2019年中考压轴数学高频考点剖析:动态几何之最值问题(含答案)

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资源描述

1、备考 2019 中考数学高频考点剖析 动态几何之最值问题考点扫描聚焦中考动态几何中的最值问题,是每年中考的必考内容之一,考查的知识点包括包括单动点形成的最值问题、双(多)动点形成的最值问题、线动形成的最值问题和面动形成的最值问题。四个方面,总体来看,难度系数中游水平,以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以几何图形的综合应用为主。结合 2017、2018 年全国各地中考的实例和 2019 年名校中考模拟试题,我们从四个方面进行动态几何中最值问题的探讨:(1)包括单动点形成的最值问题,(2)双(多)动点形成的最值问题,(3)线动形成的最值问题,(4)面动形成的最值问题。考点剖析典型例题例

2、1(2018四川省攀枝花3 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点 P 满足SPAB = S 矩形 ABCD,则点 P 到 A.B 两点的距离之和 PA+PB 的最小值为 解:设ABP 中 AB 边上的高是 hS PAB = S 矩形 ABCD, ABh= ABAD,h= AD=2,动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上,如图,作 A 关于直线 l 的对称点 E,连接 AE,连接 BE,则 BE 的长就是所求的最短距离在 RtABE 中,AB=4,AE=2+2=4,BE= = =4 ,即 PA+PB 的最小值为4 故答案为:4 例 2

3、如图:(1)观察猜想:在 RtABC 中,BAC=90,AB=AC,点 D 在边 BC 上,连接 AD,把ABD 绕点 A 逆时针旋转 90,点 D 落在点 E 处,如图所示,则线段 CE 和线段 BD 的数量关系是_,位置关系是_(2)探究证明:在(1)的条件下,若点 D 在线段 BC 的延长线上,请判断(1)中结论是还成立吗?请在图中画出图形,并证明你的判断(3)拓展延伸:如图,BAC90,若 ABAC,ACB=45,AC= ,其他条件不变,过点 D 作 DFAD 交 CE于点 F,请直接写出线段 CF 长度的最大值【考点】几何图形的动态问题 【解析】【解答】解:(1)如图AB=AC,BA

4、C=90,线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE,AD=AE,BAD=CAE,BADCAE,CE=BD,ACE=B,BCE=BCA+ACE=90,BDCE;故答案为:CE=BD,CEBD【分析】(1)由旋转可知对应边、对应角相等,从而可以判断 CE 与 BD 的数量与位置关系;(2)与(1)的思路一致,先通过旋转的性质证得BADCAE,从而可以判断 CE 与 BD 的数量与位置关系;(3)过 A 作 AMBC 于 M,ENAM 于 N,由旋转的性质证得 RtAMDRtENA,从而可知AMC 为等腰直角三角形,进而可知四边形 MCEN 为平行四边形为矩形,即可知 RtAMDRtDCF,

5、利用对应线段成比例可用 DC 长 x 表示出 CF 的长度,再结合二次函数的顶点求得最值即可.【解析】(1)CE=BD;CEBD(2)解:(1)中的结论仍然成立理由如下:如图,线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE,AE=AD,DAE=90,AB=AC,BAC=90CAE=BAD,ACEABD,CE=BD,ACE=B,BCE=90,即 CEBD,线段 CE,BD 之间的位置关系和数量关系分别为:CE=BD,CEBD(3)解:如图 3,过 A 作 AMBC 于 M,ENAM 于 N,线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AEDAE=90,AD=AE,NAE=ADM,易证得 RtA

6、MDRtENA,NE=AM,ACB=45,AMC 为等腰直角三角形,AM=MC,MC=NE,AMBC,ENAM,NEMC,四边形 MCEN 为平行四边形,AMC=90,四边形 MCEN 为矩形,DCF=90,RtAMDRtDCF, ,设 DC=x,ACB=45,AC= ,AM=CM=1,MD=1-x, ,CF=-x 2+x=-(x- ) 2+ ,当 x= 时有最大值,CF 最大值为 例 3 如图,已知二次函数 y= x2+bx 与 x 轴交于点 A(3,0)和点 B,以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD,点 P 是 x 轴上一动点,连接 DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于

7、点 E(1)试求出二次函数的表达式和点 B 的坐标; (2)当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A、O 重合)运动至何处时,线段 OE 的长有最大值,求出这个最大值; (3)是否存在这样的点 P,使PED 是等腰三角形?若存在,请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积;若不存在,请说明理由 【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】(1)将点 A(3,0)代入 y= x2+bx 即可求出 b 的值,从而求出抛物线的解析式,然后根据抛物线与 x 轴交点的坐标特点,将 y=0 代入抛物线的解析式,即可算出对应的自变量的值,从而得出 B 点的坐标;(2)

8、设 PA=t(3t0),则 OP=3t,如图 1,根据同角的余角相等得出DPA=PEO,从而判断出DAPPOE,根据相似三角形对应边成比例得出 APOE=ADPO,根据比例式即可建立出 OE与 t 的函数关系式,根据所得函数的性质即可解决问题;(3)存在当点 P 在 y 轴左侧时,如图 2,DE 交 AB 于 G 点,首先判断出DAPPOE,根据全等三角形的对应边相等得出 PO=AD=4,进而得出 PA=1,OE=1,根据平行线分线段成比例定理,由ADOE 得出 AGOG=ADOE=4,根据比例式求出 AG 的长,然后由三角形的面积计算方法算出 SDAG,从而得出答案 P 点坐标为(4,0),

9、此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 ;当 P 点在y 轴右侧时,如图 3,DE 交 AB 于 G 点,DP 与 BC 相交于 Q,同理可得DAPPOE,根据全等三角形的对应边相等得出 PO=AD=4,进而得出 PA=7,OE=7,根据平行线分线段成比例定理,由 ADOE得出 AGOG=ADOE= , 从而得出 OG 的长,同理可得 BQ 的长,根据 S 四边形 DGBQ=SDGP- SOBP 即可算出面积得出答案。【答案】(1)解:将点 A(3,0)代入 y= x2+bx 得 3b =0,解得 b=1,二次函数的表达式为 y= x2+x ,当 y=0 时, x2+x =0,解得

10、x1=1,x 2=3,B(1,0)(2)解:设 PA=t(3t0),则 OP=3t,如图 1,DPPE,DPA=PEO,DAPPOE, = ,即 = ,OE= t2+ t= (t ) 2+ ,当 t= 时,OE 有最大值,即 P 为 AO 中点时,OE 的最大值为 (3)解:存在当点 P 在 y 轴左侧时,如图 2,DE 交 AB 于 G 点,PD=PE,DPE=90,DAPPOE,PO=AD=4,PA=1,OE=1,P 点坐标为(4,0),从而得出答案ADOE, = =4,AG= ,S DAG = 4= ,P 点坐标为(4,0),此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 ;当 P 点

11、在 y 轴右侧时,如图 3,DE 交 AB 于 G 点,DP 与 BC 相交于 Q,同理可得DAPPOE,PO=AD=4,PA=7,OE=7,点 P 的坐标为(4,0),ADOE, = = ,OG= ,同理可得 BQ= S 四边形 DGBQ= ( +4)4- 3 = 当点 P 的坐标为(4,0)时,此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为 考点过关专项突破类型一 单点运动形成的最值1. 如图,已知菱形 ABCD 的周长为 16,面积为 8 ,E 为 AB 的中点,若 P 为对角线 BD 上一动点,则 EP+AP 的最小值为 2 【分析】如图作 CEAB 于 E,甲 BD 于 P,连接

12、AC、AP首先证明 E与 E 重合,因为A、C 关于 BD 对称,所以当 P 与 P重合时,PA+PE 的值最小,由此求出 CE 即可解决问题【解答】解:如图作 CEAB 于 E,甲 BD 于 P,连接 AC、AP已知菱形 ABCD 的周长为 16,面积为 8 ,AB=BC=4,ABCE=8 ,CE=2 ,在 RtBCE中,BE= =2,BE=EA=2,E 与 E重合,四边形 ABCD 是菱形,BD 垂直平分 AC,A、C 关于 BD 对称,当 P 与 P重合时,PA+PE 的值最小,最小值为 CE 的长=2 ,故答案为 2 【点评】本题考查轴对称最短问题、菱形的性质等知识,解题的关键是学会添

13、加常用辅助线,本题的突破点是证明 CE 是ABC 的高,学会利用对称解决最短问题2. (2018天津3 分)如图,在正方形 中,分别为 , 的中点,为对角线 上的一个动点,则下列线段的长等于 最小值的是( )A. B. C. D. 【解析】分析:点 E 关于 BD 的对称点 E在线段 CD 上,得 E为 CD 中点,连接 AE,它与 BD 的交点即为点 P,PA+PE 的最小值就是线段 AE的长度;通过证明直角三角形 ADE直角三角形 ABF即可得解详解:过点 E 作关于 BD 的对称点 E,连接 AE,交 BD 于点 PPA+PE 的最小值 AE;E 为 AD 的中点,E为 CD 的中点,四

14、边形 ABCD 是正方形,AB=BC=CD=DA,ABF=AD E=90,DE=BF,ABFAD E,AE=AF.故选 D.点睛:本题考查了轴对称-最短路线问题、正方形的性质此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”因此只要作出点 A(或点 E)关于直线 BD 的对称点 A(或 E),再连接 EA(或 AE)即可3. (2018四川宜宾3 分)在ABC 中,若 O 为 BC 边的中点,则必有:AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形 DEFG 中,已知 DE=4,EF=3,点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动,则 PF2+PG2的最

15、小值为( )A B C34 D10【考点】M8:点与圆的位置关系;LB:矩形的性质【分析】设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN,则 MN、PM 的长度是定值,利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值,再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论【解答】解:设点 M 为 DE 的中点,点 N 为 FG 的中点,连接 MN 交半圆于点 P,此时 PN 取最小值DE=4,四边形 DEFG 为矩形,GF=DE,MN=EF,MP=FN= DE=2,NP=MNMP=EFMP=1,PF 2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10故选:D【点评】本题考查了点与

16、圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系,利用三角形三边关系找出 PN 的最小值是解题的关键4. (2018四川自贡4 分)如图,在ABC 中,AC=BC=2,AB=1,将它沿 AB 翻折得到ABD,则四边形 ADBC 的形状是 形,点 P、E、F 分别为线段 AB、AD、DB 的任意点,则 PE+PF 的最小值是 【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形;作出 F 关于 AB 的对称点 M,再过 M 作 MEAD,交ABA 于点 P,此时 PE+PF 最小,求出 ME 即可【解答】解:ABC 沿 AB 翻折得到ABD,AC=AD,BC=BD,AC=BC,AC=AD=BC=BD,四边形 A

17、DBC 是菱形,故答案为菱;如图作出 F 关于 AB 的对称点 M,再过 M 作 MEAD,交 ABA 于点 P,此时 PE+PF 最小,此时 PE+PF=ME,过点 A 作 ANBC,ADBC,ME=AN,作 CHAB,AC=BC,AH= ,由勾股定理可得,CH= , ,可得,AN= ,ME=AN= ,PE+PF 最小为 ,故答案为 【点评】此题主要考查路径和最短问题,会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键5. 已知 , , ,斜边 ,将 绕点 顺时针旋转 ,如图 1,连接 (1)填空: _ ; (2)如图 1,连接 ,作 ,垂足为 ,求 的长度; (3)如图

18、 2,点 , 同时从点 出发,在 边上运动, 沿 路径匀速运动, 沿 路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点 的运动速度为 1.5 单位 秒,点 的运动速度为 1 单位 秒,设运动时间为 秒, 的面积为 ,求当 为何值时 取得最大值?最大值为多少? 【考点】三角形的面积,等边三角形的判定与性质,含 30 度角的直角三角形,几何图形的动态问题,二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】(1)由旋转性质可知:OBOC,BOC60, OBC 是等边三角形,OBC60故答案为:60【分析】(1)由旋转性质可知:OBOC,BOC60,根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形得出OBC 是等边

19、三角形,根据等边三角形的三个角都是 60即可得出OBC 的度数;(2)在 RtABO 中,根据含 30的直角三角形的边之间的关系得出 OA OB2,AB OA2 , 由 SAOC OAAB 算出AOC 的面积,根据角的和差及等边三角形的性质得出 ABCABO+OBC 90, 在 RtABC 中,根据勾股定理算出 AC 的长,然后利用 SAOC ACOP 即可算出 OP 的长;(3) 当 0x 时,M 在 OC 上运动,N 在 OB 上运动,此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E, 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 NEONsin60 = x,然后根据 SOMN 32OMNE

20、 建立出 y 与 x 的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出答案; 当 x4 时,M 在 BC 上运动,N 在 OB 上运动 作 MHOB 于 H 则 BM81.5x, 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出 MHBMsin60 = (81.5x),然后根据 SOMN ONMH 建立出32y 与 x 的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出答案; 当 4x4.8 时,M、N 都在 BC 上运动, 作 OGBC 于 GMN122.5x ,OGAB2 , 然后根据 y MNOG 建立出 y 与 x的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出答案,综上所述即可得出答案。【答案】 (1)60(2)解

21、:如图 1 中。 OB4,ABO30,OA OB2,AB OA2 ,S AOC OAAB 22 BOC 是等边三角形,OBC60,ABCABO+OBC90,AC ,OP (3)解:当 0x 时,M 在 OC 上运动,N 在 OB 上运动,此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点E 则 NEONsin60 = x,32S OMN = OMNE 1.5x x,1232y x2 , x 时,y 有最大值,最大值 当 x4 时,M 在 BC 上运动,N 在 OB 上运动作 MHOB 于 H则 BM81.5x,MHBMsin60 = (81.5x),32y ONMH x2+2 x当 x 时,y 取最

22、大值,y ,当 4x4.8 时,M、N 都在 BC 上运动,作 OGBC 于 GMN122.5x,OGAB2 ,y MNOG12 x,当 x4 时,y 有最大值,最大值2 综上所述:y 有最大值,最大值为 6. (2018浙江省台州12 分)如图,在 RtABC 中,AC=BC,ACB=90,点 D,E 分别在AC,BC 上,且 CD=CE(1)如图 1,求证:CAE=CBD;(2)如图 2,F 是 BD 的中点,求证:AECF;(3)如图 3,F,G 分别是 BD,AE 的中点,若 AC=2 ,CE=1,求CGF 的面积【分析】(1)直接判断出ACEBCD 即可得出结论;(2)先判断出BCF

23、=CBF,进而得出BCF=CAE,即可得出结论;(3)先求出 BD=3,进而求出 CF= ,同理:EG= ,再利用等面积法求出 ME,进而求出 GM,最后用面积公式即可得出结论【解答】解:(1)在ACE 和BCD 中, ,ACEBCD,CAE=CBD;(2)如图 2,在 RtBCD 中,点 F 是 BD 的中点,CF=BF,BCF=CBF,由(1)知,CAE=CBD,BCF=CAE,CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90,AMC=90,AECF;(3)如图 3,AC=2 ,BC=AC=2 ,CE=1,CD=CE=1,在 RtBCD 中,根据勾股定理得,BD= =3,点 F 是 BD 中点

24、,CF=DF= BD= ,同理:EG= AE= ,连接 EF,过点 F 作 FHBC,ACB=90,点 F 是 BD 的中点,FH= CD= ,S CEF = CEFH= 1 = ,由(2)知,AECF,S CEF = CFME= ME= ME, ME= ,ME= ,GM=EGME= = ,S CFG = CFGM= = 【点评】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,三角形的中位线定理,三角形的面积公式,勾股定理,作出辅助线求出CFG 的边 CF 上的是解本题的关键类型二 双(多)动点形成的最值问题1. 已知ABC 中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10c

25、m,CD 为 AB 边上的高动点 P 从点 A 出发,沿着ABC的三条边逆时针走一圈回到 A 点,速度为 2cm/s,设运动时间为 ts.(1)求 CD 的长; (2)t 为何值时,ACP 为等腰三角形? (3)若 M 为 BC 上一动点,N 为 AB 上一动点,是否存在 M,N 使得 AM+MN 的值最小,如果有请尺规作出图形(不必求最小值),如果没有请说明理由【考点】勾股定理,轴对称的应用-最短距离问题,几何图形的动态问题 【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理求出 AC2+BC2和 AB2值,即可判断ABC 是直角三角形,再利用直角三角形的面积=两直角边之积的一半=斜边斜边上的高,就

26、可求出 CD 的长。(2)分情况讨论:当点 P 在 BC 上,CA=CP 时,由 CP 的长,可求出 t 的值;当点 P 在 AB 上,CA=CP时,利用勾股定理求出 AD、DP、AP 的长,就可求出 t 的值;当 AC=AP 时;当 PA=PC 时,分别求出 t的值,综上所述,可得出 t 的值。(3)利用轴对称的知识可解答,作 A 点关于 BC 的对称点 A,过 A作 AB 的垂线 AN,垂足为N,交 BC 于 M 点,M、N 即为所求。【答案】(1)解:AC 2+BC2=36+64=100,AB 2=100,AC 2+BC2=AB2 , ABC 是直角三角形, ACBC= ABCD,121

27、2解得,CD=4.8cm;(2)解:当点 P 在 BC 上,CA=CP 时,CP=6,则 t=122=6s,当点 P 在 AB 上,CA=CP 时,在 RtADC 中,AD= =3.6,如图,CA=CP,CD 为 AB 边上的高,DP=AP=3.6,则 t=(247.2)2=8.4,当 AC=AP 时,t=(246)2=9,当 PA=PC 时,如图,作 PHAC 于 H,则 AH=CH=3,HP= BC=5,12由勾股定理得,AP=5,则 t=(245)2=9.5,故当 t=6、8.4、9、9.5 时,ACP 为等腰三角形;(3)解:如图,作 A 点关于 BC 的对称点 A,过 A作 AB 的

28、垂线 AN,垂足为 N,交 BC 于 M 点,M、N 即为所求2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y x2 的图象与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,抛物线 yax 2bxc 关于直线 x 对称,且经过 B. C 两点,与 x 轴交于另一点为 A.(1)求抛物线的解析式;(2)若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点,过点 P 作 PQx 轴于 M,交 AC 于 Q,求 PQ 的最大值,并求此时APC 的面积;(3)在抛物线的对称轴上找出使ADC 为直角三角形的点 D,直接写出点 D 的坐标.【考点】二次函数与一次函数的综合应用,二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分

29、析】(1)根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 B,C 两点的坐标,根据抛物线的对称性求出 A 点的坐标,然后将 A,B,C 三点的坐标分别代入抛物线 yax2bxc 得出一个关于 a,b,c的三元一次方程组,求解得出 a,b,c 的值,从而得出抛物线的解析式;(2)根据直线上的点的坐标特点,用含 m 的式子表示出 Q 点的坐标,根据垂直于 x 轴的直线上的点的坐标特点及抛物线上的点的坐标特点用含 m 的式子表示出 P 点的坐标,根据两点间的距离公式表示出 PQ 的长,根据所得函数的性质即可解决问题,然后根据 SPBC S 梯形 OCPMS PMB S BOC 算出图形面积;(3)首先根据对称轴

30、上点的坐标特点设出 D 点的坐标为( ,m),ADC 为直角三角形分三种情32况:当点 C 为直角顶点时:作 DMy 轴于 M,由CD 1MACO 对应边成比例得出 ,根据比例式即可求出 CM 的长,进而得出 uOM 的擦很难过,得出 D1点的坐标;同理当点 A 为直角顶点时可求 D2; 当点 D 为直角顶点时: 过 D3作 MNy 轴 ,由CD 3MD 3NA 对应边成比例得出根据比例式列出方程,求解即可求出 D3,D4的坐标,综上所述即可得出答案。【答案】(1)解:令 y x20,解得:x4,1即点 B 的坐标为(4,0).A、B 关于直线 x 对称, 点 A 的坐标为(1,0).32令

31、x0,则 y2,点 C 的坐标为(0,2),抛物线 yax2bxc 经过点 A、 B、 C,有 解得: a ,b ,c2.123故抛物线解析式为 y x2 x2(2)解:直线 AC 的解析式为 y x2,即 xy20,1设点 Q 的坐标为(m, m2) ;则 P 点坐标为(m, m2 m2),213PQ( m2 m2)( m2)131 m22m (m2) 221当 m2 时,PQ 最大 2此时点 P(2,3)S PBC S 梯形 OCPMS PMB S BOC 5344(3)解:假设存在,设 D 点的坐标为( ,5),( ,5),( ,1 ),( ,1 ).2232解法如下:设 D 点的坐标(

32、 ,m)3ADC 为直角三角形分三种情况:当点 C 为直角顶点时:作 DMy 轴于 M由CD 1MACO 可得: ,CM3 OM5 即 D1( ,5)32同理当点 A 为直角顶点时可求 D2( ,5)当点 D 为直角顶点时: 过 D3作 MNy 轴由CD 3MD 3NA 可得: ,可得:n 22n 解得:n1 D3( ,1 ),D4( ,1 )故 D 点的坐标为( ,5),( ,5),( ,1 ),( ,1 )323232类型三 线动形成的最值问题1如图(1),在矩形 ABCD 中,BC=8,点 P 是 BC 边上一点,且 BP=3,点 E 是线段 CD 上的一个动点,把PCE 沿 PE 折叠

33、,点 C 的对应点为点 F,当点 E 与点 D 重合时,点 F 恰好落在 AB 上 (1)求 CD 的长; (2)若点 F 刚好落在线段 AD 的垂直平分线上时,求线段 CE 的长; (3)请直接写出 AF 的最小值. 【考点】勾股定理,翻折变换(折叠问题),几何图形的动态问题 【解析】【解答】(3)如图, 由题意知 PF=PC=5,则点 F 和点 C 在以点 P 为圆心,5 为半径的圆上,连结 AP,与P 交点即为所求点 F,AB=10,BP=3,AP= ,则 AE=AP-PF= .,故 AF 的最小值为 ,故答案为: .【分析】(1) 当点 E 与点 D 重合时,画出图形,利用折叠的性质,

34、 DF=DC=x, PC=PF=5,利用勾股定理求出 BF,用含 x 的代数式表示出 AF 的长,然后在 RtAFD 中,利用勾股定理建立关于 x 的方程,求出 x 的值即可。(2) 当点 F 落在 AD 得中垂线 MN 上时,画出图形, 作 FGDC 于点 G,利用勾股定理求出 FN,设CE=y,用含 y 的代数式表示出 CG、FN、GE,再在GEF 中,利用勾股定理建立关于 y 的方程,解方程求出 y 的值。(3)要使 AF 最小,当且仅当 A、F、P 在同一直线上时,画出图形,利用勾股定理求出 AP 的长,即可求出 AF 的长。【答案】 (1)解:当点 E 与点 D 重合时,如图 设 C

35、D=x, 由折叠可知:DF=DC=x, PC=PF=5, 在 RTPBF 中, BF= 则 AF=x-4, 在 RTAFD 中,A=90 由 AD2+AF2=DF2 得 解得:x=10,即 CD=10. (2)解:当点 F 落在 AD 得中垂线 MN 上时, 作 FGDC 于点 G,则 FG=4, 在 RTPNF 中, FN= 设 CE=y,CG=FN= , GE= -y, 在 RTGEF 中,由 FG2+GE2=EF2 得:4 2+( -y) 2=y2 解之得:y= (或 ) 要使 AF 最小,当且仅当点 A、F、P 在同一直线上 (3)解: . 2如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直

36、线 l: 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点B(0,1),抛物线 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n) (1)求 n 的值和抛物线的解析式; (2)点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0t4)DEy 轴交直线 l 于点 E,点 F 在直线 l上,且四边形 DFEG 为矩形(如图 2)若矩形 DFEG 的周长为 p,求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值; (3)M 是平面内一点,将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后,得到A 1O1B1 , 点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O 1、B 1 若A 1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写

37、出点 A1的横坐标 【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】(1)由题意把点 B(0,-1)代入直线 BC 的解析式可求得 m 的值,则直线 BC 的解析式可求解;再将点 C(4,n)代入直线 BC 的解析式可求得 n 的值,把点 B、C 的坐标代入二次函数的解析式即可求得 b、c 的值,则二次函数的解析式可求解;(2)由题意令 y=0 可求得点 A 的坐标; 在 RtOAB 中 ,用勾股定理可求得 AB 的长, 在矩形DFEG 中,EF=DEcosDEF 可将 EF 和 DF 用含 DE 的代数式表示;则 p=2(DF+EF) 也可用含 DE 的

38、代数式表示;而 点 D 的横坐标为 t(0t4), 所以点 D、E 的坐标可用含 t 的代数式表示;则p 可用含 t 的二次函数表示出来,把二次函数配成顶点式,根据二次函数的性质即可求解;(3)由旋转的性质可得 A1O1y 轴时,B 1O1x 轴,设点 A1的横坐标为 x, 由题意分两种情况讨论即可求解:如图 1,点 O1、B 1在抛物线上时,点 O1的横坐标为 x,点 B1的横坐标为 x+1, 根据这两点的纵坐标相同可得关于 x 的方程,解方程即可求解;如图 2,点 A1、B 1在抛物线上时,点 B1的横坐标为 x+1,点 A1的纵坐标比点 B1的纵坐标大 ,根据这两点的纵坐标相同可得关于

39、x 的方程,解方程即可求解。【答案】 (1)解:直线 l:y= x+m 经过点 B(0,1), m=1,直线 l 的解析式为 y= x1,直线 l:y= x1 经过点 C(4,n),n= 41=2,抛物线 y= x2+bx+c 经过点 C(4,2)和点 B(0,1), ,解得 ,抛物线的解析式为 y= x2 x1(2)解:令 y=0,则 x1=0, 解得 x= ,点 A 的坐标为( ,0),OA= ,在 RtOAB 中,OB=1,AB= ,DEy 轴,ABO=DEF,在矩形 DFEG 中,EF=DEcosDEF=DE ,DF=DEsinDEF=DE ,p=2(DF+EF)=2( ,点 D 的横

40、坐标为 t(0t4),D(t, t2 t1),E(t, t1),DE=( t1)( t2 t1)= t2+2t,p= ( t2+2t)= t2+ t,p= (t2) 2+ ,且 0,当 t=2 时,p 有最大值 ;(3)解:AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90, A 1O1y 轴时,B 1O1x 轴,设点 A1的横坐标为 x, 如图 1,点 O1、B 1在抛物线上时,点 O1的横坐标为 x,点 B1的横坐标为 x+1, x2 x1= (x+1) 2 (x+1)1,解得 x= ,如图 2,点 A1、B 1在抛物线上时,点 B1的横坐标为 x+1,点 A1的纵坐标比点 B1的纵坐标大 , x2 x1= (x+1) 2 (x+1)1+ ,解得 x= ,综上所述,点 A1的横坐标为 或

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