解得x，故点Q1(，2)，Q2(，2)当BACBOQ时，tanBAC3tanBOQ，则点Q(n，3n)，则直线OQ的表达式为y3x.联立解得x，故点Q3(，)，Q4(，)综上所述，当OBE与ABC相似时，Q1(，2)，Q2(，2), Q3(，)，Q4(，)跟踪训练2解：(1)由一次函数得A(1，0)，C(0，5)，代入抛物线表达式得yx26x5.令y0，即x26x50，解得x11，x25，B点坐标为(5，0)(2)S四边形AMBCSABCSABM，当ABM面
15、积最大时，四边形AMBC的面积最大点M为x轴下方抛物线上一动点，所以当点M为抛物线的顶点时，ABM面积最大yx26x5(x3)24，M(3，4)，S四边形AMBC454418.(3)如图，在线段AB上取点N，使BN1，即N(4，0)，连接PN，BP.，BA544，BP2，.又NBPPBA，NBPPBA，PANP，PCPAPCPN.当PCPA最小时，即PCPN最小此时点C，P，N三点共线C(0，5)，N(4，0)，OC5，ON4.在RtCON中，由勾股定理得CN，PCPA的最小值CN.类型三【例3】 (1)设抛物线表达式为ya(x1)(x3)，即yax22ax3a，2a2，解得a1，抛物线表达式
16、为yx22x3.当x0时，yx22x33，则C(0，3)设直线AC的表达式为ypxq，把A(1，0)，C(0，3)代入得解得直线AC的表达式为y3x3.(2)yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)如图，作B点关于y轴的对称点B，则B(3，0)，连接DB交y轴于M.MBMB，MBMDMBMDDB，此时MBMD的值最小BD的值不变，此时BDM的周长最小易得直线DB的表达式为yx3.当x0时，yx33，点M的坐标为(0，3)(3)存在如图，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P.直线AC的表达式为y3x3，直线PC的表达式可设为yxb，把C(0，3)代入得b3，直线PC的表达式为yx3.解
17、方程组得或则此时P点坐标为(，)如图，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PA的表达式可设为yxb1，把A(1，0)代入得b10，解得b1，直线AP的表达式为yx.解方程组得或则此时P点坐标为(，)综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，)存在当点M在x轴上时，设点M的坐标为(n，0)，MA2MC2，即n(1)2n2(03)2，n4，此时点M的坐标为(4，0)当点M在y轴上时，设点M的坐标为(0，a)，MA2MC2，即0(1)2(a0)2(3a)2，a，此时点M的坐标为(0，)综上所述，符合条件的点M的坐标为(4，0)或(0，)跟踪训练3解：(1)抛物线yax2bx3过点A(3，0)
18、，B(1，0)，解得这条抛物线对应的函数表达式为yx22x3.(2)存在yx22x3(x1)24，顶点M(1，4)，AM2(31)24220.设点P坐标为(0，p)，AP232p29p2，MP212(4p)2178pp2.若PAM90，则AM2AP2MP2，209p2178pp2，解得p，P(0，)若APM90，则AP2MP2AM2，9p2178pp220，解得p11，p23，P(0，1)或(0，3)若AMP90，则AM2MP2AP2，20178pp29p2，解得p，P(0，)综上所述，点P坐标为(0，)或(0，1)或(0，3)或(0，)时，PAM为直角三角形(3)如图，过点I作IEx轴于点E
19、，IFAD于点F，IHDG于点H.DGx轴于点G，HGEIEGIHG90，四边形IEGH是矩形点I为ADG的内心，IEIFIH，AEAF，DFDH，EGHG，矩形IEGH是正方形设点I坐标为(m，n)，OEm，HGGEIEn，AFAEOAOE3m，AGGEAEn3m.DAOA3，DHDFDAAF3(3m)m，DGDHHGmn.DG2AG2DA2，(mn)2(n3m)232，即(m)2(n)2，点I(m，n)与定点Q(，)的距离为，点I在以点Q(，)为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动，当点I在线段CQ上时，CI最小CQ，CICQIQ，CI的最小值为.类型四【例4】 (1)将点A(1，0)，B
20、(3，0)代入yax2bx2，可得a，b，yx2x2，对称轴x1.(2)如图，过点D作DGy轴于点G，作DHx轴于点H.设点D(1，y)，C(0，2)，B(3，0)，在RtCGD中，CD2CG2GD2(2y)21，在RtBHD中，BD2BH2HD24y2.在BCD中，DCBCBD，CDBD，CD2BD2，(2y)214y2，y，D(1，)(3)如图，过点E作EQy轴于点Q，过点F作直线FRy轴于点R，过点E作FPFR于点P，EQRQRPRPE90，四边形QRPE是矩形SCEFS矩形QRPESCRFSEFPSCQE，又E(x，y)，C(0，2)，F(1，1)，SCEFEQQREQQCCRRFFP
21、EP，SCEFx(y1)x(y2)11(x1)(y1)yx2x2，SCEFx2x，当x时，CEF面积有最大值是，此时E(，)(4)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设N(1，n)，M(x，y)，四边形CMNB是平行四边形时，x2，M(2，)；四边形CNBM是平行四边形时，x2，M(2，2)；四边形CNMB是平行四边形时，x4，M(4，)综上所述，M(2，2)或M(4，)或M(2，)跟踪训练4解：(1)抛物线yax2bxc经过A(2，0)，B(4，0)两点，设ya(x2)(x4)OC2OA，OA2，C(0，4)，代入抛物线的表达式得到a，y(x2)(x4)x2x4.(2)如
22、图1，由题意，点P在y轴的右侧，作PEx轴于点E，交BC于点F.图1CDPE，CMDFMP，m，直线ykx1(k0)与y轴交于点D，则D(0，1)，BC的表达式为yx4，设P(n，n2n4)，则F(n，n4)，PFn2n4(n4)(n2)22，m(n2)2，0，当n2时，m有最大值，最大值为，此时P(2，4)(3)存在这样的点Q，N，使得以P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形当DP是矩形的边时，有两种情形，a如图21，四边形DQNP是矩形时，图21由(2)可知P(2，4)，代入ykx1中，得到k，直线DP的表达式为yx1，可得D(0，1)，E(，0)，由DOEQOD可得，OD2OEOQ，1OQ，OQ，Q(，0)根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，N(2，41)，即N(，3)b如图22，四边形PDNQ是矩形时，图22直线PD的表达式为yx1，PQPD，直线PQ的表达式为yx，Q(8，0)，根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，N(06，14)，即N(6，3)当DP是对角线时，设Q(x，0)，则QD2x21，QP2(x2)242，PD213，Q是直角顶点，QD2QP2PD2，x21(x2)21613，整理得x22x40，方程无解，此种情形不存在综上所述，满足条件的点N坐标为(，3)或(6，3)
