1、专题三圆切线的相关证明及计算类型一 切线的性质 (2019菏泽)如图，BC是O的直径，CE是O的弦，过点E作O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BFGE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：ABG2C；(2)若GF3，GB6，求O的半径【分析】 (1)连接OE，根据切线的性质得到OEEG，推出OEAB，得到AOEC，根据等腰三角形的性质得到OECC，求得AC，根据三角形的外角的性质即可得到结论；(2)根据勾股定理得到BF3，根据相似三角形的性质即可得到结论【自主解答】1(2017菏泽)如图，AB是O的直径，PB与O相切于点B，连接PA交O于点C，连接BC.(1)求证：BACCBP；(2
2、)求证：PB2PCPA；(3)当AC6，CP3时，求sin PAB的值2(2019陕西)如图，AC是O的直径，AB是O的一条弦，AP是O的切线作BMAB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交O于点D，连接AD.(1)求证：ABBE；(2)若O的半径R5，AB6，求AD的长3(2019玉林)如图，在ABC中，ABAC5，BC6，以AB为直径作O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作O的切线EF交AC于点F，连接BD.(1)求证：EF是CDB的中位线；(2)求EF的长4(2019广东)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心
3、的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F.(1)求ABC三边的长；(2)求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积类型二 切线的判定 (2019诸城一模)如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，O分别与AB、AC相交于点E、F.(1)判断直线BC与O的位置关系并证明；(2)若O的半径为2，AC3，求BD的长度【分析】(1)连接OD，证明ODAC，即可证得ODB90，从而证得BC是圆的切线；(2)由ODAC，证得BDOBCA，根据相似三角形的性质得出，解得BE2，然后根据勾股定理即可求得BD的长度【自主解答】 1(2019临沂
4、)如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点O作ODAB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF.(1)求证：CF是O的切线(2)若A22.5，求证：ACDC.2(2019潍坊一模)如图，在ABC中，E为BC边上一点，以BE为直径的半圆D与AC相切于点F，且EFAD，AD交半圆D于点G.(1)求证：AB是半圆D的切线；(2)若EF2，AD5，求切线长AB.3(2019葫芦岛)如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使ECEF.(1)求证：EF是O的切线；(2)若cosCAD，AF6，MD2，求FC的
5、长4(2019绥化)如图，AB为O的直径，AC平分BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，AFCACD.(1)求证：直线CF是O的切线；(2)若DE2CE2.求AD的长；求ACF的周长(结果可保留根号)参考答案类型一切线的性质【例1】 (1)证明：连接OE，EG是O的切线，OEEG.BFGE，OEAB，AOEC.OEOC，OECC，AC.ABGAC，ABG2C.(2)解：BFGE，BFG90.GF3，GB6，BF3.BFOE，BGFOGE，OE6，O的半径为6.跟踪训练1(1)证明：AB是O的直径，PB与O相切于点B，ACBABP90，AABCA
6、BCCBP90，BACCBP.(2)证明：PCBABP90，PP，ABPBCP，PB2PCPA.(3)解：PB2PCPA，AC6，CP3，PB29327，PB3，sin PAB.2(1)证明：AP是O的切线，EAM90，BAEMAB90，AEBAMB90.又ABBM，MABAMB，BAEAEB，ABBE.(2)解：连接BC，AC是O的直径，ABC90.在RtABC中，AC10，AB6，BC8.BEABBM，EM12，由(1)知，BAEAEB，ABCEAM，CAME，即，AM.又DC，DAMD，ADAM.3(1)证明：连接AE，AB为O的直径，ADBAEB90，AEBC，BDAC.ABAC，BE
7、CE3.EF是O的切线，OEEF.OAOB，OE是ABC的中位线，OEAC，OEBD，BDEF.BECE，CFDF，EF是CDB的中位线(2)解：AEB90，AE4.ABC的面积ACBDBCAE，BD.EF是CDB的中位，EFBE.4解：(1)AB2，AC2，BC4.(2)由(1)得，AB2AC2BC2，BAC90，连接AD，AD2，S阴SABCS扇形AEFABACAD2205.类型二切线的判定【例2】 解：(1)BC与O相切证明：连接OD.AD是BAC的平分线，BADCAD.又ODOA，OADODA.CADODA.ODAC.ODBC90，即ODBC.又BC过半径OD的外端点D，BC与O相切(
8、2)由(1)知ODAC.BDOBCA.O的半径为2，DOOE2，AE4.BE2.BO4.在RtBDO中，BD2.跟踪训练1(1)证明：AB是O的直径，ACBACD90.点F是ED的中点，CFEFDF，AEOFECFCE.OAOC，OCAOAC.ODAB，OACAEO90，OCAFCE90，即OCFC，CF与O相切(2)证明：连接AD，ODAB，ACBD，AOEACD90.AEODEC，OAECDE22.5.AOBO，ADBD，ADOBDO22.5，ADB45，CADADC45，ACCD.2(1)证明：连接DF，AC与半圆D相切于点F，DFAC，AFD90.EFAD，EFDADF，FEDADB.
9、又DFDE，EFDFED，ADFADB.在ABD与AFD中ABDAFD(SAS)，ABDAFD90，AB是半圆D的切线(2)解：EFAD，CFECAD，设CE2x，CD5x，DFDE3x，在RtDFC中，由勾股定理，得CF4x，AF6x.在RtADF中，(6x)2(3x)252，解得x，ABAF6x2.3(1)证明：如图，连接OF，四边形ABCD是矩形，ADC90.CADDCA90.ECEF，DCAEFC.OAOF，CADOFA，EFCOFA90，EFO90，EFOF.OF是O的半径，EF是O的切线(2)如图，连接MF，AM是直径，AFM90.在RtAFM中，cosCAD.AF6，AM10.MD2，AD8.在RtADC中，cosCAD，AC，FC6.4证明：AC平分BAD，BACDAC，C是弧BD的中点，OCBD，BEDE.AFCACD，ACDABD，AFCABD，BDCF，OCCF.OC是半径，CF是圆O的切线(2)解：设OCR.DE2CE2，BEDE2，CE1.OER1.在RtOBE中，(R1)222R2.解得R.OE1.由(1)得，OAOB，BEDE，AD2OE3；连接BC.BDCF，.BE2，OE，R，CF，OF，AFOFOA.在RtBCE中，CE1，BE2，BC.AB是直径，ACB为直角三角形AC2.ACF周长ACFCAF102.