1、专题九二次函数综合题类型一 线段最值(含周长)问题命题角度代数型线段(周长)最值问题(2019重庆B卷改编)在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.动点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PEy轴交BC于E，作PFBC于F，设点P的横坐标为m，求当m为何值时，PEF的周长取得最大值，并求PEF周长的最大值【分析】先确定PF，PE，EF之间的数量关系，再用含m的代数式表示PEF的周长，进而利用二次函数最值性质求解【自主解答】1(2019烟台改编)如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，CDx轴
2、交抛物线于D.DEx轴于E，抛物线顶点为M.点F，N分别是x轴和y轴上两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形的周长最小时，求点N，F的坐标命题角度几何型两条线段最值问题(2018重庆B卷改编)如图，抛物线yx2x与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线上一点P的坐标为(2，)将线段OB沿x轴左右平移，其对应线段为O1B1，连接PO1，B1C，求PO1B1C的最小值【分析】先找出PO1B1C取得最小值时点B1的位置，再结合勾股定理求解【自主解答】1(2018永州节选)如图，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E(0，3)(1)求抛物线的
3、表达式；(2)已知点F(0，3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EGFG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由命题角度几何型三条线段和的最值问题(2019重庆A卷改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E.点M是线段BD上一动点(点M不与端点B，D重合)，过点M作MNBD交抛物线于点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NHx轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HFFPPC的最小值【分析】先根据NHx轴交BD于F，MNBD于M，从而在RtMNF中
4、，利用锐角三角函数用FN表示MN，从而得到MN最大时F点坐标，而HF为定值，从而要确定HFFPPC的最小值，可先确定，从而过点P作PJCA于J，只需点F，P，J在一条直线上时即可得到对应的最小值【自主解答】1(2016重庆B卷改编)如图，二次函数yx22x1的图象与一次函数ykxb的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且SAMOS四边形AONB148.(1)求直线AB和直线BC的解析式；(2)点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PDx轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作P
5、Ex轴于点E，PFBC于点F，当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H(不与点A，B重合)，使PEGHHB的值最小，求点H的坐标和PEGHHB的最小值类型二 面积最值问题(2017重庆A卷改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上在直线CE下方的抛物线上取点P，连接PC，PE，求PCE面积最大时，点P的坐标【分析】求出点E的坐标即可确定直线CE的解析式，要确定PCE面积最大时点P的坐标，只需用含P横坐标的代数式表示出PCE的面积，再利用二次函数最值求解【自主解答】1(2019淮安)
6、如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是线段BD上一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且EDEF，求点E的坐标；(3)试问，在该二次函数的图象上是否存在点G，使得ADG的面积是BDG的面积的，若存在，求点G的坐标，若不存在，请说明理由第1题图备用图2(2018重庆A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx24x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1，1)(1)求线段AB的长；(2)点P为线段AB上方抛物线上
7、的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当PBE的面积最大时，求PHHFFO的最小值类型三 角度关系探究(2019重庆A卷改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于C(0，3)，点Q是OC上一点，且OQ2.连接AQ，把AOQ绕点O顺时针旋转一定角度(0360)，得到AOQ，其中边AQ交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G，使得QQOG，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由【分析】由AOQ绕点O顺时针旋转时，QQOG，从而得到QGOG，结合直角三角形性质得到AGOGQG，从而确定点G的坐标，利用两点距离公式
8、确定点Q的坐标【自主解答】1(2019玉林)已知二次函数：yax2(2a1)x2(a0)(1)求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；(2)当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式，并画出二次函数的图象不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B(A在B的左侧)，与y轴的交点C及其顶点D这四个点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置；(3)在(2)的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使PCA75？如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由2(2019毕节)已知抛物线yax2bx3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交
9、于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点(1)抛物线的解析式为_ ，抛物线的顶点坐标为_；(2)如图1，连接OP交BC于点D，当SCPDSBPD12时，请求出点D的坐标；(3)如图2，点E的坐标为(0，1)，点G为x轴负半轴上一点，OGE15，连接PE，若PEG2OGE，请求出点P的坐标；(4)如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由3(2019海南)如图，已知抛物线yax2bx5经过A(5，0)，B(4，3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B，C不重合)，设点P
10、的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值；该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD，若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由类型四 特殊三角形探究问题命题角度探究等腰三角形问题(2019重庆B卷节选)如图，抛物线L：yx2x2与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q.将抛物线L沿直线AC方向平移，得到抛物线L，当抛物线L经过原点O时停止平移，记抛物线L的顶点为D，动点N是直线DQ上一点，DCN能否构成等腰三角形，若能，求出满足条件的点N的坐标，若不能，请说明理由【分析】由平移后抛物线L经过原点O，从而确定抛物线L的函
11、数表达式，得到点D的坐标再根据DCN是等腰三角形分DCDN，CNDN，DCCN三种情况讨论确定点N的坐标即可【自主解答】1(2017重庆A卷节选)如图，抛物线yx2x与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E(4，n)在抛物线上点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D.记y的顶点为F，在新抛物线y的对称轴上，是否存在点Q，使得FGQ是等腰三角形，若存在，请求点Q的坐标；若不存在，请说明理由命题角度直角三角形的探究问题(2016重庆B卷节选)如图，二次函数L：yx22x1的图象与y轴交于点A，且经过点B，其中点B的横坐标为
12、6，顶点为C，定点K的坐标为(3，4)将二次函数L沿直线BC平移，平移距离为t(t0)，平移后点A，C的对应点分别为A，C，当ACK是直角三角形时，求t的值【分析】先确定点B，C的坐标，从而确定直线BC的函数解析式，由抛物线沿BC方向平移，得到对应的新抛物线的解析式，进而确定点A，C，即可得到AK，AC，CK的长，再利用勾股定理逆定理列方程求解【自主解答】1(2019河南)如图，抛物线yax2xc交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线yx2经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.当PCM是直角三角形时，求点P的
13、坐标；作点B关于点C的对称点B，则平面内存在直线l，使点M，B，B到该直线的距离都相等当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：ykxb的解析式(k，b可用含m的式子表示)类型五 特殊四边形探究问题(2018重庆A卷节选)如图，抛物线yx24x的顶点为D，直线l：y3与y轴交于点C，点H是l上一点，且CH，点F在CO上，且CF.将CFH绕C点顺时针旋转60后得到CHF，过点F作CF的垂线交直线l于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面内是否存在点S，使得点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由【分析】要确定以点D，Q，R，
14、S为顶点的四边形是菱形，可利用菱形性质，即邻边相等，对边平行且相等，分三种情况讨论确定【自主解答】1(2019贵港)如图，已知抛物线yax2bxc的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标1(2019渝中区二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x2与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，抛物线的顶点为D.连接AB，点E是第二象限内的抛物线上一动点，过点E作EPBC于点P，
15、交线段AB于点F.(1)连接EA、EB，取线段AC的中点Q，当EAB面积最大时，在x轴上找一点R使得|RE一RQ|值最大，请求出点R的坐标及|RERQ|的最大值；(2)如图2，在(1)的条件下，将PED绕E点旋转得到EDP，当APP是以AP为直角边的直角三角形时，求点P的坐标 图1 图22(2019南岸区校级模拟)在平面直角坐标系中，抛物线yx2x2交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C.(1)如图1，点D是抛物线在第二象限内的一点，且满足|xDxA|2，过点D作AC的平行线，分别与x轴、射线CB交于点F、E，点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接PD交线段AC于点Q，当四边形PQ
16、EF的面积最大时，在y轴上找一点M，x轴上找一点N，使得PMMNNB取得最小值，求这个最小值；(2)如图2，将BOC沿着直线CA平移得到BOC，再将BOC沿BC翻折得到BOC，连接BC、OB，则CBO能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点O的坐标，若不能，请说明理由 图1 图2参考答案【例1】解：令yx22x30，解得x11，x23，点B的坐标为(3，0)，令x0得y3，点C的坐标为(0，3)，OBOC，BOC90，OCB45.PEy轴，PEFOCB45，PFBC，PFEFPE.由点B(3，0)，C(0，3)得直线BC的函数解析式为yx3，点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点P的
17、坐标为(m，m22m3)，点E(m，m3)，PE(m22m3)(m3)m23m，PEF的周长PEPFEF(m23m)2(m23m)(1)(m)2(1)，即当m时，PEF的周长有最大值，最大值为(1)跟踪训练1解：令x0得y3，将抛物线yx22x3化为顶点式得y(x1)24，顶点M的坐标为(1，4)，对称轴为直线x1，CDx轴，点D与点C关于直线x1对称，点D的坐标为(2，3)，作点M关于y轴的对称点M，点D关于x轴的对称点D，如解图，则点M(1，4)，点D(2，3)，连接MD，交x轴于F，交y轴于N，则此时四边形MNFD的周长最小，易得直线MD的函数解析式为yx，点N的坐标为(0，)，点F的坐
18、标为(，0)【例2】解：令yx2x0，解得x13，x2，令x0，得y，PCx轴，BOO1B1，如解图，将点P沿PC方向平移个单位得到点P1，连接P1B1，作点P1关于x轴的对称点P2，连接CP2，交x轴于B1，PP1O1B1，PP1O1B1，四边形PP1B1O1是平行四边形，P1B1PO1，点P1与点P2关于x轴对称，B1P2B1P1，PO1B1CP2B1B1C，当点B1在P2C上时，PO1B1C取得最小值，最小值的长为P2C.此时P1P22，P1CPCPP1，PO1B1C的最小值P2C.跟踪训练1解： (1)设抛物线的表达式为ya(x1)24，把点E(0，3)代入得a(01)243，解得a1
19、，y(x1)24x22x3；(2)存在点E关于对称轴直线x1的对称点为E(2，3)，设过E，F的直线表达式为ymxn，把E、F两点坐标代入得解得直线EF的表达式为y3x3，把x1代入，得y0，点G的坐标为(1，0)【例3】解：令yx22x30得x11，x23，令x0得y3，点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，OC3OA.化为顶点式得y(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)，直线BD的函数解析式为y2x6.设点N的坐标为(n，n22n3)，则点F的坐标为(n，2n6)，NF(2n6)(n22n3)n24n3(n2)21，当n2时，NF最大，此时点F的坐标为(2，2)MNBD，MNFNco
20、sFNMFNcosDBEFN，当FN最大时，MN最大，即MN最大时，点F的坐标为(2，2)在RtAOC中，OA1，OC3，由勾股定理得AC，过点P作PJAC于J，则PJCAOC，PJPC，PFPC的最小值即PFPJ的最小值，即当FJAC时最小如解图，过点F作FGx轴交AC于G.易得直线AC的函数解析式为y3x3，当y2时，x，点G的坐标为(，2)，FG，FGx轴，FGJOAC，sinFGJ，即，解得FJ，即FHFPPC的最小值为HFFJ2.跟踪训练1解：(1)BNOA，OAMNBM，()2.SAMOS四边形AONB148，()2，AO1，BN7.令yx22x17，解得x6或x2.点B在第一象限
21、，点B的坐标为(6，7)A(0，1)，直线AB的函数解析式为yx1.易得抛物线顶点C的坐标为(2，1)，则直线BC的解析式为y2x5. (2)设点P坐标为(m，m1)，则D(，m1)，PEm1，PD，设BC与x轴的交点为Q，则Q(，0)，NQ，BQ，PDON，PDFBQN，又PFDBNQ90，PDFBQN，即，PF(6m)，PEPF(6m)(m1)m2m，当m时，PEPF的值最大，此时点P(，)，E(，0)与点Q重合，PB，G(5，)，以直线AB为对称轴，作点G的对称点G，GG与AB交于点R，如解图，过点G作GHx轴交BN于点K，交AB于点H，此时点H就是使PEGHBH取最小值的点在RtPRG
22、中，PG，RPGRGP45，RPRG.易得RHGBHKHBK45，RHRGRG，GH，PH，BHBPPH，HKBH1，H(5，6)，PEGHBH的最小值为7.【例4】 解：点E(4，n)在抛物线上，n424.令x0得y，点C的坐标为(0，)，直线CE的函数解析式为yx.过点P作PFy轴交CE于F，如解图，设点P的坐标为(m，m2m)，则点F(m，m)，则PF(m)(m2m)m2m，SEPCPF|xExC|m2m(m2)2，当m2时，EPC的面积最大，此时点P的坐标为(2，)跟踪训练1解：(1)抛物线的顶点D的坐标为(1，3)，设抛物线表达式为ya(x1)23，第1题解图1将点B(5，0)代入得
23、a(51)230，解得a，该二次函数的表达式为y(x1)23.(2)设抛物线对称轴交x轴于点C，则点C的坐标为(1，0)，在RtBCD中，BCBOCO4，CD3，由勾股定理得BD5.EFBC，DCBC，EFDC，BEFBDC，EFDE，解得EF，BF，OFOBBF，点E的坐标为(，) (3)抛物线对称轴为直线x1，点B的坐标为(5，0)，点A的坐标为(3，0)，AB8.SADGSBDG35，点A，B到直线DG的距离之比为35.分两种情况讨论：A，B两点在直线DG的同侧如解图2，则.易得HANHBM，第1题解图2，解得AH12，点H的坐标为(15，0)，由点D(1，3)，H(15，0)得直线DH
24、的解析式为y(x15)，联立得，解得，点G的坐标为(0，)；当点A，B在直线DG的两侧时，如解图3所示，则，第1题解图3，直线DG经过点O，则直线DG的表达式为y3x，联立得，解得，此时点G的坐标为(15，45)，综上，符合条件的点G有两个，坐标分别为(0，)，(15，45)2解：(1)yx24x(x2)24，抛物线的对称轴为直线x2.A的横坐标为x1，且在抛物线上，yA1413，点A的坐标为(1，3)A与B关于x2对称，B(3，3)，AB2.(2)如解图，延长PH交BE于点N.B(3，3)，E(1，1)，直线BE的解析式为：yx. 设P(m，m24m)，1m3，则N(m，m)，分析可得，当P
25、N取最大值时，SPBE取最大值，PNm24mm(m)2 ，当m，PN取最大值，P(，)，H(，3)，构造与y轴夹角为30的直线OM，过点F作MFOM于M.则OM：yx，即xy0，MFFO，PH.PHHFFOPHHFMF，当HMOM，HM与y轴的交点为F时，(PHHFMF)minPHHM，MOF30，FMOM，MFO60HFC，HC，FC，HF，FOOCFC3，FM，PHHFFO的最小值为 .【例5】解：OQ2，点Q在y轴的负半轴，点Q的坐标为(0，2)，A(1，0)，AQ.设点Q的坐标为(m，n)由旋转性质可知OQOQ2，m2n24，例5题解图1如解图1，当点G在y轴的正半轴时，点Q在第二象限
26、，当OQGQOG时，OGGQ，AOQA90，QOGAOG90，AOGA，OGGA，QGAQ，点G的坐标为(0，)，则m2(n)2()2，解得，此时点Q的坐标为(，)同理，将AOQ旋转至图2所示时，即点G在y轴的负半轴时，此时点Q与点(，)关于原点对称，此时点Q的坐标为(，) 解图2 解图3 解图4当点G在x轴的负半轴上时，如解图3，Q在第三象限，则，解得，此时点Q的坐标为(，)；同理，如解图4，当点G在x轴的正半轴时，点Q的坐标为(，)跟踪训练1解：(1)证明：令yax2(2a1)x20，(2a1)24a24a24a18a4a24a1(2a1)2，a0，2a10，方程ax2(2a1)x20有两
27、个不相等的实数根，函数yax2(2a1)x20与x轴有两个不同的交点(2)解方程ax2(2a1)x20，得x，x12，x2，是整数，且a是负整数，a1，抛物线的解析式为yx2x2，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，顶点D的坐标为(，)，画图如解图所示解图1(3)连接AC，由(2)知OAOC2，AOC90，ACO45，PCA75，分两种情况讨论，当点P在直线AC的上方时，如解图2，取点C关于对称轴x的对称点E，则点E的坐标为(1，2)，CEx轴，ECACAB45，PCA75，PCE30，设点P的坐标为(m，m2m2)，则点P到CE的距离为m2m，tan30，
28、解得m，此时点P的坐标为(，)，当点P在直线AC的下方时，如解图3，PCOPCAACO754530.过点P作PFy轴于F，则PFm，CF2(m2m2)m2m，tanPCF，即，解得m1，此时点P的坐标为(1，1) 解图2 解图32解：(1)yx22x3；(1，4)(2)OBOC，CBO45，BC3.SCPDSBPD12，BDBC32，yDBDsinCBO2，点D的坐标为(1，2)；(3)设直线PE交x轴于点H，OGE15，PEG2OGE30，OHE45，OHOE1，直线HE的表达式为yx1.联立得，解得x1，点P在第二象限，xP，点P的坐标为(，)(4)如解图，连接BC，过点P作y轴的平行线交
29、BC于点H，直线BC的表达式为yx3，设点P(x，x22x3)，点H(x，x3)，则S四边形BOCPSBOCSPBC33(x22x3x3)38，整理得3x29x70，b24ac9243730，方程无解，即不存在满足条件的点P.3解：(1)将点A，B坐标代入抛物线得，解得，抛物线的表达式为yx26x5.(2)令yx26x50，得x11，x25，点C的坐标为(1，0)由点B(4，3)得直线BC的函数解析式为yx1，过点P作PGy轴交BC于G，如解图1，解图1设点P的坐标为(t，t26t5)，则点G(t，t1)，PG(t1)(t26t5)t25t4，SPBCPG|xCxB|(t25t4)(t)2，0
30、，当t时PBC面积最大，最大值为.当点P在直线BC下方时，如解图2，设BP交CD于点H.解图2PBCBCD，点H在BC的垂直平分线上，易得线段BC的中点坐标为(，)，过该点与直线BC垂直的直线设为yxm，则m，解得m4，线段BC的垂直平分线的函数解析式为yx4.易得直线CD的函数表达式为y2x2，联立得，解得，点H的坐标为(2，2)，直线BH的函数解析式为yx1.联立得，解得或(舍去)，点P的坐标为(，)当点P在直线BC上方时，如解图2，PBCBCD，BPCD，直线BP的表达式为y2x5，联立得，解得(舍)或，此时点P的坐标为(0，5)【例6】解：令yx2x20，解得x12，x24，令x0得y
31、2，点A(2，0)，点C(0，2)，设直线AC的函数解析式为ykxb，把A，C代入得，解得，直线AC的函数解析式为yx2.将抛物线yx2x2化为顶点式得y(x1)2，点D的坐标为(1，)，设抛物线沿直线AC平移了2m个单位，则顶点D向右平移了m个单位，同时向上平移了m个单位，所得新的抛物线的函数关系式为y(x1m)2m，新的抛物线经过原点O，(01m)2m0，解得m4或m2(舍)点D的坐标为(5，)点N在直线DQ上，设点N的坐标为(1，t)，CN21(t2)2，DN2(51)2(t)2，CD2(50)2(2)2.DCN是等腰三角形，分以下三种情况：CNDN，则CN2DN2，即1(t2)242(
32、t)2，解得t，此时点N的坐标为(1，)；CNCD，则CN2CD2，即1(t2)225，解得t2，此时点N的坐标为(1，2)或(1，2)；DNCD，则DN2DC2，即42(t)225，解得t，此时点N的坐标为(1，)或(1，)跟踪训练1解：易得点C的坐标为(0，)，点E的坐标为(4，)，点A的坐标为(1，0)，点G是CE的中点，点G的坐标为(2，)由抛物线yx2x(x1)2得对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，)抛物线向右平移后过点D(1，0)，平移了2个单位，新抛物线y的顶点F(3，)，对称轴为直线x3.点Q在直线x3上，设点Q的坐标为(3，m)，则FQ2(m)2m2m，GQ21(m)2m2m
33、，FG21()2.FGQ是等腰三角形，分三种情况讨论，当FQGQ，即FQ2GQ2时，m2mm2m，解得m，此时点Q的坐标为(3，)；当FQFG，即FQ2FG2时，m2m，解得m，此时点Q的坐标为(3，)或(3，)；当GQFG，即GQ2FG2时，m2m，解得m2或m(与点F重合，舍去)，此时点Q的坐标为(3，2)【例7】 解：点B在抛物线上，横坐标为6，代入得yB622617，点B的坐标为(6，7)，将抛物线化为顶点式得y(x2)21，点C的坐标为(2，1)，直线BC的函数表达式为y2x5，抛物线L沿直线BC方向平移t个单位，图象上点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位，A(t，t1)，C(2t，t
34、1)，K(3，4)，AC2AC222228，AK2(t3)2(t3)2t2t18，CK2(t1)2(t5)2t2t26，要ACK是直角三角形，分以下三种情况讨论：当CAK90，则CA2AK2CK2，8t2t18t2t26，解得t0，当ACK90，则AC2CK2AK2，8t2t26t2t18，解得t4；当AKC90时，则AK2CK2AC2，t2t26t2t188，解得t22或t2.综上可知，当ACK是直角三角形时，t的值为0，4，2或2.跟踪训练1解：(1)当x0时，yx22，点C的坐标为(0，2)，当y0时，x20，解得x4，点A的坐标为(4，0)，将A(4，0)，C(0，2)代入抛物线yax
35、2xc得，解得.抛物线的解析式为yx2x2.(2)如解图1，PMx轴，PMC90，分两种情况讨论，解图1 (i)当MPC90时，PCx轴，点P与点C关于抛物线对称轴对称，则点P的坐标为(2，2)；(ii)当PCM90时，设PC交x轴于点D，OACOCA90，OCAOCD90，OACOCD，又AOCCOD90，AOCCOD，即，OD1，点D的坐标为(1，0)，点C(0，2)，直线CD的函数解析式为y2x2，联立得，解得，点P的坐标为(6，10)，综上可知，当PCM是直角三角形时，点P的坐标为(2，2)或(6，10)如解图2，当y0时，x2x20，解得x14，x22，点B的坐标为(2，0)，解图2
36、点B关于点C的对称点B的坐标为(2，4)，点P的横坐标为m(m0)，点M的坐标为(m，m2)，则直线BM的解析式为yx，直线BM的解析式为yx，直线BB的解析式为yx2.当直线lBM且经过点C时，直线l的解析式为yx2；当直线lBM且过点C时，直线l的解析式为yx2；当直线lBB且过线段CM的中点N(m，m2)时，直线l的解析式为：yxm2.【例8】解：由抛物线知顶点D的坐标为(2，4)，对称轴为x2，CFH是由CFH绕点C顺时针旋转60得到，HCH60，HCFHCF90，FCQ30，CFCF，CFQF，CQCF1，Q(1，3)DQ.以点D，Q，R，S为顶点的四边形是菱形，分以下几种情况讨论：
37、当DR是菱形的对角线时，点S与点Q关于DR对称，如解图1，则点S的坐标为(5，3)；当DQ为菱形对角线时，过点Q作QPDR于P，如解图2，则PQ3，DP1，设QSQRDRm，在RtQPR中，由勾股定理得m2(m1)232，解得m5，此时点S的坐标为(1，8)； 解图1 解图2 解图3当DS为菱形对角线时，如解图3，QSDR，且QSDR，点S的坐标为(1，3)或(1，3). 跟踪训练1解：(1)抛物线的顶点为A(4，3)，设抛物线解析式为ya(x4)23，抛物线与y轴交于点B(0，5)，a(04)235，解得a，抛物线的表达式为y(x4)23，即yx24x5.(2)点M是AB的中点，点M的坐标为
38、(2，1)，设直线AB的函数表达式为ykxt，将点A，B的坐标代入得，解得，直线AB的函数表达式为y2x5.(3)点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为(4，m)，点P在抛物线上，设点P的坐标为(n，n24n5)，以A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，分以下几种情况讨论：当AQ是平行四边形的对角线时，MP与AQ互相平分，则点P的横坐标为4226，则点P的坐标为(6，1)，则根据平行四边形的中心对称性质可知，点Q的坐标为(4，3)当AM是平行四边形的对角线时，PMAQ，点P的横坐标与点M的相同，点P的坐标为(2，1)，由平行四边形的中心对称性质可知，点Q的坐标为(4，1)；当AP是平行四边形的对角线时，同理可得MPAQ，且点Q在点A的上方，此时点P的坐标为(2，1)，点Q的坐标为(4，5)
