1、二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选【例1】（2013南通）如图，直线y=kx+b（b0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设OCD的面积为S，且kS+32=0（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1OB+y2OA=0考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到OCD的面积S=，再根据kS+32=0，及b0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2（16+8k2）y+64=0，然
2、后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2，由（2）得y1y2=64，又易得x1x2=64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出AOB=90再过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明AEOOFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1OB+y2OA=0解答：（
3、1）解：直线y=kx+b（b0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，令x=0，得y=b；令y=0，x=，OCD的面积S=（）b=kS+32=0，k（）+32=0，解得b=8，b0，b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2（16+8k2）y+64=0直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，y1y2=64，点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2
4、，由（2）得y1y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x28kx64=0，x1x2=64，AB2=+2x1x22y1y2=+，又OA2+OB2=+，OA2+OB2=AB2，OAB是直角三角形，AOB=90如图，过点A作AEx轴于点E，过点B作BFx轴于点FAOB=90，AOE=90BOF=OBF，又AEO=OFB=90，AEOOFB，=，OE=x1，BF=y2，=，x1OB+y2OA=0点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相
5、似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中求出OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出AOB=90，是解第（3）问的关键【例2】（2013吉林）如图，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD【猜想与证明】填表：m123由上表
6、猜想：对任意m（m0）均有=请证明你的猜想【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得AOB与CQD面积比为；（2）当AOB和CQD中有一个是等腰直角三角形时，求CQD与AOB面积之差；【联想与拓展】如图过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则MAE与MDF面积的比值为考点：二次函数综合题分析：猜想与证明：把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；探究与证明：（1
7、）由条件可以得出AOB与CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；（2）分两种情况讨论，当AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出AOB的面积，从而求出CQD的面积，就可以求出其差，当CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出CDQ的面积，进而可以求出结论；联想与拓展：由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出MAE与MDF面积，就可以求出其比值解答：解：猜想与证明：当m=1时，1=x2，1=x2，x=2，x=3，AB=4，CD=6，；当m=2时，4=x2，4=x2，x=4，x=6，AB=8，
8、CD=12，；当m=3时，9=x2，9=x2，x=6，x=9，AB=12，CD=18，；填表为m123对任意m（m0）均有=理由：将y=m2（m0）代入y=x2，得x=2m，A（2m，m2），B（2m，m2），AB=4m将y=m2（m0）代入y=x2，得x=3m，C（3m，m2），D（3m，m2），CD=6m，对任意m（m0）均有=；探究与运用：（1）O、Q关于直线CD对称，PQ=OPCDx轴，DPQ=DPO=90AOB与CQD的高相等=，AB=CDSAOB=ABPO，SCQD=CDPQ，=，（2）当AOB为等腰直角三角形时，如图3，PO=PB=m2，AB=2OPm2=m4，4m2=m4，m1
9、=0，m2=2，m3=2m0，m=2，OP=4，AB=8，PD=6，CD=12SAOB=16SCQD=24，SCQDSAOB=2416=8当CQD是等腰直角三角形时，如图4，PQ=PO=PD=m2，CD=2QPm2=m4，9m2=m4，m1=0，m2=3，m3=3m0，m=3，OP=6，AB=12，PQ=9，CD=18SAOB=54SCQD=81，SCQDSAOB=8154=27；联想与拓展由猜想与证明可以得知A（2m，m2），D（3m，m2），AEy轴，DFy轴，E点的横坐标为2m，F点的横坐标为3m，y=（2m）2，y=（3m）2，y=m2，y=m2，E（2m，m2），F（3m，m2），A
10、E=m2m2=m2，DF=m2m2=m2SAEM=m22m=m3，SDFM=m23m=m3=故答案为：；点评：本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键【例3】（2013株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）将抛物线C1向下平移h个单位（h0）得到抛物线C2一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m0）来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式
11、；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F求证：tanEDFtanECP=考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x1）2，（a0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C
12、的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x1）2，（a0），抛物线过点（0，），a（01）2=，解得a=，抛物线C1的解析式为y=（x1）2，一般形式为y=x2x+；（2）解：当m=2时，m2=4，BCx轴，点B、C的纵坐标为4，（x1）2=4，解得x1=5，x2=3，点B（3，4），C（5，4），点A、C关于y轴对称，点A的坐标为（5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x1）2h，则
13、（51）2h=4，解得h=5；（3）证明：直线AB与x轴的距离是m2，点B、C的纵坐标为m2，（x1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=12m，点C的坐标为（1+2m，m2），又抛物线C1的对称轴为直线x=1，CE=1+2m1=2m，点A、C关于y轴对称，点A的坐标为（12m，m2），AE=ED=1（12m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x1）2h，则（12m1）2h=m2，解得h=2m+1，EF=h+m2=m2+2m+1，tanEDFtanECP=，tanEDFtanECP=点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的
14、点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a0）经过C（2，0），D（0，1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数考点：二次函数综合题3718684专题：代数几何综合题分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设
15、出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；设点A（x1，x121），B（x2，x221），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x12，并求出x12+x22，x12x22，然后代入进行计算即可得解解答：（1）解：抛物线y=ax2+c（a0）经过C（2，0），D（0，1），解得，所以，抛物线的解析式为y=x21；（2）证明：设点A的坐标为（m，m21），则AO=m2+1，直线l过点E（0，2）且平行于x轴，点M的纵坐标为2，AM=m21（2）=m2+1，A
16、O=AM；（3）解：k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，AM=BN=0（2）=2，+=+=1；k取任何值时，设点A（x1，x121），B（x2，x221），则+=+=，联立，消掉y得，x24kx4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1x2=4，所以，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=16k2+8，x12x22=16，+=1，无论k取何值，+的值都等于同一个常数1点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是
17、本题的难点，计算量较大，要认真仔细【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy中，OAB的顶点的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sinOAB=.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记QNM的面积为，QNR的面积，求的值.解：（1）如图，过点作于点在中
18、，yxFP3BECDAP2P1O，又由勾股定理，得点在第一象限内，点的坐标为点关于轴对称的点的坐标为2分设经过三点的抛物线的函数表达式为由经过三点的抛物线的函数表达式为2分（2）假设在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形点不是抛物线的顶点，过点作直线的平行线与抛物线交于点则直线的函数表达式为对于，令或而点，在四边形中，显然点是符合要求的点1分若设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为于是可设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式为由，即而点，过点作轴于点，则在中，由勾股定理，得而在四边形中，但点是符合要求的点1分若设直线的函数表达式为将点代入，得直线的函数表达式
19、为直线的函数表达式为由，即而点，过点作轴于点，则在中，由勾股定理，得而在四边形中，但点是符合要求的点1分综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下yxQOGRMN当抛物线开口向上时，则此抛物线与轴的负半轴交于点可设抛物线的函数表达式为即如图，过点作轴于点，2分当抛物线开口向下时，则此抛物线与轴的正半轴交于点同理，可得1分综上可知，的值为【例6】、 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于
20、点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程考点：二次函数综合题。解答：解：（1）经过点（3，0），0=+m，解得m=，直线解析式为，C（0，）抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（3，0），另一交点为B（5，0），设抛物线解析
21、式为y=a（x+3）（x5），抛物线经过C（0，），=a3（5），解得a=，抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EFG，又，CAOEFG，EG=CO=，即yE=，=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），E（2，），SACEF=；（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（+1，），SACEF=（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=
22、1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）B（5，0），C（0，），直线BC解析式为y=x+，xP=1，yP=3，即P（1，3）令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3k，y=kx+3k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）根据两点间距离公式得到：M1M2=M1M2=4（1+k2）又M1P=；同理M2P=M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）M1PM2P=M1M2，=1为定值【例7】
23、（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）先求出
24、点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x5）与抛物线的交点，即为所求之M点；当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x3）与抛物线的交点，即为所求之M点ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线
25、段BF的长度解答：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x1（2）i）A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x1设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，m1），则平移后抛物线的函数表达式为：y=（xm）2+m1解方程组：，解得，P（m，m1），Q（m2，m3）过点P作PEx轴，过点Q作QEy轴，则PE=m（m2）=2，QE=（m1）（m3）=2PQ=AP0若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种
26、情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l1的解析式为：y=x+b1，B（4，1），1=4+b1，解得b1=5，直线l1的解析式为：y=x5解方程组，得：，M1（4，1），M2（2，7）当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，1）由A（0，1），F（2，1），P0（2，1）可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为过
27、点F作直线l2AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l2的解析式为：y=x+b2，F（2，1），1=2+b2，解得b1=3，直线l2的解析式为：y=x3解方程组，得：，M3（1+，2+），M4（1，2）综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，1），M2（2，7），M3（1+，2+），M4（1，2）ii）存在最大值理由如下：由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BPFB
28、=当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为的最大值为=点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大【例8】已知：抛物线(a0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，（1）求这条抛物线的解析式（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，
29、请说明理由第24题图COxADPMEBNy（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为 1分将A(1，0)代入: 2分 抛物线的解析式为，即：3分（2）是定值， 4分 AB为直径， AEB=90， PMAE， PMBE APMABE， 同理: 5分 + : 6分（3） 直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EA=EB AEB=90 AEB为等腰直角三角形 EAB=EBA=45 7分如图，过点P作PHBE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，PH=ME且PHME在APM和PBH中AMP=PHB=90， EAB=BPH=45 PH=BH且APMPBH 8分在MEP和EGF中， PEFG， FGE+SEG=90MEP+SEG=90 FGE=MEP PME=FEG=90 MEPEGF 由、知：9分（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）第 23 页 共 23 页
