著名机构初中数学一次函数

1、就成为ykx（k是常数，且0k ） ，这时 y 是 x 的正比例函 数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4） 一般地，我们把函数yc（为常数）叫做常值函数它的自变量由所讨论的问题确定 【例1】（1）一次函数ykxb（0k ） ，当_时，y 是 x 的正比例函数，所以正比例函数是 一次函数的_情况 （2）已知函数 y =（a2）x+12b 是一次函数，则 a_，b_ 【答案】（1）0b ； 特殊； （2）2； 取任意实数 【例 2】若函数 (2)5ymxm 是一次函数，则m满足的条件是_. 【答案】2m. 【例 3】 下列函数 （1）yx (2)21yx (3) 1 y x (4) 1 23yx (5) 2 1yx中， 是一次函数的有（ ） A.4 个 B.3 个 （C）2 个 （D）1 个 【答案】B. 【例 4】已知 y 与 x 的关系式是(3)yaxa（其中 a 是常数） ，那么 y 是 x。

2、的解析式ykxb称为这一直线的表达式 （2）画一次函数ykxb的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线 2 2、 一次函数的截距：一次函数的截距： （1）一条直线与 y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在 y 轴上的截距，简称直线的截距， （2）一般地，直线ykxb（0k ）与 y 轴的交点坐标(0)b，直线ykxb（0k ）的截距是 b 3 3、 一次函数图像的平移：一次函数图像的平移： 一般地，一次函数ykxb（0b ）的图像可由正比例函数ykx的图像平移得到 当0b 时，向上平移个单位；当0b 时，向下平移b个单位 （函数平移口诀简记为： “上加下减，左加右减” ） 4 4、 直线位置关系：直线位置关系： （1）如果 12 bb，那么直线 1 ykxb与直线 2 ykxb平行 （2）反过来，如果直线 11 yk xb与直线 22 yk xb平行，那么 12 kk， 12 bb 5、两函数图像交点坐标、两函数图像交点坐标 【例 1】下列图象中，不可能是关于x的一次函数3ymxm。

3、直线与两轴的交点坐标为 一次函数的性质综合应用 O x yy x O . . kkk bb 的几何意义： 称斜率，起定向作用越大，直线的倾斜程度越大 （2） 的几何意义： 称截距，起定位作用 .kb（3）两直线平行，则 相等且 不相等 3 3、性质：、性质： 【例 1】函数yaxb与ybxa的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ） A B C D 【答案】C. . 知识模块：一次函数综合知识模块：一次函数综合 题型一：与一元一次方程的结合题型一：与一元一次方程的结合 ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 O x yy xO O y x O y x x y O O y x 【例 2】若直线(2)6ymx与x轴交于点60，则m的值为（ ） 。

4、可以看作直线 ykx平移b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） 图象与y轴交于点0 b，与x轴交于点0 b k ， ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 待定系数法求解析式： 选取 解出 画出 选取 【例 1】下列函数中，哪些是一次函数? （1） 2 32yx； （2）12yx ； （3）(5)(0)ym xm； （4） 1 (0)yaxa a ； （5）(0) k ykxk x ； （6）(3) (3)ykx k 【答案】（2）、（3）、（4）、（6） 【例 2】 （1）已知函数 2 (2)1ykx是一次函数，则 k 的取值范围是_； （2）当 m=_。

5、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 0k 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 2、一次函数 定义： 一般地， 形如0ykxb kbk，为常数， 的函数， 叫做一次函数.当0b 时，ykxb 即为ykx，所以正比例函数是特殊的一次函数. 图象：一次函数ykxb的图象是一条直线，我们称它为直线ykxb，它可以看作直线 ykx平移b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） 图象与y轴交于点0 b，与x轴交于点0 b k ， ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 3、若直线 1 l： 11 yk xb与 2 l： 22 yk xb平行，则 12 kk，若 12 kk，则 12。

6、直线与两轴的交点坐标为 一次函数的性质综合应用 O x yy x O . . kkk bb 的几何意义： 称斜率，起定向作用越大，直线的倾斜程度越大 （2） 的几何意义： 称截距，起定位作用 .kb（3）两直线平行，则 相等且 不相等 3 3、性质：、性质： 【例 1】函数yaxb与ybxa的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ） A B C D 知识模块：一次函数综合知识模块：一次函数综合 题型一：与一元一次方程的结合题型一：与一元一次方程的结合 ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 O x yy xO O y x O y x x y O O y x 【例 2】若直线(2)6ymx与x轴交于点60，则m的值为（ ） A.3 B.2 。

7、可以看作直线 ykx平移b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） 图象与y轴交于点0 b，与x轴交于点0 b k ， ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 待定系数法求解析式： 选取 解出 画出 选取 【例 1】下列函数中，哪些是一次函数? （1） 2 32yx； （2）12yx ； （3）(5)(0)ym xm； （4） 1 (0)yaxa a ； （5）(0) k ykxk x ； （6）(3) (3)ykx k 【例 2】 （1）已知函数 2 (2)1ykx是一次函数，则 k 的取值范围是_； （2）当 m=_时，函数 2 15 (4) m yxm 。

8、的解析式ykxb称为这一直线的表达式 （2）画一次函数ykxb的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线 2 2、 一次函数的截距：一次函数的截距： （1）一条直线与 y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在 y 轴上的截距，简称直线的截距， （2）一般地，直线ykxb（0k ）与 y 轴的交点坐标(0)b，直线ykxb（0k ）的截距是 b 3 3、 一次函数图像的平移：一次函数图像的平移： 一般地，一次函数ykxb（0b ）的图像可由正比例函数ykx的图像平移得到 当0b 时，向上平移个单位；当0b 时，向下平移b个单位 （函数平移口诀简记为： “上加下减，左加右减” ） 4 4、 直线位置关系：直线位置关系： （1）如果 12 bb，那么直线 1 ykxb与直线 2 ykxb平行 （2）反过来，如果直线 11 yk xb与直线 22 yk xb平行，那么 12 kk， 12 bb 5、两函数图像交点坐标、两函数图像交点坐标 【例 1】下列图象中，不可能是关于x的一次函数3ymxm。

9、 （3）如果三角形任何一边都不在坐标轴上，也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在坐标轴上的三 角形面积之和（或差） （4）求一次函数解析式 一次函数一般一般形式： . 求一次函数解析式的常用方法：待定系数法 求一次函数解析式的一般步骤：设-列-求-写 【例 1】已知一次函数 y=-2x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，求直线与两坐标轴围成的三角形 的面积. 【例 2】如图，已知直线 l：22yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，将问题 1 中的直线 m 向上平移 1 个单位长度得到直线 PA，点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，求四边形 PQOB 的面积。
24yx x y 1 2 Q P AO C B 【例 3】如图，已知直线 AB：2yx与直线 OA： 1 3 yx交于点 A，与直线 OB：3yx交于点 B 两点求AOB 的面积 【例 4】已知直线3yx的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，直线 l 经过原点，与线段 AB 交于 点 C，把AOB 的面积分为 2：l 两部分，求直线 l。

10、经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 0k 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 2、一次函数 定义： 一般地， 形如0ykxb kbk，为常数， 的函数， 叫做一次函数.当0b 时，ykxb 即为ykx，所以正比例函数是特殊的一次函数. 图象：一次函数ykxb的图象是一条直线，我们称它为直线ykxb，它可以看作直线 ykx平移b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） 图象与y轴交于点0b，与x轴交于点0 b k ， ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 3、若直线 1 l： 11 yk xb与 2 l： 22 yk xb平行，则 12 kk，若 12 。

11、 y 1 2 Q P AO C B 长度得到直线 PA，点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，求四边形 PQOB 的面积 【答案】由题意可得：直线 PA 的解析式为1 xy 令 22 1 xy xy ，解得： 3 4 3 1 y x ，则 3 4 3 1， P 点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点， 0 1Q， 直线 l：22yx 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C， B（1，0） ，C（0，2） 6 5 3 1 1 2 1 12 2 1 CPQCOBPQOB SSS 四边形 【例 2】如图 1，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3,0） ， （0,1） ，点 D 是线段 BC 上的动 点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线 1 2 yxm 交折线 OAB 于点 E （1）当点 E 恰为 AB 中点时，求 m 的值； （2）当点 E 在线段 OA 上，记ODE 的面积为 y，求 y 与 m 的函数关系式并。

12、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 0k 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 2、一次函数 定义： 一般地， 形如0ykxb kbk，为常数， 的函数， 叫做一次函数.当0b 时，ykxb 即为ykx，所以正比例函数是特殊的一次函数. 图象：一次函数ykxb的图象是一条直线，我们称它为直线ykxb，它可以看作直线 ykx平移b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） 图象与y轴交于点0 b，与x轴交于点0 b k ， ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 3、若直线 1 l： 11 yk xb与 2 l： 22 yk xb平行，则 12 kk，若 12 kk，则 12。

13、 别求点MN、， 使 PMN周长最小 分别将点P关于 两直线对称到 PP、，连接 P P与两直线交 点即为MN、 PMMNPNP P 两点之间，线段最短 在 直 线 12 ll、上 分别求点 MN、，使四边 形PMNQ周长最小 将PQ、分别对 称到PQ、，连 接P Q与直线的 交点即为MN、 PMMNNQP Q 两点之间，线段最短 在直线l上求两点 MN、（M在 左 ） ， 使 得 MNa， 并 使 AMMNNB最短 将A向右平移a 个单位到A，对 称A到A，连接 A B与l交点即 为N， 左平移a个 单位即为M AMMNNB aA B 两点之间，线段最短 在直线l上求点 P，使APBP 最大 将点B对称到 B，作直线AB 与l的交点即为 点P APBPAB 三角形任意两边之差 小于第三边 【例。

14、 转为可化 从图象上看 转为可化 从图象上看 【例 1】 方程2200x的解为_，自变量_x 时，函数220yx的值为 0. 直线1yx和3yx的位置关系是 ，由此可知方程组 1 3 yx yx 解的情 况为_. 方程组 1 2 yx yx 的解为_，由此可知直线 1 1yx 与 2 2yx的交点坐标为_. 在同一直角坐标系中画出中 1 y与 2 y的图象，通过观察图象，填空： 当x 时， 1 0y ，当x 时， 2 0y 当x 时， 12 yy，当x 时， 12 1yy 【答案】 10x ，10； 平行，无解； 3 2 1 2 x y ， 31 22 ，； 图象如下： 当1x时， 1 0y ；当2x 时， 2 0y ； 当 3 2 x ， 1。

15、标为 一次函数的应用 . . kkk bb 的几何意义： 称斜率，起定向作用越大，直线的倾斜程度越大 （2） 的几何意义： 称截距，起定位作用 .kb（3）两直线平行，则 相等且 不相等 3 3、性质：、性质： 【例 1】 已知一次函数ykxk， 函数值y随着x的增大而减少， 则此一次函数的图像经过 （ ） A一、二、三象限 B一、二、四象限 C一、三、四象限 D二、三、四象限 【答案】A 【例 2】如果一次函数ykxb的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么（ ） Ak0，b0 Bk0，b0）的图像 （1）用 m、n 表示 A、B、P 的坐标 （2）四边形 PQOB 的面积是 5 6 ，AB=2，求点 P 的坐标 【答案】 （1）A（-n，0） B（ 2 1 m，0） P（ 3 nm ， 3 2nm ） （2）m=2，n=1，P（ 3 1 ， 4 3 ） 知识模块知识模块：一次函数的实际应用：一次函数的实际应用尚孔教研尚孔教研 1、 学会从图象中提取信息，如点的坐标等； 2、 有的数据可直接从图象上读。

16、上看 转为可化 从图象上看 【例 1】 方程2200x的解为_，自变量_x 时，函数220yx的值为 0. 直线1yx和3yx的位置关系是 ，由此可知方程组 1 3 yx yx 解的情 况为_. 方程组 1 2 yx yx 的解为_，由此可知直线 1 1yx 与 2 2yx的交点坐标为_. 在同一直角坐标系中画出中 1 y与 2 y的图象，通过观察图象，填空： 当x 时， 1 0y ，当x 时， 2 0y 当x 时， 12 yy，当x 时， 12 1yy 【例 2】在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 以交点为界限， 直线 位于直线上方的那 部分图象 一次函数 与，求当 时取值范围 解一元一次不等式 当时，直线上的 点在轴上方 时，直线上的点 在轴下方 一次函数 求当或时 的取值范围 解一元一次不等式 或 两条直线 与的交点 求一次函数 与图象的 交点坐。

17、 别求点MN、， 使 PMN周长最小 分别将点P关于 两直线对称到 PP、，连接 P P与两直线交 点即为MN、 PMMNPNP P 两点之间，线段最短 在 直 线 12 ll、上 分别求点 MN、，使四边 形PMNQ周长最小 将PQ、分别对 称到PQ、，连 接P Q与直线的 交点即为MN、 PMMNNQP Q 两点之间，线段最短 在直线l上求两点 MN、（M在 左 ） ， 使 得 MNa， 并 使 AMMNNB最短 将A向右平移a 个单位到A，对 称A到A，连接 A B与l交点即 为N， 左平移a个 单位即为M AMMNNB aA B 两点之间，线段最短 在直线l上求点 P，使APBP 最大 将点B对称到 B，作直线AB 与l的交点即为 点P APBPAB 三角形任意两边之差 小于第三边 【例。

18、标为 一次函数的应用 . . kkk bb 的几何意义： 称斜率，起定向作用越大，直线的倾斜程度越大 （2） 的几何意义： 称截距，起定位作用 .kb（3）两直线平行，则 相等且 不相等 3 3、性质：、性质： 【例 1】 已知一次函数ykxk， 函数值y随着x的增大而减少， 则此一次函数的图像经过 （ ） A一、二、三象限 B一、二、四象限 C一、三、四象限 D二、三、四象限 【例 2】如果一次函数ykxb的图象经过第一象限，且与 y 轴负半轴相交，那么（ ） Ak0，b0 Bk0，b0）的图像 （1）用 m、n 表示 A、B、P 的坐标 （2）四边形 PQOB 的面积是 5 6 ，AB=2，求点 P 的坐标 知识模块知识模块：一次函数的实际应用：一次函数的实际应用尚孔教研尚孔教研 1、 学会从图象中提取信息，如点的坐标等； 2、 有的数据可直接从图象上读出来，有的不能直接读出来，就要通过求解析式求出来； 3、 设解析式时要注意变量名称； 4、 需要考虑自变量取值范围时必须考虑 5、 综合考虑一次函数、一元一次方程。

19、经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 0k 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 2、一次函数 定义： 一般地， 形如0ykxb kbk，为常数， 的函数， 叫做一次函数.当0b 时，ykxb 即为ykx，所以正比例函数是特殊的一次函数. 图象：一次函数ykxb的图象是一条直线，我们称它为直线ykxb，它可以看作直线 ykx平移b个单位长度而得到（当0b 时，向上平移；当0b 时，向下平移） 图象与y轴交于点0b，与x轴交于点0 b k ， ykxb 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 0k 0b 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 0b 一、三、四 0k 0b 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 0b 二、三、四 3、若直线 1 l： 11 yk xb与 2 l： 22 yk xb平行，则 12 kk，若 12 。

20、 y 1 2 Q P AO C B 长度得到直线 PA，点 Q 是直线 PA 与 y 轴的交点，求四边形 PQOB 的面积 【例 2】如图 1，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（3,0） ， （0,1） ，点 D 是线段 BC 上的动 点（与端点 B、C 不重合） ，过点 D 作直线 1 2 yxm 交折线 OAB 于点 E （1）当点 E 恰为 AB 中点时，求 m 的值； （2）当点 E 在线段 OA 上，记ODE 的面积为 y，求 y 与 m 的函数关系式并写出定义域； （3）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1，试判断 四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积； 若改变，写出重叠部分面积 S 关于 m 的函数关系式 知识模块：知识模块：特殊三角形的存在性特殊三角形的存在性 【例 3】直线ykxb与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 A 坐标为（3-，0） ，30OAB A B C D E O x y 将x轴所在的。