1、2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学习目标1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题知识点一两点的距离公式两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)|AB|；当AB垂直于y轴时，d(A，B)|x2x1|；当AB垂直于x轴时，d(A，B)|y2y1|；当B为原点时，d(A，B).知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x，y.1点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为ab.()2点P(x1，y1)关于点M(
2、x0，y0)的对称点是P(2x0x1,2y0y1)()题型一两点间的距离公式例1(1)若A(5,6)，B(a，2)两点的距离为10，则a_.(2)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(3,2)，C(0,5)，则ABC的周长为()A4 B8C12 D16答案(1)1或11(2)C解析(1)|AB|10，a1或11.(2)A(4,1)，B(3,2)，C(0,5)，|AB|5，|BC|3，|AC|4.ABC的周长为|AB|BC|AC|53412.反思感悟两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解
3、之即可(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线跟踪训练1已知点A(3,4)，点B(2，)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)d(P，B)，并求出d(P，A)解设P(x,0)，由题意得d(P，A)，d(P，B).由d(P，A)d(P，B)，即，化简得x，故点P的坐标为，d(P，A).题型二中点公式及应用例2已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(3,4)，求另外两顶点C，D的坐标解设C点坐标为(x1，y1)，则由E为
4、AC的中点，得得设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点，得得故C点坐标为(10,6)，D点坐标为(11,1)反思感悟中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件(2)将条件转化为与中点有关的问题(3)利用中点公式求解(4)转化为题目要求的结果特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的ABC的重心坐标为.跟踪训练2(1)已知三点A(x,5)，B(2，y)，C(1,1)，且点C是线段AB的中点，求x，y的值；(2)求点M(4,3)关于点N(5，3)的对称点解(1)由题意知，解得(2)设所求点的坐标为(x，y)，则解得故所求对称点的坐
5、标为(6，9)题型三坐标法的应用例3证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(ab，c)因为|AB|2a2，|CD|2a2，|AD|2b2c2，|BC|2b2c2，|AC|2(ab)2c2，|BD|2(ba)2c2，所以|AB|2|CD|2|AD|2|BC|22(a2b2c2)，|AC|2|BD|22(a2b2c2)，所以|AB|2|CD|2|AD|2|BC|2|AC|2|BD|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和
6、反思感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论跟踪训练3证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等证明如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，一直角边CA所在直线为x轴， 建立直角坐标系，则C(0,0)设A(a,0)，B(0，b)，则斜边中点M的坐标为.因为|OM| ，|BM|，|MA|，所以|OM|BM|MA|.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等1已知A(3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于()A5
7、B5 C5 D5答案D解析d(A，B)5.2点P(2，1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为()A(1,5) B(4,9) C(5,3) D(9,4)答案B解析设点Q的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得3以A(1,5)，B(5,1)，C(9，9)为顶点的三角形是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D无法确定答案B4已知A(a,6)，B(2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则ab_.答案6解析由中点公式得2，3，a6，b0.ab6.5已知平面内平行四边形的三个顶点A(2,1)，B(1,3)，C(3，4)，求第四个顶点D的坐标解分以下三种情况(如图所示)(1)以AC为对角线构成ABC
8、D1.设D1(x1，y1)，AC的中点坐标为，其也为BD1的中点坐标，x12，y12，即D1(2,2)(2)以BC为对角线构成ACD2B，同理得D2(4,6)(3)以AB为对角线构成ACBD3，同理得D3(6,0)由以上可知，第四个顶点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0)1坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标2平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”
