1、二次函数中考压轴题（平行四边形）解析精选【例一】（2013嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（xm）2m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD作AEx轴，DEy轴（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？考点：二次函数综合题3718684专题：数形结合分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标
2、；（2）延长EA，交y轴于点F，证出AFCAED，进而证出ABFDAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=m2+m+4，将m=代入y=m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；作PQDE于点Q，则DPQBAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答解答：解：（1）当m=2时，y=（x2）2+1，把x=0代入y=（x2）2+1，得：y=2，点B的坐标为（0，2）（2）延长EA，交y轴于点F，AD=AC，AFC=AED=90，CAF=DAE，AFCAED，AF=AE，点A（m， m2+m），点B（0，m），AF=AE=|m|，BF=m（m2+m）=m2
3、，ABF=90BAF=DAE，AFB=DEA=90，ABFDAE，=，即：=，DE=4（3）点A的坐标为（m， m2+m），点D的坐标为（2m， m2+m+4），x=2m，y=m2+m+4，y=+4，所求函数的解析式为：y=x2+x+4，作PQDE于点Q，则DPQBAF，（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（ m2+m+4）（m2）=m2+m+4，把P（3m， m2+m+4）的坐标代入y=x2+x+4得：m2+m+4=（3m）2+（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），
4、点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（ m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=x2+x+4得：m+4=m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8，综上所述：m的值为8或8点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论【例二】已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；AABBOOxxyy图图(3)连接OA、AB，如图，在x轴下方的
5、抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。【例三】（2013湘潭）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx2的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形AOBCDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2
6、）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据SCEF=SABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出PACB，然后证明点P在抛物线上即可解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB与CDA中，AOBCDA（ASA）CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1）点C（3，1）在抛物线y=x2+bx2上，1=9+3b2，解得：b=抛物线的解析式为：y=x2x2（2）在RtAOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理
7、得：AB=SABC=AB2=设直线BC的解析式为y=kx+b，B（0，2），C（3，1），解得k=，b=2，y=x+2同理求得直线AC的解析式为：y=x如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（x+2）（x）=xCEF中，CE边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即：EFh=SABC，（x）（3x）=，整理得：（3x）2=3，解得x=3或x=3+（不合题意，舍去），当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分（3）存在如答图2所示，过点C作CGy轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OBOG=1过点A作APBC，且AP=BC，连接BP，
8、则四边形PACB为平行四边形过点P作PHx轴于点H，则易证PAHBCG，PH=BG=1，AH=CG=3，OH=AHOA=2，P（2，1）抛物线解析式为：y=x2x2，当x=2时，y=1，即点P在抛物线上存在符合条件的点P，点P的坐标为（2，1）点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算【例四】（2013盘锦）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线
9、与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式（不必说明平分平行四边形面积的理由）考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；（3）本问利用中心对称的性质求解平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平
10、分ODEF的面积解答：解：（1）点A（1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）在抛物线解析式y=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，C（0，3）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3设E点坐标为（x，x2+2x+3），则P（x，0），F（x，x+3），EF=yEyF=x2+2x+3（x+3）=x2+3x四边形ODEF是平行四边形，EF=OD=2，x2+3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，P点坐标为（1，0）或（2，0）（3）平行四边形是
11、中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积当P（1，0）时，点F坐标为（1，2），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（，2）设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（1，0），G（，2）坐标代入得：，解得k=b=，所求直线的解析式为：y=x+；当P（2，0）时，点F坐标为（2，1），又D（0，2），设对角线DF的中点为G，则G（1，）设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（1，0），G（1，）坐标代入得：，解得k=b=，所求直线的解析式为：y=x+综上所述，所求直线的解析式为：
12、y=x+或y=x+点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、平行四边形的性质、中心对称的性质等知识点第（3）问中，特别注意要充分利用平行四边形中心对称的性质，只要求出其对称中心的坐标，即可利用待定系数法求出所求直线的解析式【例五】（2013沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且BDA=DAC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE判断四边形OAEB的形状，并说明理由；点F是OB的
13、中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当BMF=MFO时，请直接写出线段BM的长考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）由BDA=DAC，可知BDx轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标；（3）由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形；点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度解答：解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：，解得：y=x2x+（2）当BDA=DAC时，BDx轴B（1，），当y=时，=x2x+，
14、解得：x=1或x=4，D（4，）（3）四边形OAEB是平行四边形理由如下：抛物线的对称轴是x=，BE=1=A（，0），OA=BE=又BEOA，四边形OAEB是平行四边形O（0，0），B（1，），F为OB的中点，F（，）过点F作FN直线BD于点N，则FN=，BN=1=在RtBNF中，由勾股定理得：BF=BMF=MFO，MFO=FBM+BMF，FBM=2BMF（I）当点M位于点B右侧时在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BGBN=1，在RtFNG中，由勾股定理得：FG=BG=BF，BGF=BFG又FBM=BGF+BFG=2BMF，BFG=BMF，又MGF=MGF，GFB
15、GMF，即，BM=；（II）当点M位于点B左侧时设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为RtKOB斜边上的中线，KF=OB=FB=，FKB=FBM=2BMF，又FKB=BMF+MFK，BMF=MFK，MK=KF=，BM=MK+BK=+1=综上所述，线段BM的长为或点评：本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点难点在于第（3）问，满足条件的点M可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解【例六】如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)
16、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.xyAOCB（第26题图）解析：解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyAOCB（第26题图）PNMH 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点 即为所求.设直线BC的解析式为，由题意，得解得 直线BC的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点P的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx
17、轴，点C与点N关于对称轴x=2对称，C点的坐标为，点N的坐标为 (11分)（II）当存在的点在x轴上方时，如图所示，作轴于点H，四边形是平行四边形，,RtCAO Rt,.点C的坐标为,即N点的纵坐标为，即解得点的坐标为和.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为， (13分)26（2013山西，26，14分）（本题14分）综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运
18、动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当y=0时，解得，点B在点A的右侧，点A,B的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4点C的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.设直线BD的解析式为ykxb，则.解得，k=，b=4. 直线BD的解析式为.lx轴，点M，Q的坐标分别是（m，），（m，）如图，当MQ=DC时，四边形CQM
19、D是平行四边形.（）-()=4-(-4)化简得：.解得，m1=0，（舍去）m2=4.当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.此时，四边形CQBM是平行四边形.解法一：m=4，点P是OB中点.lx轴，ly轴.BPMBOD.BM=DM.四边形CQMD是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形CQBM为平行四边形.解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则.解得，k1=，b1=-4直线BC的解析式为y=x-4又lx轴交BC于点N.x=4时，y=-2. 点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN.又四边形CQMD是平行四边形.DBCQ，3=4，又1=2，BMNCQN.BN=CN.四边形CQBM为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.第 15 页 共 15 页
