1、题型五 几何探究题类型一 旋转探究问题1. 如图 ，在正方形 ABCD 和正方形 ABCD中，AB2，AB ，连接 CC.2问题发现(1)计算 的值为_；CCBB拓展探究(2)将正方形 ABCD绕点 A 逆时针旋转，记旋转角为 ，连接 BB.试判断：当 0360时， 的大小有无变化？请仅就图CCBB的情形给出你的证明；问题解决(3)在旋转过程中，BB 的最大值为多少？并给出解题过程第 1 题图解：(1) ；2(2)在旋转的过程中， 的值不变. CCBB证明：如解图，连接 AC，AC，第 1 题解图四边形 ABCD 和四边形 ABCD是正方形，BACB AC45，BACB ACB ACBAC，即
2、B ABCAC ，又 ， ，ACAB 2 ACAB 2 ，ACAB ACABB ABCAC ， ；CCBB ACAB 2(3)以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆，如解图所示，当点 B在 BA 的延长线上时，线段 BB最长，此时BBAB AB2 ，即 BB的最大值为 2 .2 22. 如图，已知点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 AB，BC 上，且BEBF，点 M 为 AF 的中点，连接 CE，BM. 问题发现：(1)线段 CE 与 BM 之间的数量关系是 _，位置关系是_；类比探究：(2)如图 ，将线段 BE 和 BF 绕点 B 逆时针旋转，旋转角为 (0C，沿BAC 的平分线 AB1
3、 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B nAnC 的平分线 AnBn1 折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC 是ABC 的好角确定BAC 是ABC 的好角的两种情况，情形一：如图 ，沿等腰三角形ABC 顶角BAC 的平分线 AD 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图，沿ABC 的BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C重合探究发现(1)ABC 中，B2C，经过两次折叠，BAC 是不是ABC 的好角？
4、_(填“是”或“不是”)(2)经过三次折叠发现BAC 是ABC 的好角，请探究B 与C 之间的等量关系，并说明理由；根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与 C 之间的等量关系为_；应用提升(3)一个三角形三个角分别为 15，60，105，发现 60和 105的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是 5，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角第 3 题图解：(1) 是；【解法提示】理由如下：情形二中，沿BAC 的平分线 AB1 折叠，BAA 1B1; 又将余下的部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点
5、 C 重合，A 1B1CC，AA 1B1CA 1B1C(外角定理) ，B 2C.(2)B3C；证明如下：在ABC 中，沿 BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B 1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重叠部分；将其余下的部分沿B 2A2C 的平分线 A2B3 折叠，点 B2 与点 C 重合，则BAC 是ABC 的好角；根据折叠的性质知，B AA 1B1，C A 2B2C，A 1B1CA 1A2B2，根据三角形的外角定理知，A 1A2B2C A 2B2C2C ；根据四边形外角定理知，BACB AA 1B1A 1B1CBAC2B2C 180，根据ABC 的内角和定理知， B
6、AC BC180，B 3C；B nC.【解法提示】由情形一知，当BC 时，BAC 是ABC 的好角；由情形二知，当B2C 时，BAC 是ABC 的好角；由上述知，当B3C 时，BAC 是ABC 的好角；故若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C 之间的等量关系为B nC；(3)由(2)知， B nC，BAC 是ABC 的好角，最小角是 5是ABC 的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为 5m， 5mn(其中 m、n 为正整数)由题意得 5m5mn5180，m( n1)35，m，n 都是正整数，m 与 n1 是 35 的因数，因此有：m1，n135；m5，n17；m7， n15；
7、m1，n34；m5，n6；m7，n 4，5m5，5mn170；5m25；5mn150；5m35，5mn 140.该三角形的另外两个角的度数分别为：5，170或 25，150或35，140.4. 定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形” 如图中，四边形 ABCD 是“垂直四边形” ，对角线 AC，BD 交于点O，ACBD.(1)探究： 小明对 “垂直四边形”ABCD( 如图) 进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即AB2CD 2AD 2BC 2，你认为他的发现正确吗？试说明理由(2)应用：如图，在ABC 中， ACB 90，AC6，BC8，动点 P 从点 A 出
8、发沿 AB 方向以每秒 5 个单位的速度向点 B 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 6 个单位的速度向点 A 匀速运动，运动时间为 t 秒(0t1)，连接 CP，BQ，PQ.当四边形 BCQP 是“垂直四边形”时，求 t 的值如图，在ABC 中， ACB 90，AB3AC ，分别以 AB，AC为边向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，连接 EG.请求出线段 EG与 BC 之间的数量关系第 4 题图解：(1) 正确，理由如下：四边形 ABCD 是“垂直四边形” ，ACBD，由勾股定理可知：AB2CD 2( AO2BO 2)(DO 2CO 2)，AD2 BC2( A
9、O2DO 2)(BO 2CO 2)，AB 2CD 2AD 2BC 2；第 4 题解图(2)如解图，过点 P 作 PDAC 于点 D，由题意知，AP 5t ，CQ6t，ACB90，AB 10，62 82PD BC，PAD BAC， ，ADAC PDBC APAB ，AD6 PD8 5t10AD 3t，PD 4t，DQACADCQ 69t，四边形 BCQP 是“垂直四边形” ，由(1) 可得： BP2CQ 2PQ 2BC 2(PD 2DQ 2)BC 2，(10 5t) 2(6t) 2(4t) 2(69t) 28 2，解得 t 或 t0(舍去)29当四边形 BCQP 是“垂直四边形”时，t 的值为
10、；29第 4 题解图如解图，连接 CG、BG、BE、CE，CE 与 BG 交于点 O，由题意知：EA BA ， ACAG ，EABCAG90，EABBAC CAGBAC ，EACBAG，在EAC 与BAG 中，EA BA EAC BAGAC AG )EACBAG(SAS)，CEAGBA，BEAEBABEOEBO90，EABBOE90，四边形 BCGE 是“垂直四边形” ，BC 2EG 2BE 2CG 2，AB3AC，EG 2 BC2.32类型三 操作探究问题5. 数学课上，老师和同学们对相似三角形的判定和性质进行了如下探究：活动一：(1)如图 ， ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三
11、角形，在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1(D1、E 1 在 AB 上，A 1、B 1 分别在 AC、BC 上)，再在A 1B1C 内用同样的方法作第 2 个内接正方形A2B2D2E2，如此下去，操作 n 次，则第 1 个内接正方形的边长是_，第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是_；活动二：(2)如图 ，在 ABC 中，BC12，高 AD 8，四边形 PQMN 为ABC 的内接矩形( P 在 AB 上，Q 在 AC 上，M、N 在 BC 上) 求当 PQ 为何值时，矩形 PQMN 的面积最大；在的条件下，若再在APQ 中作一个内接矩形 P1Q1M1N1，如此下去，操
12、作 n 次，求 PnQn的长(直接写出结果)思考与归纳：(3)解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条第 5 题图解：(1) 1， ；13n 1【解法提示】AB45，AE 1A 1E1A 1B1B 1D1D 1BD 1E1，第 1 个内接正方形的边长 AB 1.同理：第 2 个内接正方形的边长 A1B1 AB ，第13 13 19 133 个内接正方形的边长 A2B2 AB ，故可推出第 n 个小正13 127 19方形 AnBnDnEn的边长 AB .13n 13n 1(2)设 PQx，矩形 PQMN 的面积为 y，AD 与 PQ 交于点 E，第 5 题解图PQ
13、 BC，APQ ABC， ，即 ，AEAD PQBC 8 PN8 x12PN8 x.23则 yPQ PNx(8 x) (x6) 224.23 23 0，23该抛物线的开口向下，当 x6 时，y 取得最大值，故当 PQ6 时，矩形 PQMN 的面积最大；由知，PQ ，122同理：P 1Q1 ，1222P2Q2 ，1223PnQn ；122n 1(3)根据 (1)的解题过程可以得到结论：第 n 个小正方形 AnBnDnEn的面积是 .132（n 1）6. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在ABC 中，BAC 90，ABAC ，点 D 为直线 BC 上一点(
14、点 D 不与 B，C 重合)，以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF.(1)观察猜想如图，当点 D 在线段 BC 上时，BC 与 CF 的位置关系为：_BC，CD，CF 之间的数量关系为：_( 将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸如图，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE.若已知 AB 2 ，CD BC，请求出 GE 的长214第 6 题图解：(1) BC CF；BCCDCF；【解法提示】BACDA
15、F90，BADCAF，又ABAC，AD AF ， ABDACF(SAS)，ACF ABC45， ACB45，BCF90，即 BCCF ；ABD ACF，BD CF，BCCDBD，BCCDCF .(2)结论 仍然成立，不成立，证明：BAC DAF90，BAD CAF，又ABAC，AD AF，ABD ACF(SAS)，ACFABD18045135，ACB45，BCF90，即 BCCF ；结论为：BCCDCF，证明：ABD ACF，BD CF，BCCDBD，BCCDCF；第 6 题解图(3)如解图，过点 E 作 EMCF 于点 M，作 ENBD 于点 N，过点A 作 AHBD 于点 H，则 CNME
16、，CMEN，ABAC2 ，2BC4，AH BC2，12CD BC，14CD 1，BACDAF90，BAD CAF，又ABAC，AD AF，ABD ACF(SAS)，ACFABC45，ACB45，BCF90，ABCAGC45 ，BCCG4，ADE 90，ADHEDNEDNDEN90，ADHDEN，又AHCDNE90，ADDE，AHDDNE(AAS)，DN AH2，ENDH 3，CMEN3，ME CN3，则 GMCGCM431，EG .EM2 GM2 107. 如图 ，分别以 ABC 的 AB 和 AC 为边向ABC 外作正三角形(等边三角形)、正四边形( 正方形) 、正五边形，BE 和 CD相交
17、于点 O.(1)在图 中，求证：ABEADC；(2)由(1)证得 ABE ADC，由此可推得在图 中BOC120，请你探索在图中BOC 的度数，并说明理由或写出证明过程；(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图中BOC_( 填写度数)；(4)由此推广到一般情形( 如图)，分别以ABC 的 AB 和 AC 为边向ABC 外作正 n 边形， BE 和 CD 仍相交于点 O，猜想得BOC 的度数为_(用含 n 的式子表示)第 7 题图(1)证明： ABD，ACE 是等边三角形，ABAD，ACAE ， DABCAE60，DAB BACCAEBAC ，DACBAE，在ABE 和ADC 中， ，AB
18、 AD BAE DACAE AC )ABEADC(SAS)；第 7 题解图(2)解： 如解图 ，AD，BE 交于点 K，则 OKDAKB，又由(1) 知 ABEADC，ODKKBA，OKDAKB，DOKBAK90，又BOCDOK 180，BOC1809090；第 7 题解图(3)解： 72；【解法提示】如解图，AD，EB 交于点 K，由(1)得ABEADC，EBACDA，OKDAKB，OKDAKB，DOKBAK 108，又180（5 2）5BOCDOK180，BOC180 10872； (4)解： 180 .180（n 2）n【解法提示】如解图，AD，BE 交于点 K，第 7 题解图DOKBO
19、C180，又由(1) 知ABEADC，EBACDA，OKDAKB，DOKBAK ，180（n 2）n又BOCDOK 180，BOC180 DOK 180.180（n 2）n类型四 动点探究问题8. (1)问题提出如图，已知ABC 是等边三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 EDEC，将BCE 绕点 C 顺时针旋转 60至ACF ，连接 EF.填空：CAF 的度数为_ ；线段 AE 与 BD 之间的数量关系为 _；(2)类比探究如图，如果点 E 在线段 BA 的延长线上，其他条件不变，探究：CAF 的度数及线段 AE 与 BD 之间有怎样的数量关系？(3)解决问题如果
20、E 是直线 AB 上一动点，点 D 在直线 BC 上，AC 6，其他条件不变，当ACF 是直角三角形时，请直接写出 BD 的长第 8 题图解：(1) 60 ；AE BD；(2)CAF60，AEBD；BCE 绕点 C 顺时针旋转 60至ACF，ECFBCA60，BEAF ，CECF，BCAC ，CEF 和ABC 都是等边三角形，EFEC，又ED EC，ED EF，ABC 是等边三角形，ABC60，又CBECAF，CAF60，EAF180CAF BAC60，DBE EAF ，ED EC，ECDEDC，BDE ECD DECEDCDEC，又EDCEBC BED，BDE EBCBEDDEC60 BEC
21、，AEFCEF BEC60BEC，BDE AEF ，在EDB 和 FEA 中， DBE EAF BDE AEFED FE )EDB FEA(AAS)，AEBD；(3)3 或 6.【解法提示】CAFCBA 60，当 CAF 是直角三角形时有以下两种情况：若ACF90，如解图 所示，CAF 60，在 RtACF 中，AF2AC12，BEAF ，BE12，AEBEAB1266，又BD AE ，BD6.第 8 题解图若AFC90，如解图 所示，CAF60，AF AC3，BEAF ，BE3，AEABBE63312，又BD AE ，BD3.综上所述，BD 的长为 3 或 6.类型五 折叠探究问题9. 问题
22、发现(1)如图 ，在 RtABC 中，C90，AC AB，则12B _；类比探究(2)如图 ，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片，E，F 分别为 AB，CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在EF 上的点 A处，折痕交 AE 于点 G，请运用(1)中的结论求ADG的度数和 AG 的长；问题解决(3)若矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，B、D 两点恰好重合于一点 O(如图) ，当 AB6 时，请直接写出 EF 的长第 9 题图解：(1)30；(2)正方形边长为 2，E，F 分别为 AB，CD 的中点，EAFD CD1，12沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点
23、 A 落在 EF 上的点 A处，ADAD2，sin FAD ，FDAD 12FAD30，可得FDA 903060，由折叠性质可得ADGADG，AGAG ，ADG 15， ADA2 90 602AD2，FD1，AF ，AD2 FD2 3EAEF A F2 ，3EAGDAF180GAD90，EAG90DAF903060，EGA90EAG906030，则 AGAG 2EA 2(2 )42 ；3 3(3)4.【解法提示】折叠后 B，D 两点恰好重合于一点 O，AO ADCBCO，DA ，AC2D90，DCA30，ABCD6，在 RtACD 中， tan30 ，ADDC则 ADDCtan306 2 ，3
24、3 3DAF FAO DAO 30，12 90 DCA2 tan30 ，DFAD 33DF AD2，33DF FO2，同理 EO2，EFEOFO4.10. 已知点 P 是矩形 ABCD 边 AB 上的任意一点(与点 A，B 不重合)问题发现(1)如图 ，现将 PBC 沿 PC 翻折得到PEC；再在线段 AD 上取一点 F，将PAF 沿 PF 翻折得到PGF ，并使得射线 PE、PG 重合，则 FG 与 CE 的位置关系是_；类比探究(2)在(1)中，如图 ，连接 FC，取 FC 的中点 H，连接 GH、EH，请你探索线段 GH 和线段 EH 的大小关系，并说明你的理由；拓展延伸(3)如图 ，分别在 AD、BC 上取点 F、C ，使得APFBPC ，与(1)中的操作相类似，即将PAF 沿 PF 翻折得到PGF，并将PBC沿 PC翻折得到PEC，连接 FC，取 FC的中点 H，连接GH、EH ，试问 (2)中的结论还成立吗？请说明理由第 10 题图解：(1) FGCE；(2)GHEH；理由如下：如解图，延长 GH 交 CE 于点 M，由(1)得， FGCE，GFHMCH，
