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2019江西中考数学考前专题训练:二次函数综合题(10道)

1、题型四 二次函数综合题类型一 与图形规律有关的探究问题1. 先阅读,再解决问题平面直角坐标系下,一组有规律的点:A1(0,1)、A 2(1,0)、A 3(2,1)、A 4(3,0)、A 5(4,1) 、A 6(5,0) ,注:当 n 为奇数时,A n(n1,1),n 为偶数时 An(n1,0) 抛物线 C1 经过 A1,A 2,A 3 三点,抛物线 C2 经过 A2,A 3,A 4 三点,抛物线 C3 经过 A3,A 4,A 5 三点,抛物线 C4 经过 A4,A 5,A 6 三点,此抛物线 Cn经过 An,A n1 ,A n2 .(1)直接写出抛物线 C1,C 4 的解析式;(2)若点 E(

2、e,f 1),F( e,f 2)分别在抛物线 C27,C 28 上,当 e29 时,求证A 28EF 是直角三角形;(3)若直线 xm 分别交 x 轴、抛物线 C2015,C 2016 于点 P、M 、N ,作直线 A2016M,A 2016N,当PA 2016M45时,求 sinPA 2016N 的值解:(1) 由顶点式求出 C1 的解析式为:y 1(x 1) 2,C 4 的解析式为:y4(x 4) 2 1;【解法提示】由题意可知抛物线 C1 过 A1,A 2,A 3 三点,抛物线 C4过 A4, A5, A6 三点,将这些点代入顶点式可求出 C1 和 C4 的解析式分别为 y1 (x1)

3、2,y 4(x 4) 21.(2)证明: 由特殊出发,可以发现这组抛物线解析式的特点:y1( x1) 2,y2(x2) 21,y3( x3) 2,y4(x4) 21,抛物线 C27、C 28 的解析式为:y 27(x27) 2,y 28(x 28) 21.如解图,此时点 E(e,f 1)、F(e,f 2)分别为点 E(29,4),F(29,0) ;而点 A28 的坐标是(27 , 0)第 1 题解图显然A 28EF 是直角三角形;(3)由(2)中发现的规律可知,抛物线 C2015,C 2016 解析式为:y2015(x2015) 2,y 2016(x 2016) 21,顺便指出,由(2)的规律

4、发现,可以退回简单的抛物线 C3,C 4 的情况来研究,分以下两种情况,如解图,当 m2014 时,M(2014,1) 此时有PA 2014M45,N(2014,3),相应的 sinPA 2016N 的值为 ;31010如解图,在 A(2015,0)点右侧,当 m2016 时,M (2016,1),此时有PA 2016M45, N(2016,1) ,相应的 sinPA 2016N 的值为 .22第 1 题解图2. 已知,如图,直线 l:y xb,经过点 M(0, ),一组抛物线的13 14顶点 B1(1, y1),B 2(2,y 2),B 3(3,y 3), Bn(n,y n)(n 为正整数)

5、依次在直线 l 上的点,这组抛物线与 x 轴正半轴的交点依次是:A1(x1,0),A 2(x2,0),A 3(x3,0),A n1 (xn1 ,0),设x1d(01,13 14 14该抛物线的顶点只有 B1,B 2,若 B1 为顶点,由 B1(1, ),712则 d1 ;712 512若 B2 为顶点,由 B2(2, ),1112则 d1(2 )1 ,1112 1112综上所述,d 的值为 或 时,存在满足条件的抛物线512 11123. 如图,抛物线 C:yx 2 经过变化可得到抛物线C1: y1a 1x(xb 1),C 1 与 x 轴的正半轴交于点 A1,且其对称轴分别交抛物线 C,C 1

6、 于点 B1,D 1,此时四边形 OB1A1D1 恰为正方形;按上述类似方法,如图,抛物线 C1:y 1a 1x(xb 1)经过变换可得到抛物线 C2:y 2a 2x(xb 2),C 2 与 x 轴的正半轴交与点 A2,且其对称轴分别交抛物线 C1,C 2 于点 B2,D 2,此时四边形 OB2A2D2 也恰为正方形;按上述类似方法,如图,可得抛物线 C3:y 3a 3x(xb 3)与正方形 OB3A3D3.请探究以下问题:(1)填空: a1_;b 1_;(2)求出 C2 与 C3 的解析式;(3)按上述类似方法,可得到抛物线 Cn:y na n(xb n)与正方形OBnAnDn(n1)请用含

7、 n 的代数式直接表示出 Cn的解析式;当 x 取任意不为 0 的实数时,试比较 y2016 与 y2017 的函数值的大小并说明理由第 3 题图解:(1)1 ; 2;【解法提示】由抛物线 C 经过变换得到抛物线 C1,则 a11,代入C1 得: y1x(xb 1)y 10 时,x (xb 1)0,x 10 ,x 2b 1, A 1(b1,0),由正方形 OB1A1D1 得:OA 1B 1D1b 1,B 1( , ),B 1 在抛物b12 b12线 C 上,则 ( )2,b 1(b12) 0,b 10( 不符合题意),b 12.b12 b12(2)由 a2a 11 得,y 2x(xb 2),y

8、20 得,x( xb 2)0,x10,x 2b 2.A 2(b0,0)由正方形 OB2A2D2 得:OA 2B 2D2b 2,B 2( , ),b22 b22B 2 在抛物线 C1 上,则 ( )22 ,b22 b22 b22b2(b2 6) 0,b 20(不合题意),b 26,C 2 的解析式:y 2x( x6)x 26x ,由 a3a 21 得,y 3 x(xb 3),y30 时,x( xb 3)0,x10,x 2b 3,A 3(b3,0),由正方形 OB3A3D3 得:OA 3B 3D3b 3B 3( , ),b32 b32B 3 在抛物线 C2 上,则 ( )26 ,b32 b32 b

9、32b3(b3 14) 0,b30(不合题意) ,b 314,C 3 的解析式:y 3x( x14)x 214x ;(3)C n的解析式为:y nx 2(2 n1 2)x( n 1);由得抛物线 C2016 的解析式为:y 2016x 2(2 20161 2)xx 2(2 20172)x ,抛物线 C2017 的解析式为:y 2017x 2(2 2017 12)xx 2(2 20182) x,两抛物线的交点为(0,0)当 x0 时,y 2016y2017.类型二 与图形变换有关的探究问题4. 已知抛物线 yx 22axa 2(a 为常数, a0),G 为该抛物线的顶点(1)如图 ,当 a2 时

10、,抛物线与 y 轴交于点 M,求GOM 的面积;(2)如图 ,将抛物线绕顶点 G 逆时针旋转 90后,所得新图象与 y轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的上方),D 为 x 轴的正半轴上一点,以 OD 为一对角线作平行四边形 OQDE,其中 Q 点在第一象限,QE交 OD 于点 C,若 QO 平分AQC,AQ2 QC.求证:AQO EQO;(3)在(2)的条件下,若 QDOG,试求 a 的值第 4 题图解:(1) 当 a2 时,令 x0,则 ya 24,点 M(0, 4),yx 22axa 2(xa) 2,当 a2 时,顶点 G(2,0),OM4,OG 2,SGOM OMOG 424;1

11、2 12(2)证明: 四边形 OQDE 为平行四边形,QC CE QE,12又AQ 2QC,AQ EQ,QO 平分AQC,AQOEQO ,在AQO 和EQO 中,AQ EQ AQO EQO,QO QO )AQOEQO (SAS);(3)由题意知 G(a,0),OGa,QDOG,QDa,四边形 OQDE 为平行四边形,OE QD a,即 A(0,a),由旋转知,旋转前抛物线点 A 的坐标为(2a,a) ,把(2 a,a) 代入 yx 22axa 2 得,4a 22a2aa 2a,即 a2a,解得 a1 或 0.a 为常数,a0 ,a0 不合题意,舍去,a1.5. 如图,已知二次函数 y1ax 2

12、bx 过(2 ,4) ,(4,4) 两点(1)求二次函数 y1 的解析式; (2)将 y1 沿 x 轴翻折,再向右平移 2 个单位,得到抛物线 y2,直线ym (m0)交 y2 于 M、N 两点,求线段 MN 的长度(用含 m 的代数式表示);(3)在(2)的条件下, y1、y 2 交于 A、B 两点,如果直线 ym 与 y1、y 2的图象形成的封闭曲线交于 C、D 两点(C 在左侧),直线 ym 与y1、y 2 的图象形成的封闭曲线交于 E、F 两点 (E 在左侧),求证:四边形 CEFD 是平行四边形第 5 题图解:(1) 将点 (2,4), (4,4)代入 y1ax 2bx ,得,解得

13、,4a 2b 416a 4b 4) a 12b 3)y 1 x23x;12(2)将 y1 配方,得 y1 (x3) 2 ,12 92顶点坐标是(3, )92此顶点沿 x 轴翻折(3, ),再向右平移 2 个单位后的点是92(1, )92翻折后抛物线的方向改变,但开口大小不变,翻折后抛物线解析式的二次项系数是 .12y 2 (x1) 2 ,即 y2 x2x4.12 92 12令 y2m,得 x2x4m,即 x22x 2(4m )0.12设此方程的两根为 x1, x2,则 x1x 22, x1x22(4 m)x 1,x 2 是点 M,N 的横坐标,MN|x 1x 2| (x1 x2)2 4x1x2

14、 2 ;4 8(4 m) 9 2m(3)设点 A 的纵坐标为 y0.当 y0m 时,如题图92对于直线 ym 和函数 y1 x23x,由第(2)问的方法求得 CD212.9 2m对于直线 ym 和函数 y2 x2x4,由第(2)问的方法可知12EF2 .9 2mCD EF.又 CDEF,四边形 CEFD 是平行四边形当 0my 0 时,如解图,此时直线 ym 与 y1 的右交点为 D,与y1 的左交点为 C,直线 ym 与 y2 的右交点为 F,与 y2 的左交点为 E.第 5 题解图由方程组 y m,y 12x2 3x)消去 y,得 x23xm,即 x26x 2m 0.12解此方程,得 x3

15、 .9 2m点 D 的横坐标为 xD3 .9 2m由方程组 ,消去 y,得y m,y 12x2 x 4)x2x4m,即 x22x2(4m) 0.12解此方程,得 x1 .9 2m点 C 的横坐标为 xC1 .9 2mEFx Dx C 2.9 2m 9 2m同理,x F 3 ,x E1 .9 2m 9 2mCD x Fx E 2.9 2m 9 2mCD EF.四边形 CEFD 是平行四边形综上所述,当 m0 时,所构成的四边形 CEFD 是平行四边形6. 如图,已知抛物线 L:yax 2 bx (a0)与 x 轴交于点32A(1,0)和点 B,顶点为 M,对称轴为直线 l:x1.(1)直接写出点

16、 B 的坐标及一元二次方程 ax2bx 0 的解;32(2)如图 ,设点 P 是抛物线 L 上的一个动点,将抛物线 L 平移,使它的顶点移至点 P,得到新抛物线 L,L 与直线 l 相交于点 N.设点P 的横坐标为 m.当 m5 时,PM 与 PN 有怎样的数量关系?请说明理由当 m 为大于 1 的任意实数时,中的关系式还成立吗?为什么?是否存在这样的点 P,使PMN 为等边三角形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由第 6 题图解:(1) 如解图 ,y ax 2bx (a0)与 x 轴交于点 A(1,0)和32点 B,对称轴为直线 l:x1,点 A 和点 B 关于直线 l:x

17、1 对称,点 B 的坐标为(3 ,0) ,一元二次方程 ax2 bx 0 的解为 x11,32x23;(2)如解图 ,过点 P 作 PCl 于点 C,第 6 题解图y (x1) 22,12当 m5, 即 x5, y6,P(5,6),此时 L的解析式为 y (x5) 26,点 C 的坐标是(1 ,6)12当 x1 时, y14,点 N 的坐标是(1,14),CM6(2) 8,CN1468,CMCN,PC 垂直平分线段 MN,PMPN ;PMPN 仍然成立,由题意有点 P 的坐标为(m, m2m )12 32L的解析式为 y (xm) 2 m2m ,12 12 32点 C 的坐标是(1, m2m

18、),12 32CM m2m 2 m2m ,12 32 12 12在 L的解析式 y (xm) 2 m2m 中,12 12 32当 x1 时, ym 22m1,点 N 的坐标是(1,m 22m1),CN ( m22m1)( m2m ) m2m ,12 32 12 12CMCN,PC 垂直平分线段 MN,PMPN ;存在这样的点 P,使PMN 为等边三角形若 tan30,则 m2m (m1),CNPC 12 12 33解得 m 或 m 1(不合题意,舍去)23 33点 P 的坐标为( , )23 33 43类型三 二次函数性质的探究问题7. 已知二次函数 yax 2bx c(a0)的图象经过 A(

19、0,3) ,B(4,0)两点(1)用仅含字母 a 的式子表达这个二次函数的解析式;(2)该二次函数的对称轴不可能是( ),并对你的选择进行证明A. x 0 B. x1 C. x 2 D. x3(3)以 a 代替 (1)中二次函数 y 的解析式中的 a,得到二次函数 y的解析式二次函数 y的图象是否也经过 A,B 两点?请说明理由;当 xt(0t4)时,求| yy |的最大值(用仅含字母 a 的式子表示)解:(1) 将 A(0,3) ,B(4,0)两点坐标分别代入二次函数yax 2bxc (a0)得 ,c 316a 4b c 0)解得 ,b 4a 34c 3 )该二次函数的解析式为 yax 2(

20、4a )x3;34(2)C;【解法提示】对称轴为 x 2 2,故选 C. (4a 34)2a 38a(3)二次函数 y图象经过 A、B 两点,理由如下:yax 2 bxc,由(1)可得 yax 2(4a )x3,34将 x0 代入解析式得,y 3,故点 A(0, 3)在抛物线上;将 x4 代入解析式得,y 16a16a330,故点 B(4,0)在抛物线上;|yy|ax 2(4a )x3ax 2(4a )x334 34|2 ax28ax|2a(x 2 4x44)| |2a(x 2) 28a| ,即|yy|2a( x2) 28a| ,当 xt(0t4)时,|yy |的最大值为|8a |,故|yy|

21、的最大值为|8a|.8. 已知函数关系式是 L1:ykx 2(k2)x 2.(1)当 k 1 时,其顶点坐标为_;当 k2 时,二次函数的图象的对称轴为_(2)求证:无论 k 为何值时,函数图象与 x 轴总有交点;(3)已知二次函数 L1 的图象与 x 轴相交于点 A,B,顶点为 P.若 k0,且ABP 为等边三角形,求 k 的值;若抛物线 L2 与抛物线 L1 关于原点成中心对称,且抛物线 L2 与 x轴交于点 C,D,是否存在实数 k,使以 A,B,C,D 四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点?若存在,求出实数 k 的值;若不存在,请说明理由(1)解: ( , ); y 轴;1

22、2 94【解法提示】当 k 1 时,y x 2x2 (x )2 ,此时顶点坐12 94标为( , );12 94当 k2 时, y2x 22,则抛物线的对称轴为 y 轴(2)证明: 当 k0 时,一次函数 y2x2 与 x 轴有一个交点(1, 0);当 k0 时, b24ac (k2) 24k (2)(k2) 20,此二次函数图象与 x 轴有交点,无论 k 为何值时,函数图象与 x 轴总有交点;(3)k0,当 y0 时, kx2(k2) x20,解得 x11,x 2 ,2k设 A( ,0),B( 1,0),2k则顶点 P 的坐标为( ,2 k2k ),(k 2)24k当 k0 时,AB 1,如

23、解图,作 PEx 轴于点 E,2k第 8 题解图ABP 为等边三角形,PE AB,32 ( 1),(k 2)24k 322k即(k 2) 2 2 (k2),3解得 k1 2(舍去),k 22 2,3k 的值为 2 2;3存在实数 k,使以 A,B ,C ,D 四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点抛物线 L2 与抛物线 L1 关于原点成中心对称,点 A 和点 B 关于原点的对称点分别为点 C、D ,C ( ,0),D(1 ,0),2k点 B(1 ,0),D(1, 0)为定点,点 A( ,0) ,C ( ,0)为动点,2k 2kA,B,C,D 四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三

24、等分点,当 k0 时,当点 B、D 为线段 AC 的三等分点时,AC 3BD,即 ( )32,解得 k ;2k 2k 23当点 A、C 点为线段 BD 的三等分点时,AC BD,即 ( )13 2k 2k 2,解得 k6;13当 k0 时,同理可得 k 或 k236,综上所述,k 的值为 ,6.23类型四 与新定义有关的探究问题9. 如图,若抛物线 L1 的顶点 A 在抛物线 L2 上,抛物线 L2 的顶点B 在抛物线 L1 上(点 A 与点 B 不重合),我们把这样的两条抛物线L1、L 2 互称为“伴随抛物线 ”,可见一条抛物线的 “伴随抛物线”可以有多条(1)在图 中,抛物线 L1:yx

25、24x3 与 L2:y a(x4) 23 互为“伴随抛物线” ,则点 A 的坐标为_,a 的值为_;(2)在图 中,已知抛物线 L3:y2x 28x4,它的“伴随抛物线”为 L4,若 L3 与 y 轴交于点 C,点 C 关于 L3 的对称轴对称点为 D,请求出以点 D 为顶点的 L4 的解析式;(3)若抛物线 ya 1(xm) 2n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为ya 2(xh) 2k ,请写出 a1 与 a2 的关系式,并说明理由第 9 题图解:(2,1),1;【解法提示】(1)抛物线 L1:yx 24x3,此抛物线的顶点坐标 A(2,1),抛物线 L2 过点A(2,1),1a(24)

26、23,a1.(2)由 L3:y2x 28x4 化成顶点式,得 y2(x 2) 24,C (0,4),对称轴为 x2,顶点坐标(2 ,4) ,点 C 关于对称轴 x2 的对称点 D(4,4) ,设 L4:ya( xh) 2k将顶点 D(4,4) 代入得, ya(x4) 24 再将点(2,4) 代入得,44a4,解得:a2,L3 的伴随抛物线 L4 的解析式为: y2(x4) 24;(3)a1 a2.理由如下:抛物线 L1 的顶点 A 在抛物线 L2 上,抛物线 L2 的顶点B 在抛物线 L1 上,设 A(m,k) ,B(h,n),可以列出两个方程,nmhakkn21得:(a 1a 2)(mh)

27、20,伴随抛物线的顶点不重合,a 1a 2.10. 在平面直角坐标系中,将抛物线 L1: y x2,沿 x 轴向右平移12m(m0)个单位长度,得抛物线 L2,顶点为 P,交 L1 于点 Q.(1)直接写出抛物线 L2 的表达式(用字母 m 表示 );(2)连接 OQ、PQ,当OQP60时,点 Q 的坐标为_;(3)若将抛物线 L1 与 L2 其中任意一条沿着 x 轴方向水平向左( 或向右)平移得到另一条,记抛物线 L1 的顶点为 O,抛物线 L2 的顶点为 P,抛物线 L1 与 L2 的交点为点 Q,连接 OQ、PQ,当OQP90时,我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线” 当 L1 和 L2

28、 是“共轭抛物线 ”时,求 m 的值;请你根据上述“共轭抛物线”的概念,求出抛物线yx 22x3 的“共轭抛物线” 第 10 题图解:(1) y (xm) 2;12【解法提示】如解图,将抛物线 L1 沿 x 轴向右平移 m(m0) 个单位长度,得到抛物线 L2,得到:y (xm) 2.12第 10 题解图(2)(2 ,6);3【解法提示】如解图,过点 Q 作 QGx 轴于点 G,由点 Q 到 L1与 L2 的对称轴的距离相等,可得:OG PG OP m,当 x 时,12 12 m2y m2,即点 Q 的坐标为 ( m, m2),OQP60,根据抛物18 12 18线的性质可知:OPQ 为等边三

29、角形,tanQOP tan60QGOG ,解得:18m212m 3m4 ,点 Q 坐标为 (2 ,6)3 3(3) OQP90,OQ PQ,QOG45,OGPG OP m,12 12当 x m 时, y ( m)2 m2,12 12 12 18故点 Q 的坐标为( m, m2),12 18由QOG45,OGQ90,得:OGGQ,| m| ( m)2|,12 12 12解得:m0(不符合题意,舍去),m4,当 m4 时,抛物线向右平移;当 m4 时,抛物线向左平移,综上所述,当 L1 和 L2 是“共轭抛物线”时, m 的值为4;如解图,y x22x3(x 1) 2 4,第 10 题解图设抛物线 yx 2 2x3 的“共轭抛物线”为:y( x1m )24,PFQ 是等腰直角三角形,PF FQ,当 x1 m 时,y m24,12 14即 Q(1 m, m24),12 14FQ 4( m24) m2,14 14由 PFFQ 可知: m m2,解得:m2 或 m0( 不符合题意,舍12 14