1、题型二新定义阅读理解题1. (2019重庆江北区模拟)材料：解形如(xa)4(xb)4c的一元四次方程时，可以先求常数a和b的均值，然后设yx，再把原方程换元求解用这种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法”例：解方程：(x2)4(x3)41解：2和3的均值为，设yx，原方程可化为(y)4(y)41.去括号得(y2y)2(y2y)21.y4y22y3y2yy4y22y3y2y1.整理得2y43y20.(成功地消去了未知数的奇次项)解得y2或y2(舍去)y，即x.x3或x2.(1)用阅读材料中这种方法解关于x的方程(x3)4(x5)4113
2、0时，先求两个常数的均值为_设yx_原方程转化为：(y_)4(y_)41130；(2)用这种方法，求解方程(x1)4(x3)4706.2. (2019重庆中考说明样卷)求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著九章算术中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也，以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数例如：求91与56的最大公约数解：91
3、5635，563521，352114，21147，1477，所以，91与56的最大公约数是7.请用以上方法解决下列问题：(1)求108与45的最大公约数；(2)求三个数78、104、143的最大公约数3. 材料一：若整数a和整数b除以整数m所得的余数相同，则称a和b对m同余材料二：一个n位数如果满足相邻两位上的数字之差(高位数字减去低位数字)均为一个相同的整数，我们就叫这个数为阶梯数，当这个整数为k(k0)时，这个数叫n位k阶数如：123是三位负一阶数，4321是四位一阶数(1)证明：一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除； (2)一个四位k阶数的两倍与两位数m2的差能被11整除(1
4、m6)，且这个四位k阶数和两位数m2对3同余，求这个四位k阶数4. (2019重庆八中模拟)我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：a2n1，b2n22n，c2n22n1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作九章算术中，书中提到：当a(m2n2)，bmn，c(m2n2)(m、n为正整数，mn)时，a、b
5、、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n5，求该直角三角形另两边的长5. (2019重庆A卷)道德经中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数“纯数”定义：对于自然数n，在计算n(n1)(n2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”例如：32是“纯数”，因为计算323334时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算232425时，个位产生了进位(1
6、)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数6. (2019重庆南岸区模拟)大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：26445123215. (x32x23)(x1)x23x3.请用以上方法解决下列问题：(1)计算：(x32x23x10)(x2)；(2)若关于x的多项式2x45x3ax2b能被二项式x2整除，且a，b均为自然数，求
7、满足以上条件的a，b的值及相应的商7. (2019重庆科研考试四)阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，则这个数能被13整除如：593814，814593221，221是13的17倍，所以593814能被13整除(1)若对任意一个七位数，末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差(大数减小数)是13的倍数，证明这个七位数一定能被13整除；(2)已知一个五位自然数，末三位为m50010y52，末三位以前的数为n10(x1)y(其中1x8，1y9且为整数)，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除
8、，求这个五位数8. (2018重庆一中一模)对任意的一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于另一个数位上的数字，那么我们就把该数称为“三角形数”，现把n的百位数字替换成：十位数字加上个位数字后与百位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n1；把n的十位数字替换成：百位数字加上个位数字后与十位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n2；把n的个位数字替换成：百位数字加上十位数字后与个位数字的差，其余数位保持不变，得到一个新数n3(若出现替换后的数位上的数字大于等于10，则该数位上的数字向前一位进位)我们把n1、n2、n3的和记作F(n)例如n345
9、，则n1645，n2345，n3342，F(n)6453453421332；又知n839，则n1439，n2949，n3832，F(n)4399498322220.(1)计算：F(212)，F(739)；(2)如果一个“三角形数”t：t100x10yz(2x9，1y9，1z9，x，y，z均为整数)，满足xyz17，正整数s100x30y109和正整数m20410y，满足sm得到的新数的各个数位上的数字之和是18，规定：k(t)|，求k(t)的最大值参考答案题型二新定义阅读理解题1. 解：(1)4，4，1，1；(2)1和3的均值为2，设yx2，原方程可化为(y1)4(y1)4706.去括号整理得
10、y46y23520.解得y216或y222(舍去)y4，即x24，x6或x2.2. 解：(1)1084563，634518，451827，27189，1899，108与45的最大公约数是9；(2)先求104与78的最大公约数，1047826，782652，522626，104与78的最大公约数是26；再求26与143的最大公约数，14326117，1172691，912665，652639，392613，261313，26与143的最大公约数是13，78、104、143的最大公约数是13.3. (1)证明：设这个任意四位阶梯数的个位为n，阶数为k，则该四位阶梯数表示为：n10(nk)100(n
11、2k)1000(n3k)，它与个位数的差为：n10(nk)100(n2k)1000(n3k)nn10n10k100n200k1000n3000kn1110n3210k6(185n535k)，6(185n535k)是6的倍数，6(185n535k)能被6整除即一个任意四位阶梯数与自己的个位数字的差能被6整除；(2)解：设这个任意四位阶梯数的个位为n，则该四位阶梯数表示为：n10(nk)100(n2k)1000(n3k)，2n10(nk)100(n2k)1000(n3k)10m22222n6420k10m211(202n583k)7k10m2，7k10m2是11的倍数；(1111n3210k)3与
12、(10m2)3的余数相同易得k可取1，2，1，2，当m1，2，3，4时，无论k取何值，7k10m2都不是11的倍数，当m5时，k2，此时四位k阶数为1357，当m6时，k1，此时四位k阶数为8765，5432.综上，这个四位数是1357，8765，5432.4. (1)证明：由题意知，c2(2n22n1)2(2n22n)22(2n22n)1(2n22n)24n24n1(2n22n)2(2n1)2.即c2b2a2，满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；(2)解：当n5时，a(m225)，b5m，c(m225)，当a37时，解得m3，非正整数，不合题意，舍去，当b37时，解得m，非正整数，不合
13、题意，舍去，当c37时，解得m7，满足题意，此时a12，b35，该直角三角形的另外两边的长为12，35.5. 解：(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：在计算201920202021时，个位90110，产生了进位，2019不是“纯数”在计算202020212022时，个位0123，十位2226，百位0000，千位2226，它们都没有产生进位，2020是“纯数”；(2)由题意，当“纯数”n为一位数时，n(n1)(n2)3n310，0n，故n0，1，2，即在一位数的自然数中，“纯数”有3个，当“纯数”n为两位数时，设n10ba(其中1b9，0a9，且a，b为自然数)，则n(n1
14、)(n2)30b3a3.此时a，b应满足的条件分别为：3a310，即a0，1，2；1b3，即b1，2，3.339(个)，在两位数的自然数中，“纯数”有9个100101102303，不产生进位，100是“纯数”，39113(个)在不大于100的自然数中“纯数”的个数是13.6. 解：(1)(x32x23x10)(x2)x24x5；列除式：(x32x23x10)(x2)x24x5；(2)列除式如下：多项式2x45x3ax2b能被二项式x2整除，余式b4(a2)0，即4ab8.a，b是自然数，当a0时，b8，此时多项式为2x45x38，商为2x3x22x4；当a1时，b4，此时多项式为2x45x3x
15、24，商为2x3x2x2；当a2时，b0，此时多项式为2x45x32x2，商为2x3x2.7. (1)证明：设任意七位数的末三位为s，末三位以前的数为t，则这个七位数为ts，由题意可令ts13k(k为整数)ts1000ts1000t13kt1001t13k13(77tk)，这个七位数一定能被13整除；(2解：)当1y4时，m50010(5y)2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m100(5y)52，mn100(5y)5210(x1)y99y10x54213(428yx)(45y3x)，1x8，1y4，且x，y都为整数，21(45y3x)15.(45y3x)的值为13或0或13
16、.若(45y3x)13，则.若(45y3x)0，则或这个五位数为94592，41562.若(45y3x)13，则这个五位数为33582.当5y9时，m60010(y5)2.交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m100(y5)62，mn100(y5)6210(x1)y99y10x44813(8yx34)(65y3x)，1x8，5y9，且x，y都为整数，48(65y3x)7.(65y3x)的值为39，26，13.若(65y3x)39，则这个五位数为59642.若(65y3x)26，则这个五位数为67622.若(65y3x)13，则这个五位数为75602.综上所述：这个五位数为：945
17、92，41562，33582，59642，67622，75602.8. 解：(1)由题得，当n212时，n1112，n2232，n3211，F(212)112232211555；当n739时，n1539，n2839，n3731，F(739)5398397312109；(2)sm100x30y10920410y100(x1)20y5，当1y4时，x12y518，x2y14，x142y，把x142y代入xyz17中，得142yyz17，zy3，2x9，1z9，2142y9且1y39，2.5y6且2y6，1y4，2.5y4，y为整数，y3或4，当y3时，z6，x8，t836；当y4时，z7，x6，t647；当5y9时，x112y10518，x2y23，x232y，把x232y代入xyz17中，得zy6，2x9，1z9，2232y9且1y69，7y10.5且7y15，5y9，7y9，y为整数，y7或8或9，当y7时，z1，x9，不是三角形数，应舍去；当y8时，z2，x7，t782；当y9时，z3，x5，不是三角形数，应舍去，综上，t836或647或782，当t836时，t1136，t2916，k(836)|，当t647时，t1547，t2697，k(647)|，当t782时，t1382，t2712，k(782)|，k(t)的最大值为.
