1、 几何图形动态问题 类型一 动点问题1.如图，正方形 ABCD 中，动点 P 在边 BC 上移动（不与端点 B、C 重合） ，作点 B 关于直线 AP 的对称点 E，连接 PE，DE，延长 DE 交直线 AP 于点F.（1）若PAB=15，AB=4，求 DE 的长；（2）连接 BF，动点 P 在移动的过程中，APB-CBF 的值是否为定值？若为定值求出其值；若非定值，请说明理由.第 1 题图解：（1）四边形 ABCD 是正方形，AB=AD，BAD =90，点 B 和点 E 关于直线 AP 对称，AB=AE，PAB=PAE=15，AE=AD，DAE =90- BAE=90-215=60，ADE
2、是等边三角形，DE =AD=AB=4；(2)值为定值，APB-CBF=45.理由：如解图，设 DF 与 BC 交于点 K，第 1 题解图点 B 和点 E 关于直线 AP 对称，AB=AE=AD,ABP=ADC=AEP=90，PBF=PEF，AED= ADE，PEF+AED=90，ADF+CDF =90，PEF=CDF=CBF，CKD= BKF，BFK=C=90，APB-CBF=PFB= BFE=45.212.在ABC 中，ABC=90，AB =BC，点 P 是 AC 上的一个点（点 P 与A，C 不重合） ，连接 BP，分别过点 B，C 作 BP，AC 的垂线 BQ，CQ，两垂线交于点 Q，连
3、接 QP，交 BC 于点 E.（1）求证：CPB CEQ；（2）若 AB=2 ，在点 P 的运动过程中，是否存在一点 P 使得2CE= BC？若存在，请求出ABP 的面积；如不存在，请说明理由.83第 2 题图（1）证明：在ABC 中，ABC =90， AB=BC，A =ACB=45，CQ AC，QCB=A=45，又BQ BP，PCQ +PBQ =180，P、 C、Q、B 四点共圆，CQP=PBC（同弧所对的圆周角相等） ，CPBCEQ；（2）解：存在，由 CE= BC= AB= ，83423由勾股定理可得，AC= =4，2BCAABP=ABC-PBC=90-PBC，CBQ=PBQ -PBC=
4、90-PBC，ABP= CBQ，又A =ACB=BCQ=45，AB=BC，ABPCBQ，AP=CQ ，设 AP=CQ=x，则 PC=4-x，由（1）得CPB CEQ， ，即 ，CQBEPx243可得 ，解得 =3 或 1，02x如解图，过点 P 作 PDAB 于 D，易得APDACB， ，即 ,ACBD APACB24当 AP=3 时，可得 ，23P此时ABP 的面积为 = =3，DB123当 AP=1 时，可得 ，2P此时ABP 的面积为 = =1，AB12ABP 的面积为 3 或 1.第 2 题解图3.如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的动点，且CE=BF，
5、连接 DE，过点 E 作 EGDE，使 EG=DE，连接 FG，FC .发现（1）请判断：FG 与 CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；探究（2）如图，当点 E，F 分别在 CB，BA 的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；延伸（3）如图，若当点 E，F 分别在 BC，AB 延长线上时，正方形 ABCD 的边长为 10，GE=5 ，其他条件不变，请直接写出四边形 BEGF 的面积.5图 图 图第 3 题图解：（1）FG=CE，FGCE；【解法提示】如解图，设 DE 与 CF 交于点 M.第 3 题解图四边形 ABCD 是正方形，BC=CD ，ABC= DCE=90
6、，在CBF 和DCE 中，CDBEFCBFDCE（SAS ） ，BCF=CDE，CF=DE，BCF+DCM=DCE=90，CDE+DCM=90，CMD=90，CFDE，GE DE，EG CF，EG =DE,CF=DE，EG =CF，四边形 EGFC 是平行四边形，FG =CE，FG CE.（2）结论仍然成立.理由如下：如解图，设 DE 与 CF 交于点 M.第 3 题解图四边形 ABCD 是正方形，BC=CD ，ABC= DCE=90，在CBF 和DCE 中，CDBEFCBFDCE（SAS） ，BCF=CDE，CF=DE，BCF+DCM=DCE=90，CDE+DCM=90，CMD=90，CFD
7、E，GE DE，EG CF，EG =DE,CF=DE，EG =CF，四边形 EGFC 是平行四边形，FG =CE，FG CE；（3）S 四边形 BEGF=50.【解法提示】同（1）可得CBFDCE ，四边形 EGFC 是平行四边形，BF=CE，FG CE， FG=CE，CF=EG =5 ，5在 RtBCF 中， ，2BCFCE=BF=FG=5，S 四边形 BEGF=SBCF +S EGFC= 105+55=50.21类型二 平移问题4.两个三角板 ABC，DEF 按如图所示的位置摆放，点 B 与点 D 重合，边AB 与边 DE 在同一条直线上 (假设图形中所有的点，线都在同一平面内)其中，CD
8、EF90，ABCF 30，ACDE6 cm.现固定三角板 DEF，将三角板 ABC沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动设三角板平移的距离为 x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为 y(cm2)(1)当点 C 落在边 EF 上时，求三角板平移的距离；(2)设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N.直接写出在三角板平移过程中，点 M 与点 N 之间距离的最小值第 4 题图解：如解图，作 CGAB 于点 G，CHFE 于点 H，第 4 题解图在 RtABC 中，由 AC6，ABC30，得 BC 6 cm.30tanAC3在 RtBCG 中，BGBCcos309 c
9、m.四边形 CGEH 是矩形，CH GEBGBE9615 cm ，即三角板平移的距离为 15 cm；（2）如解图所示，作 NJDE 于点 J，第 4 题解图点 M 在 NJ 上时，MN 最短，NJ 是 DEF 的中位线， NJ EF3 ，12 3MB CB3 ，B30，12 3MJ MB ，12 3 32则 MNminNJMJ3 .33 32 3 325.如图，在 RtABC 和 RtDEF 中，BAC=EDF=90，AB=AC，DE=DF，点 D 在射线 AB 上，AB=2DF =6.连接 EA，EC，交射线AB 于点 H，取 CE 的中点 G，连接 DG.（1）当点 F 与点 A 重合时，
10、求 DH 的长；（2）如图，保持ABC 固定不动，将 DEF 沿射线 AB 平移 m 个单位，判断 DG 与 EA 的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）如图，继续平移DEF，使得DEF 的一个顶点恰好在直线 BC上，求此时 HG 的长.图 图 图第 5 题图解：（）EDA = CAB=90，DE AC， DHE AHC ， ,21ABDFCEHDH AD =1；3（）DGEA，DG E21理由：由（）知，EDHCAH， ,21ACDHE点 是 EC 的中点，EH HG HCHG，HGHCEHEH， ，21EHGADDHGAHE，DHGAHE，HDGHAE， ，21AHDEGDGEA，DG
11、EA； 21（）当点 D 在直线 BC 上时，此时点 D 和点 B 重合，如解图 ， ，AB ，21ACBEHBH ，BE ，在 RtBHE 中，由勾股定理得 = ，2BHE13 ，21AEDGHHG EH ；3当点 F 在直线 BC 上时，如解图，此时点 F 与点 B 重合，此时 BE DE ，22HG EH .13综上所述，HG 的长为 或 213图 图第 5 题解图类型三 折叠问题6.如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形 ABCD，其中BAC45，ACD 30，点 E 为 CD 边上的中点，连接 AE，将ADE 沿 AE 所在直线翻折得到ADE，DE 交 AC 于 F 点，若 AB
12、6 cm.2(1)试在线段 AC 上确定一点 P，使得 DPEP 的值最小，并求出这个最小值；(2)求点 D到 BC 的距离第 6 题图解：(1)在 RtADC 中，ACD30，ADC60，E 为 CD 边上的中点，DE AE，ADE 为等边三角形，将ADE 沿 AE 所在直线翻折得到AD E，AD E 为等边三角形， EAD 60 ，EACDAC EAD30，EFA90，即 AC 所在的直线垂直平分线段 ED，点 E、D 关于直线 AC 对称，如解图，连接 DD交 AC 于点 P，连接 EP，第 6 题解图此时 DPEP 的值最小，且 DPEPDD，ADE 是等边三角形，AD4 cm，3DD
13、2 AD12 cm，32即 DPEP 的最小值为 12 cm；(3)点 D到 BC 边的距离为(3 ) cm.2 6【解法提示】连接 CD,BD,过点 D作 DG BC 于点 G，AC 垂直平分线 ED，AE=AD，CE=CD,AE=EC,AD=CD= ,34ABD CBD （SSS） ，DBG=45，DG=GB，设 DG 长为 x cm，则 CG 长为 cm，x26在 RtGDC 中，222346x解得 x1= ，x 2= （舍去） ，6点 D到 BC 边的距离为（ ） cm.237.两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中A=60 ，AC=1，固定ABC 不动，将DEF
14、进行如下操作： 如图，DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动） ，连接DC、 CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断变化，但它的面积不变化 .(1)请求出其面积； (2)如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由； (3)如图，DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转DEF ，使 DF 落在 AB 的边上，此 时 F 点恰好与 B 点重合，连接AE，求 sin 的值.第 7 题图解：（1）如解图，DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动） ， CF=AD ，AC=DF ， 四
15、边形 ACFD 为平行四边形， AD CF， S DCF =SBCF =SACD ， S 四边形 CDBF=SCDB +SBCF =SCDB +SACD =SACB ， 在 RtACB 中，A =60，BC= AC= ，3S ABC = 1 = ， 1232S 四边形 CDBF= ； (2)四边形 CDBF 为菱形理由如下：如解图，点 D 为斜边 AB 的中点， DC =DA=DB，CFAD，CF=AD， CF=BD ，CFDB ， 四边形 CDBF 为平行四边形， 而 DC=DB， 四边形 CDBF 为菱形； 第 7 题解图（3）作 DHAE 于 H，如解图， 在 RtACB 中，A =60
16、，AB=2AC=2， 点 D 为 AB 的中点， AD =BD= AB=1， 12绕 D 点按顺时针方向旋转DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合， EFD=90 ，EB = ，DE =AB=2，3在 RtABE 中，22()7AEB ,EADH1 ，327在 RtEDH 中，sin = .214HDE8. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连接 BE，将ABE 沿 BE 折叠得到FBE，且点 F 落在矩形 ABCD 的内部，连接AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设 n.AED(1)求证：AE GE；(2)当点
17、F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示 的值；ABD(3)若 AD4AB ，且以点 F，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值第 8 题图(1)证明：由折叠性质得 AEFE ，EAFEFA.GF AF，EAFFGAEFAEFG90，FGA EFG ，EG EF，AEGE；(2)解：如解图，当点 F 落在 AC 上时，设 AEa，则 ADna，第 8 题解图由折叠的性质得 BEAF ，ABEBAC90 ，DACBAC90 ，ABEDAC.又BAED90，ABEDAC， .CAEBABDC，AB 2ADAE naana 2，AB0， AB a.n ；anABD(3)解：设 AE=
18、a，若 AD4AB ，则 AB a，4n如解图，当点 F 落在线段 BC 上时，EF AEABa.第 8 题解图此时 aa，n4，当点 F 落在矩形内部时，n4.点 F 落在矩形的内部，点 G 在 AD 上，FCGBCD，FCG90.若CFG90，则点 F 落在 AC 上，由(2)得 ，即 ，ABDnAB4nn16.如解图，若CGF90，则CGD AGF 90.第 8 题解图FAG AGF 90 ，CGDFAG ABE.BAED90，ABEDGC， .CAEGBDGADAEEGna2a(n2)a，ABDCDGAE，即( a)2(n2)aa，4解得 n184 ，n 284 4(不合题意，舍去)2
19、 2综上，当 n16 或 n84 时，以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角2三角形类型四 旋转问题9. 在ABC 中，ABAC，A60，点 D 是线段 BC 的中点，EDF120 ，DE 与线段 AB 相交于点 E，DF 与线段 AC(或 AC 的延长线)相交于点 F.(1)如图，若 DFAC，垂足为 F，AB 4，求 BE 的长；(2)如图，将(1)中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点 F.求证：BECF AB.12图 图第 9 题图(1)解：AB AC ，A60，ABC 是等边三角形，BCAB4，B C60.D 为 BC 的中点，BD BC2，12D
20、F AC，FDC30.EDF 120，BDE 180120 3030，DEB 90.BE BD1；12(2)证明：如解图，作 DMAB 于点 M，DNAC 于点 N，第 9 题解图由(1)知BC60，BDDC，ABBC .BM BD，CN DC，12 12BMCN BD DC (BDDC) BC AB.12 12 12 12 12B C60，BMDDNC90，BDDC，BDM CDN(AAS)，DMDN，BDMCDN30，MDNEDF 120，MDE NDF.又DMEDNF，DME DNF(ASA)，MENF ，BECFBM MECFBMNFCFBMCN AB.1210.如图，正方形 ABCD
21、 的边长为 ，点 E 为边 AB 上一动点，连接 CE并将其绕点 C 顺时针旋转 90得到 CF，连接 DF，以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与 AD，AC 分别交于点 H、M，GF 交 CD 延长线于点N（）证明：点 A、D、F 在同一条直线上；（）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.第 10 题图（）证明：由旋转得FCEBCD90 ，CFCE，FCDBCE，在CDF 与CBE 中，CBDEFCDFCBE（SAS ） ，CDFB90，ADF CDF CDA180，点 A 、D 、F 在同一条直线上；（2）解：设 BE x ，则 A
22、Ex，BCECEB90，BECAEH90，BCEAEH，又B EAH 90 ，CBEEAH， ，AHEC ，解得 AHxx ，x1DHAH（x ） ，2143当 x 时，DH 有最小值，最小值为 .2111. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点(点2P 与 A、C 不重合)连接 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连接QP， QP 与 BC 交于点 E，QP 的延长线与 AD(或 AD 的延长线)交于点 F.(1)连接 CQ，求证：CQAP；(2)设 AP x，CEy，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x 为何值时，CE BC；38
23、(3)猜想 PF 与 EQ 的数量关系，并证明你的结论第 11 题图(1)证明：由题意知 BPBQ，PBQ 90 ，在正方形 ABCD 中，ABCB，ABC90，ABCPBQ，ABCPBCPBQ PBC ，即ABPCBQ，在ABP 和CBQ 中，BQPCAABPCBQ(SAS)，CQ AP；(2)解：在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，BAPPCE45 ，由旋转可知PBQ 为等腰直角三角形，BPQ PQB 45 ，在ABP 中，BPC BAP ABP45ABP，又BPCBPQCPE45CPE，ABPCPE，又BAPPCE，BAPPCE， ，CEAPB在等腰直角ABC 中， AB2 ，2AC
24、4，又APx，CEy，CP4x， ，即 y x2 x，(0x 4)x224 2当 CE BC 时，即 CEy 2 ，38 38 2 3 24 x2 x，解得 x11，x 2 3，3 24 24 2当 x1 或 3 时，CE BC；38(3)解：猜想：PF EQ .证明：当点 F 在线段 AD 上时，如解图，在 CE 上取一点 H，使HQEQ ，则 QEHQHE，在正方形 ABCD 中，ADBC，第 11 题解图DFE QEH ，DFE QHE ，AFPCHQ，由(1)知ABPCBQ，APCQ，BAPBCQ45，FAPBAPBCQ45，在AFP 和CHQ 中，CQAPHFAFPCHQ(AAS)，PFHQ，又HQEQ，PFEQ；当点 F 在线段 AD 延长线上时，如解图 ，在 BE 上取一点 H，使HQEQ ，同理可证AFPCHQ(AAS )，得 FPHQ EQ .第 11 题解图
