1、专题八几何压轴题类型一 线段数量关系探究命题角度利用“倍长中线”添加辅助线(2020原创)如图1，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90.连接BE，DC，点P是CD的中点，连接AP.(1)求证：BE2AP；(2)如图2，若CAE30，AB6，AD4，求AP的长 图1 图2【分析】(1)要证BE2AP，由点P是CD的中点，可知，延长AP到G，使得APPG，则APDGPC，从而只需证明AGBE即可；(2)由(1)可知，只需过点E作AC，AB的垂线，构造直角三角形求出BE的长即可【自主解答】1(2019安顺)(1)如图1，在四边形ABCD中，ABCD，点E是BC的中点，若AE是BA
2、D的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC得到ABFC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断AB，AD，DC之间的等量关系为 _(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，ABCD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论 图1 图2命题角度利用“截长补短”添加辅助线(2019大渡口区三诊)如图，平行四边形ABCD中，BAC90，ABAC，点E是边AD上一点，且BEBC，BE交AC于点F，过点C作BE的垂线，垂足为O，与AD
3、交于点G.(1)若AB，求AE的长；(2)求证：BFCOEO.【分析】(1)要求AE的长， 由ABAC，BAC90可求BC的长，从而得到BE的长，进而过点B作DA的垂线，构造等腰直角三角形，利用勾股定理列方程可解；(2)要证BFCOOE，可考虑在CO的延长线上取点P，使得OPOE，再证明BFCP，由OEOG，故连接PF，PE，则需证PFE是等边三角形即可【自主解答】1(2019贵港改编)如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，将ABC绕点C顺时针方向旋转105得到ABC，过点A作ADAC的延长线于D，AD交CB于E，EF平分AEC交BC于F.(1)求证：AECEEF；(2)若AB，求EF
4、的长命题角度“构造等腰直角三角形”(2019重庆A卷)如图，在ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EMAE，垂足为E，交CD于点M，AFBC，垂足为F，BHAE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.(1)若DP2AP4，CP，CD5，求ACD的面积；(2)若AEBN，ANCE.求证：ADCM2CE.【分析】(1)要求ACD的面积，由已知得到AD的长，故只需过点C作CGAD，求出CG的长即可；(2)要证ADCM2CE，可先证AD2AF，从而只需证明AFCMCE，由AFCF可知只需证明EFCM，进而连接NE，构造“等腰RtEFN”，只需证明ENCM即可【自主解答】1(2019大渡
5、口区二诊)如图，在RtABC中，ACBC，ACB90，点D是BC上一点，连接AD.过点D作DEAB，垂足为E.点F是AD的中点，连接EF.(1)如图1，若DAC，请用含的式子表示EFD的大小；(2)如图2，过点B作BGAB，BGBE，连接CG.求证：ADCG. 图1 图22(2019枣庄)在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D.(1)如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN90，当AMN30，AB2时，求线段AM的长；(2)如图2，点E，F分别在AB，AC上，且EDF90，求证：BEAF；(3)如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN90，求证：ABANAM.命题角度
6、构造“K”字模型(2019泰州)如图，线段AB8，射线BGAB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使EAPBAP，直线CE与线段AB相交于点F.(1)求证：AEPCEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)求AEF的周长【分析】(1)要证AEPCEP，可由正方形的对称性得到PCPA，CPEAPE，即可得证；(2)判断CF与AB的位置关系，从图中可观察CFAB，故只需证明AFC90，从而设AP交CF于M，证明FAMPCM即可；(3)要求AEF的周长，可先过点C作CNBP，构造“K字”模型得到APBPCN，利用全等特性，
7、将AEAFEF转化为CEEFAF即可得解【自主解答】1(2019南岸区二模)如图，在ABC中，ABBC，两条高AD，BE相交于P，过点E作EGAB，垂足为G，交AD于点F，过点F作FHAB交BC于点H，交BE于点Q，连接DE.(1)若AD12，CD5，求DE的长；(2)若ABC45，求证：BE(1)BQ.命题角度构造“平行四边形”模型(2019南开中学模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，CE，满足BCBECE.(1)如图1，若ABC90，BC4，求AC的长；(2)如图2，过点A作AFBE于点F，交CE于点G，连接BG，在BG上取点M，使得AMG60，延长AM交BC于点
8、N，求证：CN2AE. 图1 图2【分析】(1)由ABC90得到四边形ABCD是矩形，再由BCBECE得到BCE是等边三角形，利用锐角三角函数即可得解；(2)要证CN2AE，可先过点E作AN的平行线交CN于H，从而只需证明CHNH即可【自主解答】1(2018重庆B卷)如图，在平行四边形ABCD中，ACB45，点E在对角线AC上，BEBA，BFAC于点F，BF的延长线交AD于点G，点H在BC的延长线上，且CHAG，连接EH.(1)若BC12，AB13，求AF的长；(2)求证：EBEH.2(2017重庆B卷)如图，ABC中，ACB90，ACBC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图1，若AB4，
9、BE5，求AE的长；(2)如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AFBD于点F，连接CD，CF，当AFDF时，求证：DCBC. 图1 图23(2019西南师大附中适应性考试)如图，在平行四边形ABCD中，ABAC，过点D作DEAD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G.(1)如图1，若AC4，cosCAD，求ADE的面积；(2)如图2，点H为DC延长线上一点，连接HF，若H30，DEBG，求证：DHCEFH. 图1 图2类型二 角度数量关系探究(2017重庆A卷)在ABM中，ABM45，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接A
10、C.(1)如图1，若AB3，BC5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MDMC，点E是ABC外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF. 图1 图2【分析】(1)由AMBM，ABM45，可得ABM是等腰直角三角形，AMC是直角三角形，再由AB3根据勾股定理求得AM与BM的长为3，因为BC5，可得MC532，在RtAMC中，利用勾股定理即可求得AC的长；(2)延长EF至点H，使FHEF，连接BH，可得BFHCFE，从而得到BHCE，HCEF，故要证CEFBDF，只需证明HBDF即可【自主解答】1(2019淮安改编)如图，在ABC中，AB
11、AC，BAC100，AD是边BC上的中线，点P在射线AD上，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转80，得到线段PE.(1)当点E落在AD的延长线上时，连接BE，求BEP的度数；(2)当点E在射线AD的右侧，连接CE并延长交射线AD于F，求证：CFDBAD.2(2019重庆八中开学考试)如图，平行四边形ABCD中，BFDC于点F，且BFAB，点E是BC边上一点，连接AE交BF于G.(1)若AE平分DAB，C60，BE3，求BG的长；(2)若ADBGFC，求证：AE平分DAB.类型三 线段比值关系探究(2016重庆A卷)在ABC中，B45，C30，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AGAD，在A
12、G上取点F，连接DF，延长DA至E，使得AEAF，连接EG，DG，且GEDF.(1)若AB2，求BC的长；(2)如图1，当点G在AC上时，求证：BDCG；(3)如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值 图1 图2【分析】(1)要求BC的长，由已知B45，C30，从而过点A作AHBC，分别在RtABH和RtACH中求出BH和CH即可；(2)要证BDCG，过点A作AMAB交BC于M，连接GM，从而只需证明GMBD，且GMBC即可；(3)要求，可用相同的未知数分别表示AB，CG，再作比即可【自主解答】1(2016重庆B卷)已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，CDBC，DECE，DECE
13、，连接AE，点M是AE的中点(1)如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB4时，求CM的长；(2)如图2，若点D在ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证：MNAE；(3)如图3，将图2中的CDE绕点C逆时针旋转，使得BCD30，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索的值，并直接写出结果参考答案【例1】(1)证明：延长AP到G，使得PGAP，连接CG，并延长交AE于H.解图1点P是CD的中点，PCPD，PGPA，CPGDPA，PCGPDA，CGADAE，PGCPAD，CGAD.DAAE，CHAH，HACHCA90，HACBAE90，BAEACG，解图2ABAC，ABEC
14、AG，BEAG，AG2AP，BE2AP.(2)解：过点E分别作AC，AB的垂线，垂足记为G，H，CAE30，AEG60，EG2，AG2，BAC90，四边形EGAH是矩形，AHEG2，EHAG2，BHABAH4，在RtBHE中，BE2，AP.跟踪训练1解：(1)ADABDC.理由：AE是BAD的平分线，DAEBAE.ABCD，FBAE.DAFF.ADDF.点E是BC的中点，CEBE，且FBAE，AEBCEF，CEFBEA(AAS)，ABCF.ADCDCFCDAB.(2)ABAFCF.理由：如解图，延长AE交DF的延长线于点G，E是BC的中点，CEBE，ABDC，BAEG.AEBGEC，AEBGE
15、C(AAS)，ABGC.AE是BAF的平分线，BAGFAG.BAGG，FAGG.FAFG.CGCFFG，ABAFCF.【例2】解：(1)如解图1，过点B作BHDA交DA延长线于H.解图1在RtABC中，ABAC，BAC90，BCAB2，ABCACB45，BEBC2，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，HABABC45，AHBHAB1，在RtBEH中，由勾股定理得BH2HE2BE2，即1(AE1)222，解得AE1(负值舍去) (2)证明：如解图2，分别延长BA，CO交于点P，连接PE，PF.例2题解图2COBE，BACA，BAFCOFCAP90，AFBOFC，ABFPCA，在ABF和ACP中
16、，ABFACP，CPBF，AFAP，AFPAPF45.过点E作EQBC于Q，过点A作AMBC于M，易得四边形AMQE是矩形，AMBC，则EQAMBCBE，EBQ30，PBF15，PFEPBFBPF60，在PAE和FAE中，PAEFAE，PEEF，PEF是等边三角形，POOE，BFCOPOCOOE.跟踪训练1(1)证明：如解图，在EF上截取EGEC，连接CG.ABC是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，ABCACB45，ABC是由ABC绕点C顺时针旋转105得到的，ACEBCA45，ACA105，ACD180ACA75，ADAD，CAE90ACD15，AEC180CAEACE120，EF平分A
17、EC，AEFCEF60，EGEC，CEG是等边三角形，CGE60，CGCE，FGC120AEC，BCB105，GCE60，FCG45ACE，FCGACE，FGAE，FEFGGE，FEAECE.(2)解：根据题意可知ACABAC.如解图，过点A作ANCB于N，则ANCN1，AEC120，CEDAEN60，EN，AE2EN，CECNEN1，EFAECE11.【例3】(1)解：如解图，作CGAD于G.设PGx，则DG4x，在RtPCG中，由勾股定理得CG2CP2PG217x2，在RtDGC中，由勾股定理得CG2CD2GD298xx2，17x298xx2，解得x1，即PG1，CG4，ADDPAP6，S
18、ACDADCG12.(2)证明：连接NE，如解图所示，BHAE，AFBC，AEEM，AEBNBFAEBEAFAEBMEC90，NBFEAFMEC，BFNAFE，BNAE，NBFEAF，BFAF，NFEF，ABC45，ENF45，FCAFBF，ANEBCD135，ADBC2AF，MECEAF，ANCE，ANEECM，CMNE.NFNEMC，AFMCCE，ADMC2CE.跟踪训练1(1)解：在RtABC中，ACBC，ACB90，CABCBA45，EAF45，DEAB，点F是AD的中点，EFAF，EFD2EAF902.(2)证明：连接CE，CF，如解图，BGAB，EBG90，EBC45，CBG45，
19、EBCGBC，BEBG，BCBC，CEBCGB(SAS)，CECG，DEAB，ACB90，AED和ACD是直角三角形，点F是AD的中点，EFCFAD，EFD2EAD，CFD2CAF，EFC2EAC90，EFC是等腰直角三角形，CEEF(AD)，ADCE，ADCG.2(1)解：BAC90，ABAC，ADBC，ADBDDC，ABCACB45，BADCAD45，AB2，ADBDCD，AMN30，BMD180903060，MBD30，MB2DM.由勾股定理得BM2DM2BD2，(2DM)2DM2()2，解得DM，AMADDM. (2)证明：ADBC，EDF90，BDEADF，BDAF，BDDA，BDE
20、ADF，BEAF.(3)证明：过点M作MEBC交AB的延长线于E，AMEADB90，BAM45，E45MAN，AMME，BMN90，EMBBMABMAAMN，即BMEAMN，BMENMA，BEAN，ABANAEAM.【例4】(1)证明：四边形APCD是正方形，PD平分APC，PCPA，PEPE，PCEPAE. (2)解：CFAB.理由如下：设AP交CF于M，如解图，AEPCEP，EAPECP，EAPBAP，PCMCMP90，CMPAMF，MAFAMF90，AFM90，即CFAB.(3)解：如解图，过点C作CNPB于N，CFAB，BGAB，四边形CNBF是矩形，BFCN，CFBN.PCNCPNC
21、PNAPB90，PCNAPB，CNPPBA，CPAP，ABPPNC，BPCNBF，ABPN，AEPCEP，AECE，AEEFAFCEEFAFBNAFPNPBAFABAFBF2AB16.跟踪训练1(1)解：在RtADC中，AD12，CD5，由勾股定理得AC13，ABBC，BEAC，AECE，DEAECE.(2)证明：ABC45，ABBC，BACBCA67.5，BEAC，ABECBE22.5，EGAG，AEG22.5ABQ，ADBC，DABDBA45，EADDBE22.5，DADB.如解图，过点Q作QMAB于M，连接QD.FGAB，FQMG，四边形MGFQ是矩形，GFMQ.GAF45，FGAG，A
22、GFGMQ，在AGE和QMB中，AGEQMB，AEBQDE.在AED和BQD中，AEDBQD，DQDE，QDBEDA，QDAADEBDQQDA90，QEDE.BQAEDE，BEBQQEBQBQ，BE(1)BQ.【例5】(1)解：四边形ABCD是平行四边形，ABC90，四边形ABCD是矩形，在BCE中，BCBECE，BCE是等边三角形，BE4，EBC60，ABE30，BAE90，ABBEcosABE4cos302，在RtABC中，由勾股定理得AC2.(2)证明：如解图，过点E作EHAN交BC于H，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，四边形ANHE是平行四边形，AENH，NHENAE.BEC是等
23、边三角形，EBCBECECB60，DECECB60AMG，AEGDECAEGAMG180，EGMBGCEGMEAM180，BGCEANEHN，EBGBEGBGC，HECHCEBHE，EBGCEH，在EBG和CEH中，EBGCEH，EGCH.AEBC，AEBEBC60BEC，AFEF，AFEGFE，EFEF，AEFGEF，AEEGHC，NCCHNH，NC2AE.跟踪训练1(1)解：BFAC，ACB45，BC12，BF12，AB13，在RtAFB中，AF5. (2)证明：如解图，连接GE，过点A作APAG，交BG于P，连接PE.BEBA，BFAC，AFFE，BG是AE的垂直平分线，AGEG，APE
24、P，GAEACB45，AGE是等腰直角三角形，即AGE90，APE是等腰直角三角形，APE90，APEPAGAGE90，又AGEG，四边形APEG是正方形，PFEF，APAGCH.又BFCF，BPCE，APG45BCF，APBHCE135，APBHCE，ABEH，又ABBE，BEEH.2(1)解：ACBC，C90，AB4，ACBCAB4，在RtBCE中，由勾股定理得CE3，AEACCE431.(2)证明：ACBC，ACB90，CAB45，AFBF，点A，F，C，B共圆，CFBCAB45，DFC180CFB135，AFCAFBCFB135，DFCAFC，DFAF，CFCF，AFCDFC，ACDC
25、，ACBC，CDCB.3(1)解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，ABAC，ACCD.在RtACD中，AC4，cosCAD，AD5，由勾股定理得CD3，DEAD，tanDAC，即，则DE，SADEADDE5. (2)证明：如解图，连接BD，过点F作FMDH于M.四边形ABCD是平行四边形，点O是AC的中点，点O是BD的中点，即点B，O，D在一条直线上，ADBC，FDOGBO，OFDOGB，OFDOGB，DFBGDE.FDE90，FDMEDC90，FMDC，FDMDFM90，EDCDFM.ACDC，DCEACD90，ECDDMF，FDMDEC，DMCE.在RtHFM中，H30，FMHM，H
26、MFH，DHDMMH，DHCEFH.【例6】(1)解：AMBM，点C是BM延长线上一点，AMBAMC90，AMB和AMC是直角三角形，ABM45，AB3，AMBM3，BC5，MC532，在RtAMC中，AM3，CM2，AC . (2)证明：延长EF至点H，使FHFE，连接BH，如解图，点F是BC的中点，BFCF，在BFH和CFE中，BFHCFE， BHCE，HCEF，又BMDAMC90，AMBM，MDMC，BMDAMC，BDAC，又ACEC，BDECBH，HBDF，BDFCEF.跟踪训练1(1)解：PE是由BP绕点P逆时针旋转80得到的，BPPE，BPE80，BEPEBP50. (2)证明：如
27、解图，连接PC.AD是边BC上的中线，ABAC，AD平分BAC，BAPCAP50，APAP，ABPACP，BPCP，BPPE，BPPEPC，点E，B，C在以P为圆心PB为半径的圆上，BCEBPE40，ABAC，AD平分BAC，ADBC，CFD90DCF50，BADCFD.2(1)解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CBAD60，CDAB，DAEAEB，AE平分DAB，DAEBAE30，AEBBAE，ABBE3，BFDC，DFB90，CDAB，ABF90，BGABtanBAE3；(2)证明：如解图，作CHAB于点H，延长AH到I，使HIBG，则四边形BFCH是矩形，CFBH，CHBFAB.
28、在ABG和CHI中，ABGCHI(SAS)IAGB，42，ADBGFCHIBHBI，ADBC，BCBI，BCII，BFCH，FBCBCH，IAGB3FBC，BCIBCH4，34.ADBC，13，而24，12，AE平分DAB.【例7】(1)解：过点A作AHBC于点H，如解图，在RtABH中，ABH45，AB2，BHAH2，在RtACH中，ACH30，CH2，BCBHCH22.(2)证明：过点A作AMAB交BC于点M，连接GM，如解图，BAM90，ABM45，ABAM，AMB45，AGAD，DAGEAG90，AEAF，GEDF，RtADFRtAGE，ADAG，BAMDAG90，BADMAG，ABD
29、AMG，BDGM，BAMG45，AMB45，GMC90，在RtCGM中，C30，GMCG，BDCG.(3).跟踪训练1(1)解：BAC90，ABAC4，BC4.CDBC.CD2.DECE，DECE，DECE2，ECD45，ACB45，ACE90，AE2，M是AE的中点，CMAE.(2)证明：延长EN至F，使得NFEN，连接AF，BF，如解图，在NDE和NBF中，NDENBF，BFDECE，FBNEDN.设DCBx，DBCy，则ACEACB(DCEx)90x，BDC180xy，BDE135xy，ABD45y，ABFFBDABD135xy(45y)90x，即ABFACE，ABFACE，BAFEAC，EAFBAFBAEEACBAE90，M是AE的中点，MNAF，MNAE.(3).
