1、专题类型突破专题五 二次函数综合题类型一 线段、周长问题(2018宜宾中考改编)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线 y x 与抛物线交于 A，B 两点，直14线 l 为 y1.(1)求抛物线的解析式；(2)在 y 轴上是否存在一点 M，使点 M 到点 A，B 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在 l 上是否存在一点 P，使 PAPB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设点 S 是直线 l 的一点，是否存在点 S，使的 SBSA 最大，若存在，求出点 S 的坐标【分析】
2、(1)设顶点式 ya(x2) 2，将点(4，1)代入即可求 a 的值，得出抛物线的解析式；(2)联立直线 AB 与抛物线解析式得到点 A 与点 B 的坐标，设出点 M 的坐标为(0，m)，利用等式 MA2MB 2，求出点 M 的坐标；(3)利用最短线段思想，作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l于点 P，此时 PAPB 取得最小值求出直线 AB解析式后，联立直线 l 得出点 P 坐标；(4)由最短线段思想可知，当 S，A，B 三点共线时，SBSA 取得最大值【自主解答】1(2018广西中考)如图，抛物线 yax 25axc 与坐标轴分别交于点A，C，E 三点，其中 A(3，
3、0)，C(0，4)，点 B 在 x 轴上，ACBC，过点 B 作BDx 轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别是线段 CO，BC 上的动点，且 CMBN，连接 MN，AM，AN.(1)求抛物线的解析式及点 D 的坐标；(2)当CMN 是直角三角形 时，求点 M 的坐标；(3)试求出 AMAN 的最小值来源:学+科+网 Z+X+X+K类型二 图形面积问题(2018菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bx5 交y 轴于点 A，交 x 轴于点 B(5，0)和点 C(1，0)，过点 A 作 ADx 轴交抛物线于点 D.(1)求此抛物线的解析式；(2)点 E 是抛物线上一点，且点 E 关
4、于 x 轴的对称点在直线 AD 上，求EAD 的面积；(3)若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到某一位置时，ABP 的面积最大，求出此时点 P 的坐标和ABP 的最大面积【分析】 (1)根据题意可以求得 a，b 的值，从而可以求得抛物线的解析式；(2)根据题意可以求得 AD 的长和点 E 到 AD 的距离，从而可以求得EAD 的面积；(3)根据题意可以求得直线 AB 的函数解析式，再根据题意可以求得ABP 的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题【自主解答】2如图，已知抛物线 y x2bxc 经过ABC 的三个顶点，其中点 A(0，1) ，13点 B(9，10)，A
5、Cx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB，AC 分别交于点 E，F，当四边形AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；(3)当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由类型三 抛物线上架构的三角形问题(2018怀化中考改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax 22xc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线
6、AC 的解析式；(2)请在 y 轴上找一点 M，使BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；在数轴上是否存在点 M，使得ACM 是以 AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 (1)设交点式 ya(x1)(x3)，展开得到2a2，然后求出 a 即可得到抛物线解析式；再确定 C(0，3)，然后利用待定系数法求直线 AC 的解析式；(2)利用二次函数的性质确定 D 的坐标为(1，4)，
7、作 B 点关于 y 轴的对称点B，连接 DB交 y 轴于点 M，利用两点之间线段最短可判断此时 MBMD 的值最小，则此时BDM 的周长最小，然后求出直线 DB的解析式即可得到点 M 的坐标；(3)过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线 PC 的解析式，当过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另 一点 P 时，利用同样的方法可求出此时 P 点坐标因为ACM 是以 AC 为底的等腰三角形，得出 MA2MB 2，然后分类讨论点 M 在x 轴、y 轴时的两种情况，进而求出点 M 的坐标即可【自主解答】是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形(直
8、角三角形)的问题：首先弄清题意(如等腰三角形：若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点3(2018临沂中考)如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2O B， tanABC2，点 B 的坐标为(1，0)，抛物线 yx 2bxc 经过A，B 两点(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D，交线段AB 于点 E，使 PE DE.12
9、求点 P 的坐标；在直线 PD 上是否存在点 M，使ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由类型四 抛物线上架构的四边形问题(2018齐齐哈尔中考)综合与探究如图 1 所示，直线 yxc 与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 C，抛物线 yx 2bxc 经过点 A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 E 在抛物线的对称轴上，求 CEOE 的最小值；(3)如图 2 所示，点 M 是线段 OA 上的一个动点，过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P，N.若以 C，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，则CPN 的
10、面积为 ；若点 P 恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 D， 使以点 D，F，P，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 (1)把已知点坐标代入解析式；(2)取点 C 关于抛物线的对称轴直线 l 的对称点 C，由两点之间线段最短，最小值可得；(3)由已知，注意相似三角形的分类讨论设出 M 坐标，求点 P 坐标注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的本题即为研究CPN 为等腰三角形的情况【自主解答】解答存在性问题的一般思路解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而
11、判断结论是否成立遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏4(2017天水中考)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线yax 22ax3a(a0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，经过点 A的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且CD4AC.(1)求 A，B 两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线 l 的函数解析式(其中 k，b 用含 a 的式子表示)；(3)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积
12、的最大值为 ，求 a54的值；(4)设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由参考答案类型一【例 1】 (1)抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的解析式为 ya(x2) 2.该抛物线经过点(4，1)，14a，解得 a ，14抛物线的解析式为 y (x2) 2 x2x1.14 14(2)存在联立 解得 或y 14x，y 14x2 x 1， ) x1 1，y1 14) x2 4，y2 1， )点 A 的坐标为(1， )，点 B 的坐标为(4，1)14设点 M 的坐标为(0，m)，MA 2(
13、01) 2(m )2，14MB2(04) 2(m1) 2.点 M 到 A，B 的距离相等，MA 2MB 2，即(01) 2(m )2(04) 2(m1) 2，14m ，点 M 的坐标为(0， )858 858(3)存在如图，作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l 于点 P，此时PAPB 取得最小值点 B(4，1)，直线 l 为 y1，点 B的坐标为(4，3)设直线 AB的解析式为 ykxb(k0)，将 A(1， )，B(4，3)代入 ykxb 得14解得k b 14，4k b 3， ) k 1312，b 43， )直线 AB的解析式为 y x .1312 43当 y1 时，
14、有 x 1，1312 43解得 x ，2813点 P 的坐标为( ，1)2813(4)存在点 S 和点 A，B 在同一条直线上时，SBSA 最大点 S 在直线 l 上，设点 S 的坐标为(n，1)，代入 y x 得 n4，14点 S 的坐标为(4，1)变式训练1解：(1)把 A(3，0)，C(0，4)代入 yax 25axc 得 9a 15a c 0，c 4， )解得 a 16，c 4， )抛物线解析式为 y x2 x4.16 56ACBC，COAB，OBOA3，B(3，0)BDx 轴交抛物线于点 D，D 点的横坐标为 3，当 x3 时，y 9 345，16 56D 点坐标为(3，5)(2)在
15、 RtOBC 中，BC 5.OB2 OC2 32 42设 M(0，m)，则 BN4m，CN5(4m)m1.MCNOCB，当 时，CMNCOB，CMCO CNCB则CMNCOB90，即 ，解得 m ，此时 M 点坐标为(0， )4 m4 m 15 169 169当 时，CMNCBO，CMCB CNCO则CNMCOB90，即 ，解得 m ，此时 M 点坐标为(0， )4 m5 m 14 119 119综上所述，M 点的坐标为(0， )或(0， )169 119(3)如图，连接 DN，AD.ACBC，COAB，OC 平分ACB，ACOBCO.BDOC，BCODBC.DBBCAC5，CMBN，ACMD
16、BN，AMDN，AMANDNAN，而 DNANAD(当且仅当点 A，N，D 共线时取等号)，AD ，62 52 61AMAN 的最小值为 .61类型二【例 2】 (1)抛物线 yax 2bx5 经过点 B(5，0)和点 C(1，0)， 解得25a 5b 5 0，a b 5 0， ) a 1，b 4， )抛物线的解析式为 yx 24x5.(2)抛物线 yx 24x5 交 y 轴于点 A， A 点坐标为(0，5)又点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，点 E 的纵坐标为 5.如图，过点 E 作 EFDA，交 DA 的延长线于点 F，EF5|5|10.设点 D 的坐标为(a，5)，a 24a
17、55，a 10，a 24，点 D 的坐标为(4，5)，AD|4|4，S ADE ADEF 41020.12 12(3)设直线 AB 的解析式为 ykxb，且该直线经过点 B(5，0)和点A(0，5)， 解得 5k b 0，b 5， ) k 1，b 5， )直线 AB 的解析式为 yx5.如图，过点 P 作 PNx 轴，垂足为点 N，交直线 AB 于点 M.设 P(x，x 24x5)，则 M(x，x5)，S ABP S PMB S PMA (x5)(x 24x5)512 (x25x) (x )2 ，52 52 52 1258当 x 时，S ABP 最大，最大值为 .52 1258将 x 代入 y
18、x 24x5 得 y ，52 354P 点的坐标为( ， )52 354变式训练2解：(1)把点 A(0，1)，B(9，10)的坐标代入 y x2bxc，13得 解得1 c，10 13（ 9） 2 9b c， ) b 2，c 1.)抛物线的解析式是 y x22x1.13(2)ACx 轴，A(0，1)，由 x22x11，解得 x16，x 20.13C(6，1)设直线 AB 的解析式是 ykxb(k0)，由 解得1 b，10 9k b， ) k 1，b 1.)则直线 AB 的解析式是 yx1.设点 P 的坐标为(m， m22m1)，则点 E 的坐标为(m，m1)，13EPm1( m22m1) m2
19、3m.13 13 ACEP，AC6，S 四边形 AECPS AEC S APC ACEF ACPF12 12 AC(EFPF) ACPE12 12 6( m23m)12 13m 29m (m )2 .92 814又6m0，则当 m 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ，92 814此时点 P 的坐标是( ， )92 54(3)由 y x22x1 (x3) 22，得顶点 P 的坐标是(3，2)，此时13 13PFy Fy P3，CFx Fx C3，则在 RtCFP 中，PFCF，PCF45.同理可求EAF45，PCFEAF，在直线 AC 上存在满足条件的 Q，如图CPQ 1ABC 或CQ 2
20、PABC.可求 AB9 ，AC6，CP3 ，2 2当CPQ 1ABC 时，设 Q1(t1，1)，由 ，得 ，解得 t14.CQ1AC CPAB t1 66 3 29 2当CQ 2PABC，设 Q2(t2，1)，由 ，得 ，解得 t23.CQ2AB CPAC t2 69 2 3 26综上，满足条件的点 Q 有两个，坐标分别是 Q1(4，1)或 Q2(3，1)类型三【例 3】 (1)设抛物线解析式为 ya(x1)(x3)，即 yax 22ax3a，2a2，解得 a1，抛物线解析式为 yx 22x3.当 x0 时，yx 22x33，则 C(0，3)来源:学科网设直线 AC 的解析式为 ypxq，把
21、A(1，0)，C(0，3)代入得 解得 p q 0，q 3， ) p 3，q 3， )直线 AC 的解析式为 y3x3.(2)yx 22x3(x1) 24，顶点 D 的坐标为(1，4)如图，作 B 点关于 y 轴的对称点 B，则 B(3，0)，连接 DB交 y 轴于 M.MBMB，MBMDMBMDDB，此时 MBMD 的值最小BD 的值不变，此时BDM 的周长最小易得直线 DB的解析式为 yx3.当 x0 时，yx33，点 M 的坐标为(0，3)(3)存在如图，过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P.直线 AC 的解析式为 y3x3，直线 PC 的解析式可设为y xb，13把 C(0，
22、3)代入得 b3，直线 PC 的解析式为 y x3.13解方程组 得 或y x2 2x 3，y 13x 3 ) x 0，y 3) x 73，y 209， )则此时 P 点坐标为( ， )73 209如图，过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，直线 PA 的解析式可设为y xb 1，13把 A(1，0)代入得 b 10，解得 b1 ，13 13直线 PC 的解析式为 y x .13 13解方程组 得 或y x2 2x 3，y 13x 13 ) x 1，y 0 ) x 103，y 139， )则此时 P点坐标为( ， )103 139综上所述，符合条件的点 P 的坐标为( ， )或( ，
23、 )73 209 103 139存在当点 M 在 x 轴上时，设点 M 的坐标为(n，0)，MA 2MB 2，即n(1) 2n 2(03) 2，n4，此时点 M 的坐标为(4，0)当点 M 在 y 轴上时，设点 M 的坐标为(0，a)，MA 2MB 2，即0(1) 2(a0) 2(3a) 2，a ，此时点 M 的坐标为(0， )43 43综上所述，符合条件的点 M 的坐标为(4，0)或(0， )43变式训练3解：(1)在 RtABC 中，由点 B 的坐标可知 OB1.OC2OB，OC2，则 BC3.又 tanABC2，AC2BC6，则点 A 的坐标为(2，6)把点 A，B 的坐标代入抛物线 y
24、x 2bxc 中得 4 2b c 6， 1 b c 0， )解得 b 3，c 4， )该抛物线的解析式为 yx 23x4.(2)由点 A(2，6)和点 B(1，0)的坐标易得直线 AB 的解析式为 y2x2.如图，设点 P 的坐标为(m，m 23m4)，则点 E 的坐标为(m，2m2)，点D 的坐标为(m，0)，则 PEm 2m2，DE2m2，由 PE DE 得m 2m212(2m2)，12解得 m1.又2m1，m1，点 P 的坐标为(1，6)M 在直线 PD 上，且 P(1，6)，设 M(1，y)，AM 2(12) 2(y6) 21(y6) 2，BM2(11) 2y 24y 2，AB 2(1
25、2) 26 245.分三种情况：()当AMB90时，有 AM2BM 2AB 2，1(y6) 24y 245，解得 y3 ，11M(1，3 )或(1，3 )；11 11()当ABM90时，有 AB2 BM2AM 2，454y 21(y6) 2，解得 y1，M(1，1)()当BAM90时，有 AM2AB 2BM 2，1(y6) 2454y 2，解得 y ，M(1， )132 132综上所述，点 M 的坐标为(1，3 )或(1，3 )或(1，1)或11 11(1， )132类型四【例 4】 (1)将 A(4，0)代入 yxc 得 c4，将 A(4，0)和 c4 代入 yx 2bxc 得 b3，抛物线
26、解析式为 yx 23x4.(2)如图，作点 C 关于抛物线对称轴的对称点 C，连接 OC，交直线 l 于点 E，连接 CE，此时 CEOE 的值最小抛物线对称轴直线 x ，CC3.32由勾股定理可得 OC5，CEOE 的最小值为 5.(3)当CNPAMP 时，CNP90，则 NC 关于抛物线对称轴对称，NCNP3，CPN 的面积为 .92当CNPMAP 时，由已知NCP 为等腰直角三角形，NCP90.如图，过点 C 作 CEMN 于点 E，设点 M 坐标为(a，0)，EPECa，则 N 为(a，a 23a4)，MPa 23a4(2a)a 2a4，P(a，a 2a4)，代入 yx4，解得 a2
27、或 a0(舍)，则 N(2，6)，P(2，2)，故 PN4.又ECa2，CPN 的面积为 4.故答案为 或 4.92存在设点 M 坐标为(a，0)，则点 N 坐标为(a，a 23a4)，则 P 点坐标为(a， )， a2 3a 42把点 P 坐标代入 yx4，解得 a14(舍去)，a 21.当 PFFM 时，点 D 在 MN 垂直平分线上，则 D( ， )；12 32当 PMPF 时，由菱形性质得点 D 坐标为(1 ， )或(1 ，3 22 3 22 3 22)；3 22当 MPMF 时，M，D 关于直线 yx4 对称，点 D 坐标为(4，3)变式训练4解：(1)当 y0 时，ax 22ax3
28、a0，解得 x11，x 23，A(1，0)，B(3，0)，对称轴为直线 x 1. 1 32(2)直线 l 为 ykxb 且过 A(1，0)，0kb，即 kb，直线 l 为 ykxk.抛物线与直线 l 交于点 A，D，ax 22ax3akxk，即 ax2(2ak)x3ak0.CD4AC，点 D 的横坐标为 4，3 14，ka，ka直线 l 的函数解析式为 yaxa.(3)图 1如图 1，过点 E 作 EFy 轴交直线 l 于点 F.设 E(x，ax 22ax3a)，则 F(x，axa)，EFax 22ax3aaxaax 23ax4a，S ACE S AFE S CEF (ax23ax4a)(x1
29、) (ax23ax4a)12 12x (ax23ax4a) a(x )2 a，12 12 32 258ACE 的面积的最大值为 a.258ACE 的面积的最大值为 ，54 a ，258 54解得 a .25(4)以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形令 ax22ax3aaxa，即 ax23ax4a0，来源:Z。xx。k.Com解得 x1 1，x 24，D(4，5a)抛物线的对称轴为直线 x1，设 P(1，m)，如图 2，若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，图 2则易得 Q(4，21a)，m21a5a26a，则 P(1，26a)四边形 ADPQ 是矩形，ADP90，AD 2PD 2AP 2，5 2(5a) 23 2(26a5a) 22 2(26a) 2，即 a2 .17a0，a ，77P(1， )26 77如图 3，若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，图 3则易得 Q(2，3a)，m5a(3a)8a，则 P(1，8a)四边形 APDQ 是矩形，APD90，AP 2PD 2AD 2，(11) 2(8a) 2(14) 2(8a5a) 25 2(5a) 2，即 a2 .14a0，a ，P(1，4)12综上所述，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P 坐标为(1，)或(1，4)26 77
