1、3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标学习目标1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.知识点空间直角坐标系1.空间直角坐标系(1)建系方法：过空间任意一点O作三条两两互相垂直的轴、有相同的长度单位.(2)建系原则：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.(3)构成要素：O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面.2.空间直角坐标系中
2、点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标.特别提醒：(1)在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系.(2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式.()2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式.()3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、
3、竖坐标保持不变，横坐标相反.()题型一求空间中点的坐标例1(1)画一个正方体ABCDA1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则顶点A，C的坐标分别为_；棱C1C中点的坐标为_；正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为_.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标答案(0,0,0)，(1,1,0)(2)已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，正四棱锥的高为2
4、.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2).反思感悟(1)建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M的坐标的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分
5、别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.考点求空间中点的坐标题点求空间中点的坐标解建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为.由F作FMAD，FNCD，垂足分别为M，N，由平面几何知识知|FM|，|FN|，故F点坐标为.因为|CG|CD|，G，C均在y轴上，故G点坐标为.由H作HKCG，可得|DK|，|HK|，故H点坐标为.题型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系中作出点P(5,4,6).考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定
6、位置解方法一第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位.第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位.第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A.y轴
7、上 B.xOy平面上C.xOz平面上 D.yOz平面上考点已知坐标系中点的坐标确定位置题点已知坐标系中点的坐标确定位置答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，此点是xOz平面上的点，故选C.题型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例3(1)在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)关于点M(2，1，4)对称的点P3的坐标是()A.(0,0,0) B.(2，1，4)C.(6，3，12) D.(2,3,12)考点空间中点的对称问题题点关于点的对称问题(2)已知点A(3,1，4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A.(3，1,4) B.(3，1，4)C.(3,1,4) D.(3，1，4)
8、考点空间中点的对称问题题点关于坐标轴的对称问题答案(1)C(2)A解析(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，P3(6，3，12).故选C.(2)在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(3,1，4)，点A关于x轴对称的点的坐标是(3，1,4).故选A.反思感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题.(2)解决关于轴对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变.跟踪训练3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(2,3，4)两点关于_对称.考点空
9、间中点的对称问题题点关于坐标轴的对称问题答案y轴命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P(1,3，5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A.(1,3，5) B.(1，3,5)C.(1,3,5) D.(1，3,5)考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案C解析两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，点P(1,3，5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5).故选C.反思感悟本类题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变.跟踪训练4点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2，c)和
10、(d，2，3)，则a，b，c，d的值分别是_.考点空间中点的对称问题题点关于对称的综合问题答案2,3，3,11.点Q(0,0,2 019)的位置是()A.在x轴上 B.在y轴上C.在z轴上 D.在平面xOy上考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案C2.点(2，1,5)与点(2，1，5)()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于xOy平面对称 D.关于z轴对称考点空间中点的对称问题题点关于坐标平面的对称问题答案C3.点A(1，2)在xOz平面的射影点的坐标为()A.(1，2) B.(1,0,2)C.(1，2) D.(0，0)答案B4.如图所示，点P在x轴的正半轴上，且|OP|2，点P在x
11、Oz平面内，且PP垂直于x轴，|PP|1，则点P的坐标是_.考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标答案(2,0,1)5.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标.考点空间直角坐标系题点空间中的点的坐标解(1)显然A(0,0,0)，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|4，所以B(4,0,0).同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内，BCAB，CDAD，则点C(
12、4,3,0).同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有z坐标与点C不同，|CC1|AA1|5，则点C1(4,3,5).(2)由(1)知C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则C1C的中点坐标为，即N.1.空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标.(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标.(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.2.求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
