1、题型四 二次函数综合题类型一 与图形规律有关的探究问题1. 先阅读，再解决问题平面直角坐标系下，一组有规律的点：A1(0，1)、A 2(1，0)、A 3(2，1)、A 4(3，0)、A 5(4，1) 、A 6(5，0) ，注：当 n 为奇数时，A n(n1，1)，n 为偶数时 An(n1，0) 抛物线 C1 经过 A1，A 2，A 3 三点，抛物线 C2 经过 A2，A 3，A 4 三点，抛物线 C3 经过 A3，A 4，A 5 三点，抛物线 C4 经过 A4，A 5，A 6 三点，此抛物线 Cn经过 An，A n1 ，A n2 .(1)直接写出抛物线 C1，C 4 的解析式；(2)若点 E(
2、e，f 1)，F( e，f 2)分别在抛物线 C27，C 28 上，当 e29 时，求证A 28EF 是直角三角形；(3)若直线 xm 分别交 x 轴、抛物线 C2015，C 2016 于点 P、M 、N ，作直线 A2016M，A 2016N，当PA 2016M45时，求 sinPA 2016N 的值解：(1) 由顶点式求出 C1 的解析式为：y 1(x 1) 2，C 4 的解析式为：y4(x 4) 2 1；【解法提示】由题意可知抛物线 C1 过 A1，A 2，A 3 三点，抛物线 C4过 A4， A5， A6 三点，将这些点代入顶点式可求出 C1 和 C4 的解析式分别为 y1 (x1)
3、2，y 4(x 4) 21.(2)证明： 由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：y1( x1) 2，y2(x2) 21，y3( x3) 2，y4(x4) 21，抛物线 C27、C 28 的解析式为：y 27(x27) 2，y 28(x 28) 21.如解图，此时点 E(e，f 1)、F(e，f 2)分别为点 E(29，4)，F(29，0) ；而点 A28 的坐标是(27 ， 0)第 1 题解图显然A 28EF 是直角三角形；(3)由(2)中发现的规律可知，抛物线 C2015，C 2016 解析式为：y2015(x2015) 2，y 2016(x 2016) 21，顺便指出，由(2)的规律
4、发现，可以退回简单的抛物线 C3，C 4 的情况来研究，分以下两种情况，如解图，当 m2014 时，M(2014，1) 此时有PA 2014M45，N(2014，3)，相应的 sinPA 2016N 的值为 ；31010如解图，在 A(2015，0)点右侧，当 m2016 时，M (2016，1)，此时有PA 2016M45， N(2016，1) ，相应的 sinPA 2016N 的值为 .22第 1 题解图2. 已知，如图，直线 l：y xb，经过点 M(0， )，一组抛物线的13 14顶点 B1(1， y1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)， Bn(n，y n)(n 为正整数)
5、依次在直线 l 上的点，这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A 2(x2，0)，A 3(x3，0)，A n1 (xn1 ，0)，设x1d(01，13 14 14该抛物线的顶点只有 B1，B 2，若 B1 为顶点，由 B1(1， )，712则 d1 ；712 512若 B2 为顶点，由 B2(2， )，1112则 d1(2 )1 ，1112 1112综上所述，d 的值为 或 时，存在满足条件的抛物线512 11123. 如图，抛物线 C：yx 2 经过变化可得到抛物线C1： y1a 1x(xb 1)，C 1 与 x 轴的正半轴交于点 A1，且其对称轴分别交抛物线 C，C 1
6、 于点 B1，D 1，此时四边形 OB1A1D1 恰为正方形；按上述类似方法，如图，抛物线 C1：y 1a 1x(xb 1)经过变换可得到抛物线 C2：y 2a 2x(xb 2)，C 2 与 x 轴的正半轴交与点 A2，且其对称轴分别交抛物线 C1，C 2 于点 B2，D 2，此时四边形 OB2A2D2 也恰为正方形；按上述类似方法，如图，可得抛物线 C3：y 3a 3x(xb 3)与正方形 OB3A3D3.请探究以下问题：(1)填空： a1_；b 1_；(2)求出 C2 与 C3 的解析式；(3)按上述类似方法，可得到抛物线 Cn：y na n(xb n)与正方形OBnAnDn(n1)请用含
7、 n 的代数式直接表示出 Cn的解析式；当 x 取任意不为 0 的实数时，试比较 y2016 与 y2017 的函数值的大小并说明理由第 3 题图解：(1)1 ； 2；【解法提示】由抛物线 C 经过变换得到抛物线 C1，则 a11，代入C1 得： y1x(xb 1)y 10 时，x (xb 1)0，x 10 ，x 2b 1， A 1(b1，0)，由正方形 OB1A1D1 得：OA 1B 1D1b 1，B 1( ， )，B 1 在抛物b12 b12线 C 上，则 ( )2，b 1(b12) 0，b 10( 不符合题意)，b 12.b12 b12(2)由 a2a 11 得，y 2x(xb 2)，y
8、20 得，x( xb 2)0，x10，x 2b 2.A 2(b0，0)由正方形 OB2A2D2 得：OA 2B 2D2b 2，B 2( ， )，b22 b22B 2 在抛物线 C1 上，则 ( )22 ，b22 b22 b22b2(b2 6) 0，b 20(不合题意)，b 26，C 2 的解析式：y 2x( x6)x 26x ，由 a3a 21 得，y 3 x(xb 3)，y30 时，x( xb 3)0，x10，x 2b 3，A 3(b3，0)，由正方形 OB3A3D3 得：OA 3B 3D3b 3B 3( ， )，b32 b32B 3 在抛物线 C2 上，则 ( )26 ，b32 b32 b
9、32b3(b3 14) 0，b30(不合题意) ，b 314，C 3 的解析式：y 3x( x14)x 214x ；(3)C n的解析式为：y nx 2(2 n1 2)x( n 1)；由得抛物线 C2016 的解析式为：y 2016x 2(2 20161 2)xx 2(2 20172)x ，抛物线 C2017 的解析式为：y 2017x 2(2 2017 12)xx 2(2 20182) x，两抛物线的交点为(0，0)当 x0 时，y 2016y2017.类型二 与图形变换有关的探究问题4. 已知抛物线 yx 22axa 2(a 为常数， a0)，G 为该抛物线的顶点(1)如图 ，当 a2 时
10、，抛物线与 y 轴交于点 M，求GOM 的面积；(2)如图 ，将抛物线绕顶点 G 逆时针旋转 90后，所得新图象与 y轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的上方)，D 为 x 轴的正半轴上一点，以 OD 为一对角线作平行四边形 OQDE，其中 Q 点在第一象限，QE交 OD 于点 C，若 QO 平分AQC，AQ2 QC.求证：AQO EQO；(3)在(2)的条件下，若 QDOG，试求 a 的值第 4 题图解：(1) 当 a2 时，令 x0，则 ya 24，点 M(0， 4)，yx 22axa 2(xa) 2，当 a2 时，顶点 G(2，0)，OM4，OG 2，SGOM OMOG 424；1
11、2 12(2)证明： 四边形 OQDE 为平行四边形，QC CE QE，12又AQ 2QC，AQ EQ，QO 平分AQC，AQOEQO ，在AQO 和EQO 中，AQ EQ AQO EQO，QO QO )AQOEQO (SAS)；(3)由题意知 G(a，0)，OGa，QDOG，QDa，四边形 OQDE 为平行四边形，OE QD a，即 A(0，a)，由旋转知，旋转前抛物线点 A 的坐标为(2a，a) ，把(2 a，a) 代入 yx 22axa 2 得，4a 22a2aa 2a，即 a2a，解得 a1 或 0.a 为常数，a0 ，a0 不合题意，舍去，a1.5. 如图，已知二次函数 y1ax 2
12、bx 过(2 ，4) ，(4，4) 两点(1)求二次函数 y1 的解析式； (2)将 y1 沿 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位，得到抛物线 y2，直线ym (m0)交 y2 于 M、N 两点，求线段 MN 的长度(用含 m 的代数式表示)；(3)在(2)的条件下， y1、y 2 交于 A、B 两点，如果直线 ym 与 y1、y 2的图象形成的封闭曲线交于 C、D 两点(C 在左侧)，直线 ym 与y1、y 2 的图象形成的封闭曲线交于 E、F 两点 (E 在左侧)，求证：四边形 CEFD 是平行四边形第 5 题图解：(1) 将点 (2，4)， (4，4)代入 y1ax 2bx ，得，解得
13、，4a 2b 416a 4b 4) a 12b 3)y 1 x23x；12(2)将 y1 配方，得 y1 (x3) 2 ，12 92顶点坐标是(3， )92此顶点沿 x 轴翻折(3， )，再向右平移 2 个单位后的点是92(1， )92翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，翻折后抛物线解析式的二次项系数是 .12y 2 (x1) 2 ，即 y2 x2x4.12 92 12令 y2m，得 x2x4m，即 x22x 2(4m )0.12设此方程的两根为 x1， x2，则 x1x 22， x1x22(4 m)x 1，x 2 是点 M，N 的横坐标，MN|x 1x 2| （x1 x2）2 4x1x2
14、 2 ；4 8（4 m） 9 2m(3)设点 A 的纵坐标为 y0.当 y0m 时，如题图92对于直线 ym 和函数 y1 x23x，由第(2)问的方法求得 CD212.9 2m对于直线 ym 和函数 y2 x2x4，由第(2)问的方法可知12EF2 .9 2mCD EF.又 CDEF，四边形 CEFD 是平行四边形当 0my 0 时，如解图，此时直线 ym 与 y1 的右交点为 D，与y1 的左交点为 C，直线 ym 与 y2 的右交点为 F，与 y2 的左交点为 E.第 5 题解图由方程组 y m，y 12x2 3x)消去 y，得 x23xm，即 x26x 2m 0.12解此方程，得 x3
15、 .9 2m点 D 的横坐标为 xD3 .9 2m由方程组 ，消去 y，得y m，y 12x2 x 4)x2x4m，即 x22x2(4m) 0.12解此方程，得 x1 .9 2m点 C 的横坐标为 xC1 .9 2mEFx Dx C 2.9 2m 9 2m同理，x F 3 ，x E1 .9 2m 9 2mCD x Fx E 2.9 2m 9 2mCD EF.四边形 CEFD 是平行四边形综上所述，当 m0 时，所构成的四边形 CEFD 是平行四边形6. 如图，已知抛物线 L：yax 2 bx (a0)与 x 轴交于点32A(1，0)和点 B，顶点为 M，对称轴为直线 l：x1.(1)直接写出点
16、 B 的坐标及一元二次方程 ax2bx 0 的解；32(2)如图 ，设点 P 是抛物线 L 上的一个动点，将抛物线 L 平移，使它的顶点移至点 P，得到新抛物线 L，L 与直线 l 相交于点 N.设点P 的横坐标为 m.当 m5 时，PM 与 PN 有怎样的数量关系？请说明理由当 m 为大于 1 的任意实数时，中的关系式还成立吗？为什么？是否存在这样的点 P，使PMN 为等边三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 6 题图解：(1) 如解图 ，y ax 2bx (a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和32点 B，对称轴为直线 l：x1，点 A 和点 B 关于直线 l：x
17、1 对称，点 B 的坐标为(3 ，0) ，一元二次方程 ax2 bx 0 的解为 x11，32x23；(2)如解图 ，过点 P 作 PCl 于点 C，第 6 题解图y (x1) 22，12当 m5, 即 x5, y6，P(5，6)，此时 L的解析式为 y (x5) 26，点 C 的坐标是(1 ，6)12当 x1 时， y14，点 N 的坐标是(1，14)，CM6(2) 8，CN1468，CMCN，PC 垂直平分线段 MN，PMPN ；PMPN 仍然成立，由题意有点 P 的坐标为(m， m2m )12 32L的解析式为 y (xm) 2 m2m ，12 12 32点 C 的坐标是(1， m2m
18、)，12 32CM m2m 2 m2m ，12 32 12 12在 L的解析式 y (xm) 2 m2m 中，12 12 32当 x1 时， ym 22m1，点 N 的坐标是(1，m 22m1)，CN ( m22m1)( m2m ) m2m ，12 32 12 12CMCN，PC 垂直平分线段 MN，PMPN ；存在这样的点 P，使PMN 为等边三角形若 tan30，则 m2m (m1)，CNPC 12 12 33解得 m 或 m 1(不合题意，舍去)23 33点 P 的坐标为( ， )23 33 43类型三 二次函数性质的探究问题7. 已知二次函数 yax 2bx c(a0)的图象经过 A(
19、0，3) ，B(4，0)两点(1)用仅含字母 a 的式子表达这个二次函数的解析式；(2)该二次函数的对称轴不可能是( )，并对你的选择进行证明A. x 0 B. x1 C. x 2 D. x3(3)以 a 代替 (1)中二次函数 y 的解析式中的 a，得到二次函数 y的解析式二次函数 y的图象是否也经过 A，B 两点？请说明理由；当 xt(0t4)时，求| yy |的最大值(用仅含字母 a 的式子表示)解：(1) 将 A(0，3) ，B(4，0)两点坐标分别代入二次函数yax 2bxc (a0)得 ，c 316a 4b c 0)解得 ，b 4a 34c 3 )该二次函数的解析式为 yax 2(
20、4a )x3；34(2)C；【解法提示】对称轴为 x 2 2，故选 C. （4a 34）2a 38a(3)二次函数 y图象经过 A、B 两点，理由如下：yax 2 bxc，由(1)可得 yax 2(4a )x3，34将 x0 代入解析式得，y 3，故点 A(0， 3)在抛物线上；将 x4 代入解析式得，y 16a16a330，故点 B(4，0)在抛物线上；|yy|ax 2(4a )x3ax 2(4a )x334 34|2 ax28ax|2a(x 2 4x44)| |2a(x 2) 28a| ，即|yy|2a( x2) 28a| ，当 xt(0t4)时，|yy |的最大值为|8a |，故|yy|
21、的最大值为|8a|.8. 已知函数关系式是 L1：ykx 2(k2)x 2.(1)当 k 1 时，其顶点坐标为_；当 k2 时，二次函数的图象的对称轴为_(2)求证：无论 k 为何值时，函数图象与 x 轴总有交点；(3)已知二次函数 L1 的图象与 x 轴相交于点 A，B，顶点为 P.若 k0，且ABP 为等边三角形，求 k 的值；若抛物线 L2 与抛物线 L1 关于原点成中心对称，且抛物线 L2 与 x轴交于点 C，D，是否存在实数 k，使以 A，B，C，D 四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点？若存在，求出实数 k 的值；若不存在，请说明理由(1)解： ( ， )； y 轴；1
22、2 94【解法提示】当 k 1 时，y x 2x2 (x )2 ，此时顶点坐12 94标为( ， )；12 94当 k2 时， y2x 22，则抛物线的对称轴为 y 轴(2)证明： 当 k0 时，一次函数 y2x2 与 x 轴有一个交点(1， 0)；当 k0 时， b24ac (k2) 24k (2)(k2) 20，此二次函数图象与 x 轴有交点，无论 k 为何值时，函数图象与 x 轴总有交点；(3)k0，当 y0 时， kx2(k2) x20，解得 x11，x 2 ，2k设 A( ，0)，B( 1，0)，2k则顶点 P 的坐标为( ，2 k2k )，（k 2）24k当 k0 时，AB 1，如
23、解图，作 PEx 轴于点 E，2k第 8 题解图ABP 为等边三角形，PE AB，32 ( 1)，（k 2）24k 322k即(k 2) 2 2 (k2)，3解得 k1 2(舍去)，k 22 2，3k 的值为 2 2；3存在实数 k，使以 A，B ，C ，D 四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点抛物线 L2 与抛物线 L1 关于原点成中心对称，点 A 和点 B 关于原点的对称点分别为点 C、D ，C ( ，0)，D(1 ，0)，2k点 B(1 ，0)，D(1， 0)为定点，点 A( ，0) ，C ( ，0)为动点，2k 2kA，B，C，D 四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三
24、等分点，当 k0 时，当点 B、D 为线段 AC 的三等分点时，AC 3BD，即 ( )32，解得 k ；2k 2k 23当点 A、C 点为线段 BD 的三等分点时，AC BD，即 ( )13 2k 2k 2，解得 k6；13当 k0 时，同理可得 k 或 k236，综上所述，k 的值为 ，6.23类型四 与新定义有关的探究问题9. 如图，若抛物线 L1 的顶点 A 在抛物线 L2 上，抛物线 L2 的顶点B 在抛物线 L1 上(点 A 与点 B 不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L 2 互称为“伴随抛物线 ”，可见一条抛物线的 “伴随抛物线”可以有多条(1)在图 中，抛物线 L1：yx
25、24x3 与 L2：y a(x4) 23 互为“伴随抛物线” ，则点 A 的坐标为_，a 的值为_；(2)在图 中，已知抛物线 L3：y2x 28x4，它的“伴随抛物线”为 L4，若 L3 与 y 轴交于点 C，点 C 关于 L3 的对称轴对称点为 D，请求出以点 D 为顶点的 L4 的解析式；(3)若抛物线 ya 1(xm) 2n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为ya 2(xh) 2k ，请写出 a1 与 a2 的关系式，并说明理由第 9 题图解：(2，1)，1；【解法提示】(1)抛物线 L1：yx 24x3，此抛物线的顶点坐标 A(2，1)，抛物线 L2 过点A(2，1)，1a(24)
26、23，a1.(2)由 L3：y2x 28x4 化成顶点式，得 y2(x 2) 24，C (0，4)，对称轴为 x2，顶点坐标(2 ，4) ，点 C 关于对称轴 x2 的对称点 D(4，4) ，设 L4：ya( xh) 2k将顶点 D(4，4) 代入得， ya(x4) 24 再将点(2，4) 代入得，44a4，解得：a2，L3 的伴随抛物线 L4 的解析式为： y2(x4) 24；(3)a1 a2.理由如下：抛物线 L1 的顶点 A 在抛物线 L2 上，抛物线 L2 的顶点B 在抛物线 L1 上，设 A(m，k) ，B(h，n)，可以列出两个方程，nmhakkn21得：(a 1a 2)(mh)
27、20，伴随抛物线的顶点不重合，a 1a 2.10. 在平面直角坐标系中，将抛物线 L1： y x2，沿 x 轴向右平移12m(m0)个单位长度，得抛物线 L2，顶点为 P，交 L1 于点 Q.(1)直接写出抛物线 L2 的表达式(用字母 m 表示 )；(2)连接 OQ、PQ，当OQP60时，点 Q 的坐标为_；(3)若将抛物线 L1 与 L2 其中任意一条沿着 x 轴方向水平向左( 或向右)平移得到另一条，记抛物线 L1 的顶点为 O，抛物线 L2 的顶点为 P，抛物线 L1 与 L2 的交点为点 Q，连接 OQ、PQ，当OQP90时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线” 当 L1 和 L2
28、 是“共轭抛物线 ”时，求 m 的值；请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线yx 22x3 的“共轭抛物线” 第 10 题图解：(1) y (xm) 2；12【解法提示】如解图，将抛物线 L1 沿 x 轴向右平移 m(m0) 个单位长度，得到抛物线 L2，得到：y (xm) 2.12第 10 题解图(2)(2 ，6)；3【解法提示】如解图，过点 Q 作 QGx 轴于点 G，由点 Q 到 L1与 L2 的对称轴的距离相等，可得：OG PG OP m，当 x 时，12 12 m2y m2，即点 Q 的坐标为 ( m， m2)，OQP60，根据抛物18 12 18线的性质可知：OPQ 为等边三
29、角形，tanQOP tan60QGOG ，解得：18m212m 3m4 ，点 Q 坐标为 (2 ，6)3 3(3) OQP90，OQ PQ，QOG45，OGPG OP m，12 12当 x m 时， y ( m)2 m2，12 12 12 18故点 Q 的坐标为( m， m2)，12 18由QOG45，OGQ90，得：OGGQ，| m| ( m)2|，12 12 12解得：m0(不符合题意，舍去)，m4，当 m4 时，抛物线向右平移；当 m4 时，抛物线向左平移，综上所述，当 L1 和 L2 是“共轭抛物线”时， m 的值为4；如解图，y x22x3(x 1) 2 4，第 10 题解图设抛物线 yx 2 2x3 的“共轭抛物线”为：y( x1m )24，PFQ 是等腰直角三角形，PF FQ，当 x1 m 时，y m24，12 14即 Q(1 m， m24)，12 14FQ 4( m24) m2，14 14由 PFFQ 可知： m m2，解得：m2 或 m0( 不符合题意，舍12 14
