1、专题三圆切线的相关证明及计算类型一 切线的性质 (2019菏泽)如图,BC是O的直径,CE是O的弦,过点E作O的切线,交CB的延长线于点G,过点B作BFGE于点F,交CE的延长线于点A.(1)求证:ABG2C;(2)若GF3,GB6,求O的半径【分析】 (1)连接OE,根据切线的性质得到OEEG,推出OEAB,得到AOEC,根据等腰三角形的性质得到OECC,求得AC,根据三角形的外角的性质即可得到结论;(2)根据勾股定理得到BF3,根据相似三角形的性质即可得到结论【自主解答】1(2017菏泽)如图,AB是O的直径,PB与O相切于点B,连接PA交O于点C,连接BC.(1)求证:BACCBP;(2
2、)求证:PB2PCPA;(3)当AC6,CP3时,求sin PAB的值2(2019陕西)如图,AC是O的直径,AB是O的一条弦,AP是O的切线作BMAB并与AP交于点M,延长MB交AC于点E,交O于点D,连接AD.(1)求证:ABBE;(2)若O的半径R5,AB6,求AD的长3(2019玉林)如图,在ABC中,ABAC5,BC6,以AB为直径作O分别交于AC,BC于点D,E,过点E作O的切线EF交AC于点F,连接BD.(1)求证:EF是CDB的中位线;(2)求EF的长4(2019广东)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心
3、的与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.(1)求ABC三边的长;(2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积类型二 切线的判定 (2019诸城一模)如图,在RtABC中,C90,AD是BAC的平分线,经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上,O分别与AB、AC相交于点E、F.(1)判断直线BC与O的位置关系并证明;(2)若O的半径为2,AC3,求BD的长度【分析】(1)连接OD,证明ODAC,即可证得ODB90,从而证得BC是圆的切线;(2)由ODAC,证得BDOBCA,根据相似三角形的性质得出,解得BE2,然后根据勾股定理即可求得BD的长度【自主解答】 1(2019临沂
4、)如图,AB是O的直径,C是O上一点,过点O作ODAB,交BC的延长线于D,交AC于点E,F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF是O的切线(2)若A22.5,求证:ACDC.2(2019潍坊一模)如图,在ABC中,E为BC边上一点,以BE为直径的半圆D与AC相切于点F,且EFAD,AD交半圆D于点G.(1)求证:AB是半圆D的切线;(2)若EF2,AD5,求切线长AB.3(2019葫芦岛)如图,点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点,以AM为直径的O交矩形对角线AC于点F,在线段CD上取一点E,连接EF,使ECEF.(1)求证:EF是O的切线;(2)若cosCAD,AF6,MD2,求FC的
5、长4(2019绥化)如图,AB为O的直径,AC平分BAD,交弦BD于点G,连接半径OC交BD于点E,过点C的一条直线交AB的延长线于点F,AFCACD.(1)求证:直线CF是O的切线;(2)若DE2CE2.求AD的长;求ACF的周长(结果可保留根号)参考答案类型一切线的性质【例1】 (1)证明:连接OE,EG是O的切线,OEEG.BFGE,OEAB,AOEC.OEOC,OECC,AC.ABGAC,ABG2C.(2)解:BFGE,BFG90.GF3,GB6,BF3.BFOE,BGFOGE,OE6,O的半径为6.跟踪训练1(1)证明:AB是O的直径,PB与O相切于点B,ACBABP90,AABCA
6、BCCBP90,BACCBP.(2)证明:PCBABP90,PP,ABPBCP,PB2PCPA.(3)解:PB2PCPA,AC6,CP3,PB29327,PB3,sin PAB.2(1)证明:AP是O的切线,EAM90,BAEMAB90,AEBAMB90.又ABBM,MABAMB,BAEAEB,ABBE.(2)解:连接BC,AC是O的直径,ABC90.在RtABC中,AC10,AB6,BC8.BEABBM,EM12,由(1)知,BAEAEB,ABCEAM,CAME,即,AM.又DC,DAMD,ADAM.3(1)证明:连接AE,AB为O的直径,ADBAEB90,AEBC,BDAC.ABAC,BE
7、CE3.EF是O的切线,OEEF.OAOB,OE是ABC的中位线,OEAC,OEBD,BDEF.BECE,CFDF,EF是CDB的中位线(2)解:AEB90,AE4.ABC的面积ACBDBCAE,BD.EF是CDB的中位,EFBE.4解:(1)AB2,AC2,BC4.(2)由(1)得,AB2AC2BC2,BAC90,连接AD,AD2,S阴SABCS扇形AEFABACAD2205.类型二切线的判定【例2】 解:(1)BC与O相切证明:连接OD.AD是BAC的平分线,BADCAD.又ODOA,OADODA.CADODA.ODAC.ODBC90,即ODBC.又BC过半径OD的外端点D,BC与O相切(
8、2)由(1)知ODAC.BDOBCA.O的半径为2,DOOE2,AE4.BE2.BO4.在RtBDO中,BD2.跟踪训练1(1)证明:AB是O的直径,ACBACD90.点F是ED的中点,CFEFDF,AEOFECFCE.OAOC,OCAOAC.ODAB,OACAEO90,OCAFCE90,即OCFC,CF与O相切(2)证明:连接AD,ODAB,ACBD,AOEACD90.AEODEC,OAECDE22.5.AOBO,ADBD,ADOBDO22.5,ADB45,CADADC45,ACCD.2(1)证明:连接DF,AC与半圆D相切于点F,DFAC,AFD90.EFAD,EFDADF,FEDADB.
9、又DFDE,EFDFED,ADFADB.在ABD与AFD中ABDAFD(SAS),ABDAFD90,AB是半圆D的切线(2)解:EFAD,CFECAD,设CE2x,CD5x,DFDE3x,在RtDFC中,由勾股定理,得CF4x,AF6x.在RtADF中,(6x)2(3x)252,解得x,ABAF6x2.3(1)证明:如图,连接OF,四边形ABCD是矩形,ADC90.CADDCA90.ECEF,DCAEFC.OAOF,CADOFA,EFCOFA90,EFO90,EFOF.OF是O的半径,EF是O的切线(2)如图,连接MF,AM是直径,AFM90.在RtAFM中,cosCAD.AF6,AM10.MD2,AD8.在RtADC中,cosCAD,AC,FC6.4证明:AC平分BAD,BACDAC,C是弧BD的中点,OCBD,BEDE.AFCACD,ACDABD,AFCABD,BDCF,OCCF.OC是半径,CF是圆O的切线(2)解:设OCR.DE2CE2,BEDE2,CE1.OER1.在RtOBE中,(R1)222R2.解得R.OE1.由(1)得,OAOB,BEDE,AD2OE3;连接BC.BDCF,.BE2,OE,R,CF,OF,AFOFOA.在RtBCE中,CE1,BE2,BC.AB是直径,ACB为直角三角形AC2.ACF周长ACFCAF102.