1、专题四几何综合题类型一 几何动点问题 (2017菏泽)正方形ABCD的边长为6 cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MNAF，垂足为H，交边AB于点N.(1)如图1，若点M与点D重合，求证：AFMN；(2)如图2，若点M从点D出发，以1 cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以 cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s.BFy cm，求y关于t的函数表达式；当BN2AN时，连接FN，求FN的长【分析】(1)根据正方形的性质得到ADAB，BAD90，由垂直的定义得到AHM90，由余角的性质得到BAFAMH，根据全等三角形的性质即可
2、得到结论；(2)根据勾股定理得到BD6，由题意得，DMt，BEt，求得AM6t，DE6t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；根据已知条件得到AN2，BN4，根据相似三角形的性质得到BF，由求得BF，得方程，于是得到结论【自主解答】 1(2019吉林)如图，在矩形ABCD中，AD4 cm，AB3 cm，E为边BC上一点，BEAB，连接AE.动点P、Q从点A同时出发，点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动，点Q以2 cm/s的速度沿折线ADDC向终点C运动设点Q运动的时间为x(s)，在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2)(1)AE cm，EAD ；(2)求
3、y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)当PQ cm时，直接写出x的值2(2019北京)已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON.(1)依题意补全图1；(2)求证：OMPOPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M，总有ONQP，并证明3(2019长春)如图，在RtABC中，C90，AC20，BC15.点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长
4、度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动当点P不与点A、C重合时，过点P作PNAB于点N，连接PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒(1)AB的长为 ；PN的长用含t的代数式表示为 ；(2)当PQMN为矩形时，求t的值；(3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；(4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值4(2019青岛)已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ACB90，AB10 cm，BC8 cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s；同
5、时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点P作PEAB，交BC于点E，过点Q作QFAC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t(s)(0t5)，解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由类型二 图形的旋转问题 (2019菏
6、泽)如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90.(1)如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BPCD；(2)如图2，把ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC6，AD3，求PDE的面积【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到ADAE，ABAC，BACEAFEADEAF，求得BAEDAC，根据全等三角形的性质得到ABEACD，根据余角的性质即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到ABEACD，BECD，求得EPD90，得到DE3，AB6，求得BD633，CD3，根据相似三角形的性质得
7、到PD，PB根据三角形的面积公式即可得到结论【自主解答】 1(2019潍坊)如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，BAD60，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转(030)，得到菱形ABCD，BC交对角线AC于点M，CD交直线l于点N，连接MN.(1)当MNBD时，求的大小；(2)如图2，对角线BD交AC于点H，交直线l于点G，延长CB交AB于点E，连接EH.当HEB的周长为2时，求菱形ABCD的周长2(2019福建)在RtABC中，ABC90，ACB30，将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC，点A、B的对应点分别是D、E.(1)当点E恰好在AC上时，如图1，求ADE的大小；
8、(2)若60时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形3(2019郓城县模拟)在ABC中，C90，ACBC，点D在射线BC上(不与点B、C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90得到DE，连接BE.(1)如图1，点D在BC边上依题意补全图1；作DFBC交AB于点F，若AC8，DF3，求BE的长；(2)如图2，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系(直接写出结论)4(2019东营)如图1，在RtABC中，B90，AB4，BC2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为.(1)问题发现当0时， ；当1
9、80时， (2)拓展探究试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长类型三 图形的折叠 (2019滨州)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FGCD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB6，AD10，求四边形CEFG的面积【分析】(1)根据题意和翻折的性质，可以得到BCEBFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可
10、以得到四边形CEFG的面积【自主解答】1(2019临沂)如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D、C不重合)，连接AE，将ADE沿AE所在直线折叠得到AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GHAG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是DAF的平分线，EA是DEF的平分线仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的角的平分线)，并说明理由2(2019原创)将如图1所示的长方形纸条ABCD进行折叠，折痕与AB交于M，与CD交于N，得到四边形BCNM(如图2)，BM与CD相交于K.已知AD1，AB5.发现(1)若NMB70，求MKN的度数；(2)证明：KNM是等腰三角
11、形；探究(1)当MNK的面积最小时，求此时MNK的面积，并直接写出此时NMB的度数；(2)当KN为何值时，MNK的面积最大3如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.(1)求证：APBBPH；(2)求证：APHCPH；(3)当AP1时，求PH的长类型四 图形的平移 (2017扬州)如图，将ABC沿着射线BC方向平移至ABC，使点A落在ACB的外角平分线CD上，连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状，并说明理由；(2)在ABC中，B90，AB24，cosBA
12、C，求CB的长【分析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACCA是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACCA是菱形(2)通过解直角ABC得到AC，BC的长度，由(1)中菱形ACCA的性质推知ACAA，由平移的性质得四边形ABBA是平行四边形，则AABB，所以CBBBBC.【自主解答】 1如图1，BD是矩形ABCD的对角线，ABD30，AD1，将BCD沿射线BD方向平移到BCD的位置，使B为BD中点，连接AB，CD，AD，BC，如图2.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)求四边形ABCD的周长；(3)将四边形ABCD沿它的
13、两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长2如图，在平面直角坐标系中，AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，1)，点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE.(1)线段OC的长为 ；(2)求证：CBDCOE；(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD1，CE1，设点E1的坐标为(a，0)，其中a2，CD1E1的面积为S.当1a2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；在平移过程中，当S时，请直
14、接写出a的值参考答案类型一几何动点问题【例1】 (1)证明：四边形ABCD 是正方形，ADAB，BAD90，MNAF，AHM90，BAFMAHMAHAMH90，BAFAMH，在AMN与ABF中，AMNABF，AFMN；(2)解：ABAD6，BD6，由题意得，DMt，BEt，AM6t，DE6t，ADBC，ADEFBE，即，y；BN2AN，AN2，BN4，由(1)证得BAFAMN，ABFMAN90，ABFMAN，即，BF，由求得BF，t2，BF3，FN5 cm.跟踪训练1解：(1)AB3，BEAB3，AE3，BAEBEA45.BAD90，EAD45.故答案为：3，45.(2)当0x2时，如图，过点
15、P作PFAD于点F，APx，DAE45，PFAD，PFxAF，ySPQAAQPFx2；当2x3时，如图，过点P作PFAD于点F，PFAFx，DF4x.QD2x4，yx2(2x4x)(4x)x28x8；当3x时，如图，点P与点E重合，CQ(34)2x72x，CE431，y(14)3(72x)1x4.(3)当0x2时，如图，QFAFx，PFAD，PQAP，PQ，x，x；当23(不合题意，舍去)；当3x时，如图，PQ2CP2CQ2，1(72x)2，x(x舍去)综上所述：x或.2(1)解：如图1所示为所求(2)证明：设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PN，MPN150，PMPN，OPNM
16、PNOPM150.AOB30，OMP180AOBOPM18030150，OMPOPN.(3)解：OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2，NCPPDMPDQ90.AOB30，OP2，PDOP1，OD.OH1，DHOHOD1.OMPOPN，180OMP180OPN，即PMDNPC.在PDM与NCP中，PDMNCP(AAS)，PDNC，DMCP.设DMCPx，则OCOPPC2x，MHMDDHx1.点M关于点H的对称点为Q，HQMHx1，DQDHHQ1x12x，OCDQ.在OCN与QDP中，OCNQDP(SAS)，ONQP.3解：(1)在RtABC中，
17、C90，AC20，BC15，AB25.sinCAB，由题可知AP5t，PNAPsinCAB5t3t.故答案为：25；3t.(2)当PQMN为矩形时，NPQ90，PNAB，PQAB，.由题意可知APCQ5t，CP205t，解得t，即当PQMN为矩形时，t.(3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况：.如图1所示，PQMN在三角形内部时，延长QM交AB于点G，由(1)可知，cos Asin B，cos B，AP5t，BQ155t，QMPN3t.ANAPcos A4t，BGBQcos B93t，QGBQsin B124t，PQMN在三角形内部时，有0QMQG，0t.03t124t，N
18、G254t(93t)16t，当0t时，PQMN与ABC重叠部分图形为PQMN，S与t之间的函数关系式为SPNNG3t(16t)3t248t.如图2所示，当0QGQM，PQMN与ABC重叠部分图形为梯形PQGN时，0124t3t，解得t3，PQMN与ABC重叠部分的图形的面积为SNG(PNQG)(16t)(3t124t)t214t96.综上所述：当0t时，S3t248t；当t3时，St214t96.(4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边的中点时，有两种情况：.如图3，PRBC，PR与AB交于点K，R为MN的中点，过点R作RHAB，PKNHKRB，NK.NRMR，HRPNQM，NHGH(
19、16t)，HRGM.GMQMQG3t(124t)7t12，HRGM(7t12)KH(7t12)(7t12)NKKHNH，t(7t12)(16t)，解得t；.如图4，PRBC，PR与AB交于点K，R为MQ的中点，过点Q作QHPR，HPNAQRH，四边形PCQH为矩形，HQQRsinQRH.PC205t，205t，解得t.综上所述，当t或时，过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边的中点4解：(1)在RtABC中，ACB90，AB10 cm，BC8 cm，AC6(cm)OD垂直平分线段AC，OCOA3(cm)，DOC90.CDAB，BACDCO.DOCACB，DOCBCA，CD5(cm)，OD4(
20、cm)，PBt，PEAB，易知：PEt，BEt，当点E在BAC的平分线上时，EPAB，ECAC，PEEC，t8t，t4.当t为4秒时，点E在BAC的平分线上(2)如图，连接OE，PC.S四边形OPEGSOEGSOPESOEG(SOPCSPCESOEC)(4t)33(8t)(8t)t(8t)t2t6(0t5)(3)存在S(t)2(0t5)，t时，四边形OPEG的面积最大，最大值为.(4)存在，如图，连接OQ.OEOQ，EOCQOC90.QOCQOG90，EOCQOG，tanEOCtanQOG，整理得：5t266t1600，解得t或10(舍弃)当t秒时，OEOQ.类型二图形的旋转问题【例2】 (1
21、)证明：ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BACDAE90.ADAE，ABAC，BACEAFEADEAF，即BAEDAC.在ABE与ADC中，ABEADC(SAS)，ABEACD.ABEAFBABECFP90，CPF90，BPCD.(2)解：在ABE与ACD中，ABEACD(SAS)，ABEACD，BECD.PDBADC，BPDCAB90，EPD90.BC6，AD3，DE3，AB6，BD633，CD3.BDPCDA，PD，PB，PE3，PDE的面积.跟踪训练1解：(1)四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD.BADBCD60，ABD，BCD是等边三角形MNBD，CMNCBD60，CN
22、MCDB60，CMN是等边三角形，CMCN，MBND.ABMADN120，ABAD，ABMADN(SAS)，BAMDAN.CADBAD30，DAD15，15.(2)CBD60，EBG120.EAG60，EAGEBG180，四边形EAGB的四个顶点共圆，AEBAGD.EABGAD，ABAD，AEBAGD(AAS)，EBGD，AEAG.AHAH，HAEHAG，AHEAHG(SAS)，EHGH.EHB的周长为2，EHEBHBBHHGGDBD2，ABAB2，菱形ABCD的周长为8.2(1)解：ABC绕点C顺时针旋转得到DEC，点E恰好在AC上，CACD，ECDBCA30，DECABC90，CADCDA
23、(18030)75，ADE907515；(2)证明：点F是边AC中点，BFAC.ACB30，ABAC，BFAB，ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC，BCEACD60，CBCE，DEAB，DEBF，ACD和BCE为等边三角形，BECB.点F为ACD的边AC的中点，DFAC，易证得CFDABC，DFBC，DFBE，而BFDE，四边形BEDF是平行四边形3解：(1)补全图形，如图1所示如图2，由题意可知ADDE，ADE90.DFBC，FDB90.ADFEDB.C90，ACBC，ABCDFB45.DBDF.ADFEDB.AFEB.在ABC和DFB中，AC8，DF3，AB8，BF3.AFABBF5.即
24、BE5.(2)如图3，BDBEAB.4解：(1)当0时，RtABC中，B90，AC2.点D、E分别是边BC、AC的中点，AEAC，BDBC1，.如图1中，当180时，可得ABDE，.故答案为：，.(2)如图2，当0360时，的大小没有变化，ECDACB，ECADCB.又，ECADCB，.(3)如图3中，当点E在AB的延长线上时，在RtBCE中，CE，BC2，BE1，AEABBE5.，BD.如图4中，当点E在线段AB上时，易知BE1，AE413，BD，综上所述，满足条件的BD的长为或.类型三图形的折叠【例3】 (1)证明：由题意可得，BCEBFE，BECBEF，FECE，FGCE，FGECEB，
25、FGEFEG，FGFE，FGEC，四边形CEFG是平行四边形，又CEFE，四边形CEFG是菱形(2)解：矩形ABCD中，AB6，AD10，BCBF，BAF90，ADBCBF10，AF8，DF2，设EFx，则CEx，DE6x，FDE90，22(6x)2x2，解得x，CE，四边形CEFG的面积是CEDF2.跟踪训练1解：如图，过点H作HNBM于N，则HNC90，四边形ABCD为正方形，ADABBC，DDABBDCBDCM90.将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE，ADEAFE，DAFEAFG90，ADAF，DAEFAE，AFAB.又AGAG，RtABGRtAFG(HL)，BAGFAG，AGBAG
26、F，AG是BAF的平分线，GA是BGF的平分线；由知，DAEFAE，BAGFAG，又BAD90，GAFEAF9045，即GAH45，GHAG，GHA90GAH45，AGH为等腰直角三角形，AGGH，AGBBAG90，AGBHGN90，BAGNGH，又BHNG90，AGGH，ABGGNH(AAS)，BGNH，ABGN，BCGN，BCCGGNCG，BGCN，CNHN，HNC90，NCHNHC9045，DCHDCMNCH45，DCHNCH，CH是DCN的平分线AGBHGN90，AGFEGH90，由知，AGBAGF，HGNEGH，GH是EGM的平分线综上所述，AG是BAF的平分线，GA是BGF的平分线
27、，CH是DCN的平分线，GH是EGM的平分线2解：发现(1)四边形ABCD是矩形，AMDN，KNMNMB70，由折叠性质可知，KMNBMN70，由三角形内角和可知，NKM180KNMKMN40.(2)DNAM，KNMNMB，四边形MNCB是由四边形MNCB折叠得到的，KMNBMN，KMNKNM，KMKN，KMN是等腰三角形探究图1(1)如解图1，过M作MGKN于点G，则MGAD1，SKMNKNMG，当KN最小时，KNM的面积最小，此时KNKM，KNKM1，则KNMKMN45，NMBKNM45，KNM的面积的最小值为.(2)分两种情况：()如解图2，将矩形纸片对折，使得点B与点D重合，此时点K与
28、点D重合设MKMBx，则AM5x，由勾股定理得12(5x)2x2，解得x2.6.MDND2.6，SMNKSMND12.61.3.()如解图3，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC，设MKAKCKy，则DK5y，由勾股定理易得MKNK2.6，则SMNK1.3，即MNK的面积最大值为1.3.,图3)3(1)证明：PEBE，EPBEBP.又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP，即BPHPBC.又四边形ABCD为正方形，ADBC，APBPBC.APBBPH.(2)证明：如图，过点B作BQPH，垂足为Q，由(1)知，APBBPH，在ABP与QBP中，ABPQBP(AAS)，APQP，BAB
29、Q.又ABBC，BCBQ.又CBQH90，BCH和BQH是直角三角形，在RtBCH与RtBQH中，RtBCHRtBQH(HL)，CHQH，APHCPH.(3)解：由(2)知，APPQ1，PD3.设QHHCx，则DH4x.在RtPDH中，PD2DH2PH2，即32(4x)2(x1)2，解得x2.4，PH3.4.类型四图形的平移【例4】 (1)四边形ACCA是菱形理由如下：由平移的性质得到ACAC，且ACAC，则四边形ACCA是平行四边形，ACCAAC.又CD平分ACC，易证DC也平分AAC，四边形ACCA是菱形(2)在ABC中，B90，AB24，cosBAC，cosBAC，即，AC26，由勾股定
30、理知BC10.又由(1)知，四边形ACCA是菱形，ACAA26.由平移的性质得到ABAB，ABAB，则四边形ABBA是平行四边形，AABB26，CBBBBC261016.跟踪训练1(1)证明：BD是矩形ABCD的对角线，ABD30，ADB60，由平移可得，BCBCAD，DBCDBCADB60，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，RtABD中，B为BD中点，ABBDDB，又ADB60，ADB是等边三角形，ADAB，四边形ABCD是菱形(2)解：由平移可得，ABCD，ABDCDB30，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，由(1)可得，ACBD，四边形ABCD是菱形，ABAD，四边形ABCD的周长为4.(3)矩形周长为6或23.2(1)解：(2)证明：AOB90，点C是AB的中点，OCBCAB，CBOCOB.四边形OBDE是正方形，BDOE，DBOEOB90，CBDCOE.在CBD和COE中， CBDCOE(SAS)(3)Sa1.a或.
