1、专题二规律探索题类型一 数式规律探索 (2019安顺)如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 【分析】观察图表可知第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2 025，推出第45行、第7列的数是2 02562 019.【自主解答】解数式规律探索型问题的一般方法(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合
2、时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果1(2019云南)按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第n个单项式是( )A(1)n1x2n1 B(1)nx2n1C(1)n1x2n1 D(1)nx2n12(2019常德)观察等式：701，717，7249，73343，742 401，7516 807，根据其中的规律可得70717272 01
3、9的结果的个位数字是( )A0 B1 C7 D83(2019十堰)一列数按某规律排列如下：，若第n个数为，则n( )A50 B60 C62 D714(2019黄石)将被3整除余数为1的正整数按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 5将一列有理数1，2，3，4，5，6，按如图所示有序排列根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么：(1)“峰6”中D的位置是有理数 ；(2)2 019应排在A、B、C、D、E中的 位置命题角度等式规律探索 (2019安徽)观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解
4、决下列问题：(1)写出第6个等式： ；(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明【分析】(1)根据已知等式即可得；(2)根据已知等式得出规律，再利用分式的混合运算法则验证即可【自主解答】探索等式规律的一般步骤(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，n)之间的关系，把其中隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验1(2019曹县三模)观察关于自然数的式子：41212，42232，43252，根据上述规律，则第2 019个式子的值
5、为 2观察以下等式：第1个等式：1，第2个等式：1，第3个等式：1，第4个等式：1，第5个等式：1，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： ；(2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明类型二 坐标系与规律探索 (2019菏泽)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上向右向下向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2第n次移动到点An，则点A2019的坐标是( )A(1 010，0) B(1 010，1)C(1 009，0) D(1 009，1)【分析】根据图象可得移动4次
6、图象完成一个循环，从而可得出点A2 019的坐标【自主解答】根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中的递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内的循环递推变化解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形中点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用Mnq(0qn)，则第M
7、次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据(2)中得到的第M个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标1(2017菏泽)如图，ABy轴，垂足为B，将ABO绕点A逆时针旋转到AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将AB1O1绕点B1逆时针旋转到A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线yx上，依次进行下去，若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为 2(2019历下区二模)如图，在平面直角坐标系中，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，A7A8A9，都是等腰直角三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1 (3，0)，A3 (1，0)，A5 (4，0)
8、，A7 (0，0)，A9 (5，0)，依据图形所反映的规律，则A102的坐标为( )A(2，25) B(2，26)C(，) D(，)3(2019泰安)在平面直角坐标系中，直线l：yx1 与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，在直线l上，点C1，C2，C3，C4，在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是 类型三 图形规律探索 (2019青海)如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5个图形中共有 个菱形
9、，第n个图形中共有 个菱形【分析】观察图形可知，每剪开一次多出3个菱形，然后写出前4个图形中菱形的个数，根据这一规律写出第n个图形中菱形的个数的表达式；【自主解答】 (2019乐陵市二模)如图，将ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去，经过第2 019次操作后得到的折痕D2 018E2 018到BC的距离记为h2 019.若h11，则h2 019的值为( )A. B2C1 D.
10、【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DADA1DB，从而可得ADA12B，结合折叠的性质可得ADA12ADE，可得ADEB，继而判断DEBC，得出DE是ABC的中位线，证明AA1BC，得到AA1BC，得到AA12，求出h1211，同理，h22，h322，经过第n次操作后得到的折痕Dn1En1到BC的距离hn2.【自主解答】1(2019枣庄)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是( )2(2018贺州)如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为( )A(
11、)n1 B2n1 C()n D2n3(2019大庆)归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图1，图2，图3的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为 4(2019天水)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 019个图形中共有 个 .5(2019兰陵县一模)如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中所示的规律计算：_.6(2019甘肃改编)如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，.(1)第5幅图中有 个
12、菱形，第n幅图中有 个菱形；(2)如果第n幅图中有2 019个菱形，求n.参考答案类型一数式规律探索【例1】 观察图表可知，第n行第一个数是n2，第45行第一个数是2 025，第45行、第7列的数是2 02562 019，故答案为2 019.跟踪训练1C2.A3.B4.6255.(1)30(2)C【例2】 解：(1)(2).证明：右边左边，等式成立跟踪训练18 075【解析】 4121242232432524n2(2n1)24n1，所以第2 019个式子的值是：42 01918075.故答案为：8 075.2解：(1)1(2)1.证明：1，等式成立类型二坐标系与规律探索【例3】 A1(0，1)
13、，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，A5(2，1)，A6(3，1)，2 01945043，所以A2 019的坐标为(50421，0)，则A2 019的坐标是(1 009，0)故选C.跟踪训练193【解析】 观察图象可知，O12在直线yx上，OO126OO26(12)186，O12的纵坐标OO1293.故答案为93.2B【解析】 根据题意可得，A2的坐标(2，1)，A6的坐标(2，2)，A10的坐标(2，3)，1022542，A102的纵坐标为(1022)426，A102的坐标(2，26)故选B.3.(2n1)类型三图形规律探索【例4】 (1)第1个图形中有菱形1个，第2个图形中有
14、菱形413(个)，第3个图形中有菱形7132(个)，第4个图形中有菱形10133(个)，第n个图形中有菱形13(n1)(3n2)个，当n5时，3n213，故答案为：13，(3n2)【例5】 如图，连接AA1，由折叠的性质可得AA1DE，DADA1，又D是AB的中点，DADB，DBDA1，BA1DB，ADA12B.又ADA12ADE，ADEB，DEBC，AA1BC，AA12h12，h1211，同理h22，h322，经过第n次操作后得到的折痕Dn1En1到BC的距离hn2.h2 0192.故选B.跟踪训练1D2B【解析】 第一个正方形的面积为120，第二个正方形的面积为()2221，第三个正方形的面积为22，第n个正方形的面积为2n1.故选B.33n24.6 0585.【解析】 根据题图可知1，1，1，1，故答案为.6解：(1)9(2n1)(2)2n12 019，n1 010.
