2020年中考数学必考专题33最值问题(解析版)

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1、专题33 最值问题 专题知识回顾 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要为以下几种:1.二次函数的最值公式二次函数(a、b、c为常数且)其性质中有若当时,y有最小值。;若当时,y有最大值。2.一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程;再根据x是实数,推得,进而求出y的取值范围,并由此得出y的最值。4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它

2、们的解往往离不开函数。5. 利用非负数的性质在实数范围内,显然有,当且仅当时,等号成立,即的最小值为k。6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号,然后求出y在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。7. 利用不等式与判别式求解在不等式中,是最大值,在不等式中,是最小值。8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。专题典型题考法及解析 【例题1】(经典题)二次函数y=2(x3)24的最小值为 【答案】4【解析】题中所给的解析式为顶点式,可直接得到

3、顶点坐标,从而得出解答二次函数y=2(x3)24的开口向上,顶点坐标为(3,4),所以最小值为4【例题2】(2018江西)如图,AB是O的弦,AB=5,点C是O上的一个动点,且ACB=45,若点M、N分别是AB、AC的中点,则MN长的最大值是 【答案】【解析】根据中位线定理得到MN的最大时,BC最大,当BC最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值如图,点M,N分别是AB,AC的中点,MN=BC,当BC取得最大值时,MN就取得最大值,当BC是直径时,BC最大,连接BO并延长交O于点C,连接AC,BC是O的直径,BAC=90ACB=45,AB=5,ACB=45,BC=5,MN最大=【例题3】(

4、2019湖南张家界)已知抛物线yax2bxc(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC3(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形;(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点,当PBC面积最大时,求P点坐标及最大面积的值;(4)若点Q为线段OC上的一动点,问AQ12QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由【思路分析】(1)将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值(当然用两根式做更方便);(2)先证四边形AMBD为矩形,再证该矩形有一组邻边相等,即可证明该四边形为正方形

5、;(3)如答图2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m24m3),易知直线BC的解析式为yx3,则E(m,m3),PE(m3)(m24m3)m23m再由SPBCSPBESCPE,转化为12PEOB123(m23m),最后将二次函数化为顶点式即可锁定SPBC的最大值与点P坐标;(4)解决本问按两步走:一找(如答图3,设OQt,则CQ3t,AQ12QC,取CQ的中点G,以点Q为圆心,QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ12QCQ的直径最小)、二求(由 AQ12QC,解关于t的方程即可)【解题过程】(1)抛物线yax2bxc(a0)过点A(1,0),B(3,0)两点,令抛物线解析为

6、ya(x1)(x3)该抛物线过点C(0,3),3a(01)(03),解得a1抛物线的解析式为y(x1)(x3),即yx24x3yx24x3(x2)21,抛物线的顶点D的坐标为(2,1)综上,所求抛物线的解析式为yx24x3,顶点坐标为(2,1)(2)如答图1,连接AD、BD,易知DADBOBOC,BOC90,MBA45D(2,1),A(3,0),DBA45DBM90同理,DAM90又AMBC,四边形ADBM为矩形又DADB,四边形ADBM为正方形图1(3)如答图2,过点P作PFAB于点F,交BC于点E,令P(m,m24m3),易知直线BC的解析式为yx3,则E(m,m3),PE(m3)(m24

7、m3)m23m图2图3 SPBCSPBESCPE12PEBF12PEOF12PEOB123(m23m)32 (m32)2278,当m32时,SPBC有最大值为278,此时P点的坐标为(32,34)(4) 如答图3,设OQt,则CQ3t,AQ12QC,取CQ的中点G,以点Q为圆心,QG的长为半径作Q,则当Q过点A时,AQ12QCQ的直径最小,此时,t2+1=12(3-t),解得t2631,于是AQ12QC的最小值为3t3(2631)4263 专题典型训练题 1.(2018河南)要使代数式2-3x有意义,则x的( )A.最大值为23 B.最小值为23 C.最大值为32 D.最大值为32【答案】A.

8、【解析】要使代数式2-3x有意义,必须使2-3x0,即x23,所以x的最大值为23。2.(2018四川绵阳)不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为_。【答案】5 【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、h因为,所以又因为,代入得,所以又因为,代入 得,所以 所以3h6,故整数h的最大值为5。3.(2018齐齐哈尔)设a、b为实数,那么的最小值为_。【答案】-1 【解析】当,即时,上式等号成立。故所求的最小值为1。4.(2018云南)如图,MN是O的直径,MN=4,AMN=40,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为

9、 【答案】2【解析】过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值,由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出AON的度数,再由勾股定理即可求解过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值,连接OB,OA,AA,AA关于直线MN对称,=,AMN=40,AON=80,BON=40,AOB=120,过O作OQAB于Q,在RtAOQ中,OA=2,AB=2AQ=2,即PA+PB的最小值25.(2018海南)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同(1)求该种水

10、果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?时间(天)1x99x15x15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)803x120x储存和损耗费用(元)403x3x264x400(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?【答案】看解析。【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为x

11、,则第一次降价后的价格为10(1x),第二次降价后的价格为10(1x)2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用”,再分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第15天在第14天的价格基础上降a元,利用不等关系“(2)中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解解答:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得:10(1x)28.1解方程得:x10.110%,x21.9(不合题意,舍去)答:该种水果每次降价的百分率为10%(2) 第一次降价后的销售价格为:10(110%)9(元/斤),当1x9时,y(94.1)(803x)(403

12、x)17.7x352;当9x15时,y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80,综上,y与x的函数关系式为:y当1x9时,y17.7x352,当x1时,y最大334.3(元);当9x15时,y3x260x803(x10)2380,当x10时,y最大380(元);334.3380,在第10天时销售利润最大(3)设第15天在第14天的价格上最多可降a元,依题意得:380(8.1a4.1)(12015)(31526415400)127.5,解得:a0.5,则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元6.(2018湖北荆州)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,

13、且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R、P与x的关系式分别为,。(1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元;(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?【答案】看解析。【解析】(1)根据题意得: 整理得 解得,(不合题意,舍去)(2)由题意知,利润为 所以当时,最大利润为1950元。7.(2018吉林)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少?【答案】看解析。【解析】

14、设招聘甲种工种的工人为x人,则乙种工种的工人为人,由题意得: 所以设所招聘的工人共需付月工资y元,则有: ()因为y随x的增大而减小 所以当时,(元)8.(经典题)求的最大值与最小值。【答案】最大值是3,最小值是。【解析】此题要求出最大值与最小值,直接求则较困难,若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程;再根据x是实数,推得,进而求出y的取值范围,并由此得出y的最值。设,整理得即因为x是实数,所以即解得所以的最大值是3,最小值是。9.(经典题)求代数式的最大值和最小值。【答案】最大值为1/2,最小值为-1/2.【解析】设,再令,则有所以得y的最大值为1/2,最小值为-1/2.10.(经典题

15、)求函数的最大值。【答案】0 【解析】本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号,然后求出y在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。易知该函数有两个零点、当时 当时 当时,得 当时, 综上所述,当时,y有最大值为11. (2018山东济南)已知x、y为实数,且满足,求实数m最大值与最小值。【答案】 m的最大值是,m的最小值是1。【解析】由题意得 所以x、y是关于t的方程的两实数根,所以 即 解得 m的最大值是,m的最小值是1。12.(2019年黑龙江省大庆市)如图,在RtABC中,A90AB8cm,AC6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D

16、与B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DEBC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm)(1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x为何值时,BDE的面积S有最大值?最大值为多少?【答案】见解析。【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解题的关键(1)由平行线得ABCADE,根据相似形的性质得关系式.动点D运动x秒后,BD2x又AB8,AD82xDEBC,y关于x的函数关系式为y(0x4)(2)由SBDAE;得到函数解析式,然后运用函数性质求解SBDE(0x4)当时,SBDE最

17、大,最大值为6cm213.(2019年宁夏)如图,在ABC中,A90,AB3,AC4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQBC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x(1)试说明不论x为何值时,总有QBMABC;(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值【答案】见解析。【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键(1)MQBC,MQB90,MQBCAB,又QBMABC,QBMAB

18、C;(2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答;当BQMN时,四边形BMNQ为平行四边形,MNBQ,BQMN,四边形BMNQ为平行四边形;(3)根据勾股定理求出BC,根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM,根据梯形面积公式列出二次函数解析式,根据二次函数性质计算即可A90,AB3,AC4,BC5,QBMABC,即,解得,QMx,BMx,MNBC,即,解得,MN5x,则四边形BMNQ的面积(5x+x)x(x)2+,当x时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为14. (2019广东深圳)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(1,0),点C(0,3),且OB=OC(1)求抛物线的解析式及

19、其对称轴;(2)点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值,(3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,求点P的坐标【思路分析】(1)先求出点B的坐标,然后把A、B、C三点坐标代入解析式得出方程组,解方程组即可得出a,b,c的值,得解析式,再用配方法或对称轴公式或中点公式可得对称轴方程;(2)利用轴对称原理作出点C的对称点,求出四边形CDEA的周长的最小值;(3)方法1:设CP与x轴交于点E,先根据面积关系得出BE:AE=3:5或5:3,求出点E的坐标,进而求出直线CE的解析式,解直线CE与抛物线的解析式

20、联立所得的方程组求出点P的坐标;方法2:设P(x,x2+2x+3),用含x的式子表示四边形CBPA的面积,然后求出CB的解析式,再用含x的式子表示出CBP的面积,利用面积比建立方程,解方程求出x的值,得出P的坐标【解题过程】(1)点C(0,3),OB=OC,点B(3,0)把A(1,0),C(0,3),B(3,0)代入y=ax2+bx+c,得&ab+c=0,&9a+3b+c=0,&c=3,解得&a=1,&b=2,&c=3.抛物线的解析式为y=x2+2x+3y=x2+2x+3=(x1)2+4,抛物线的对称轴为x=1(2)如图,作点C关于x=1的对称点C(2,3),则CD=CD取A(1,1),又DE

21、=1,可证AD=AE在RtAOC中,AC=OA2+OC2=12+32=10四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE =10+1+CD+AE要求四边形ACDE的周长的最小值,就是求CD+AE的最小值CD+AE=CD+AD,当AD,C三点共线时,CD+AD有最小值为13,四边形ACDE的周长的最小值=10+1+13(3)方法1:由题意知点P在x轴下方,连接CP,设PC与x轴交于点E,直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,又SCBE:SCAE=SPBE:SPAE=BE:AE,BE:AE=3:5或5:3,点E1(32,0),E2(12,0)设直线CE的解析式为y=kx+b,(32,0)和

22、(0,3)代入,得&32k+b=0,&b=3,解得&k=2,&b=3.直线CE的解析式为y=2x+3同理可得,当E2(12,0)时,直线CE的解析式为y=6x+3由直线CE的解析式和抛物线的解析式联立解得P1(4,5),P2(8,45).方法2:由题意得SCBP=38S四边形CBPA或SCBP=58S四边形CBPA令P(x,x2+2x+3),S四边形CBPA=SCAB+SPAB=6+124(x22x3)=2x24x直线CB的解析式为y=x+3,作PHy轴交直线CB于点H,则H(x,x+3),SCBP=12OBPH=123(x+3+x22x3)=32x292x当SCBP=38S四边形CBPA时,

23、32x292x=38(2x24x),解得x1=0(舍),x2=4,P1(4,5)当SCBP=58S四边形CBPA时,32x292x=58(2x24x),解得x3=0(舍),x4=8,P2(8,45)15.(2019广西省贵港)已知:是等腰直角三角形,将绕点顺时针方向旋转得到,记旋转角为,当时,作,垂足为,与交于点(1)如图1,当时,作的平分线交于点写出旋转角的度数;求证:;(2)如图2,在(1)的条件下,设是直线上的一个动点,连接,若,求线段的最小值(结果保留根号).【思路分析】(1)解直角三角形求出即可解决问题连接,设交于点在时截取,连接首先证明是等边三角形,再证明,即可解决问题(2)如图2

24、中,连接,作交的延长线于证明,推出,推出,关于对称,推出,推出,求出即可解决问题【解题过程】(1)解:旋转角为理由:如图1中,旋转角为证明:连接,设交于点在时截取,连接,平分,是等边三角形,是等边三角形,(2)解:如图2中,连接,作交的延长线于由可知,关于对称,在中,的最小值为16.(2019贵州省安顺市)如图,抛物线y12x2+bx+c与直线y12x+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与x轴的一个交点为C,连接AC,BC已知A(0,3),C(3,0)(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MBMC|的值最大,并求出这个最大值;(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA

25、,过点P作PQPA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由【思路分析】(1)将A(0,3),C(3,0)代入y12x2+bx+c,即可求解;(2)分当点B、C、M三点不共线时、当点B、C、M三点共线时,两种情况分别求解即可;(3)分当PGAG=BCAC=13时、当PGAG=BCAC=3时两种情况,分别求解即可【解题过程】(1)将A(0,3),C(3,0)代入y12x2+bx+c得:&c=3&92-3b+c=0,解得:&b=52&c=3,抛物线的解析式是y12x2+52x+3;(2)将直线y12x+3表

26、达式与二次函数表达式联立并解得:x0或4,A (0,3),B(4,1)当点B、C、M三点不共线时,|MBMC|BC当点B、C、M三点共线时,|MBMC|BC当点、C、M三点共线时,|MBMC|取最大值,即为BC的长,过点B作x轴于点E,在RtBEC中,由勾股定理得BCBE2+CE22,|MBMC|取最大值为2;(3)存在点P使得以A、P、Q为顶点的三角形与ABC相似设点P坐标为(x,12x2+52x+3)(x0)在RtBEC中,BECE1,BCE45,在RtACO中,AOCO3,ACO45,ACB180450450900,AC3,过点P作PQPA于点P,则APQ90,过点P作PQy轴于点G,P

27、QAAPQ90PAGQAP,PGAQPAPGAACB90当PGAG=BCAC=13时,PAGBAC,x12x2+52x+3-3=13,解得x11,x20,(舍去)点P的纵坐标为1212+521+36,点P为(1,6);当PGAG=BCAC=3时,PAGABC,x12x2+52x+3-3=3,解得x1133(舍去),x20(舍去),此时无符合条件的点P综上所述,存在点P(1,6)17.(2019广西贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点的坐标为,且,抛物线图象经过,三点(1)求,两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点,作于点,当的值最大时,求此时点的坐标及的

28、最大值【思路分析】(1),即可求解;(2)抛物线的表达式为:,即可求解;(3),即可求解【解题过程】(1),故点、的坐标分别为、;(2)抛物线的表达式为:,即,解得:,故抛物线的表达式为:;(3)直线过点,设其函数表达式为:,将点坐标代入上式并解得:,故直线的表达式为:,过点作轴的平行线交于点,轴,设点,则点,有最大值,当时,其最大值为,此时点18.(2019内蒙古赤峰)如图,直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线yx2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;(3)在抛物线的对称

29、轴上是否存在一点P,使得APBOCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由【思路分析】(1)直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点E,则此时EC+ED为最小,即可求解;(3)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况,分别求解【解题过程】(1)直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,则点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:-9+3b+c=0c=3,解得:b=2c=3,故函数的表达式为:yx

30、2+2x+3,令y0,则x1或3,故点A(1,0);(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点E,则此时EC+ED为最小,函数顶点坐标为(1,4),点C(0,3),将CD的坐标代入一次函数表达式并解得:直线CD的表达式为:y7x3,当y0时,x=37,故点E(37,x);(3)当点P在x轴上方时,如下图2,OBOC3,则OCB45APB,过点B作BHAH,设PHAHm,则PBPA=2m,由勾股定理得:AB2AH2+BH2,16m2+(2mm)2,解得:m=2+662(负值已舍去),则PB=2m1+33,则yP=(1+33)2+22=10-3;当点P在x轴下方时,则yP(10-3

31、);故点P的坐标为(1,10-3)或(1,3-10)19.(2019湘潭)如图一,抛物线yax2+bx+c过A(1,0)B(3.0)、C(0,)三点(1)求该抛物线的解析式;(2)P(x1,y1)、Q(4,y2)两点均在该抛物线上,若y1y2,求P点横坐标x1的取值范围;(3)如图二,过点C作x轴的平行线交抛物线于点E,该抛物线的对称轴与x轴交于点D,连结CD、CB,点F为线段CB的中点,点M、N分别为直线CD和CE上的动点,求FMN周长的最小值【分析】(1)将三个点的坐标代入,求出a、b、c,即可求出关系式;(2)可以求出点Q(4,y2)关于对称轴的对称点的横坐标为:x2,根据函数的增减性,

32、可以求出当y1y2时P点横坐标x1的取值范围;(3)由于点F是BC的中点,可求出点F的坐标,根据对称找出F关于直线CD、CE的对称点,连接两个对称点的直线与CD、CE的交点M、N,此时三角形的周长最小,周长就等于这两个对称点之间的线段的长,根据坐标,和勾股定理可求【解答】(1)抛物线yax2+bx+c过A(1,0)B(3.0)、C(0,)三点解得:a,b,c;抛物线的解析式为:yx2+x+(2)抛物线的对称轴为x1,抛物线上与Q(4,y2)相对称的点Q(2,y2)P(x1,y1在该抛物线上,y1y2,根据抛物线的增减性得:x12或x14答:P点横坐标x1的取值范围:x12或x14(3)C(0,

33、),B,(3,0),D(1,0)OC,OB3,OD,1F是BC的中点,F(,)当点F关于直线CE的对称点为F,关于直线CD的对称点为F,直线FF与CE、CD交点为M、N,此时FMN的周长最小,周长为FF的长,由对称可得到:F(,),F(0,0)即点O,FFFO3,即:FMN的周长最小值为3,20.(2019辽阳)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的边BC在x轴上,ABC90,以A为顶点的抛物线yx2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿AB方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD

34、AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)SACQDQBC,即可求解;(3)分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况,分别求解即可【解答】解:(1)将点C、E的坐标代入二次函数表达式得:,解得:,故抛物线的表达式为:yx2+2x+3,则点A(1,4);(2)将点A、C的坐标代入一次函数表达式

35、并解得:直线AC的表达式为:y2x+6,点P(1,4t),则点D(,4t),设点Q(,4),SACQDQBCt2+t,0,故SACQ有最大值,当t2时,其最大值为1;(3)设点P(1,m),点M(x,y),当EC是菱形一条边时,当点M在x轴下方时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3x,m3y,而MPEP得:1+(m3)2(x1)2+(ym)2,解得:ym3,故点M(4,);当点M在x轴上方时,同理可得:点M(2,3+);当EC是菱形一对角线时,则EC中点即为PM中点,则x+13,y+m3,而PEPC,即1+(m3)24+(m2)2,解得:m1,故x2,y3m312,故点M(2,2);综上,点M(4,)或(2,3+)或M(2,2)

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