高斯小学奥数五年级上册含答案_第12讲_几何计数

1、第七讲 位值原理 在十进制中， 每个数都是由 09 这十个数字中的若干个组成的， 而每个数字在数中都占 一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的比如一个数由 1、2、3 三个数字组成， 我们并不能确定这个数是多少， 因为 1、 2、 3 能组成很多数， 例如 213、 321、 123、但如果说 1 在百位，2 在十位，3 在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道 这个数应该是 123 从这个例子可以看出， 一个数的大小由数位和数位上的数字共同决定， 一个数字在不同 的数位上表示不同的大小： 个位上的数字代表几个 1； 十位上的数字。

2、第九讲 几何综合问题 这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的这种问题往往需要 我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲比如 已知一个面积为 2 的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积把边长具体 数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的而且事实上也是 没必要的，我们可以把面积为 2 的正方形边长设为a，它的两倍为2a，则 2 2a ，以2a为边长的正方形面积为 2 2244 28aaa 我们再来看 几个用类似想法解决的问题 本讲知识点汇总： 一、 巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积 。

3、第十一讲 分数与循环小数 同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况比如计算13，我们会发现商在 0 和小数点之后一直出现 3，怎么也计算不完；再比如在计算37的时候，我们会发现商在 0 和小数点之后不停的出现 428571 像这样， 从某一位起， 一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数， 叫做循环小数循环小数 例 如 0.333、0.428571428571和 1.2357357357都是循环小数 通 常我 们把 0.333 简写 成0.3， 把 0.428571428571 简写 成0.428571，把 1.2357357357简写成1.2357一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数 字，叫做。

4、第八讲 水管问题 在工程问题中还有更复杂的一类问题，称为水管问题一般来说，一个水池 里既有进水管，也有排水管进水管可以看成是一个“灌水”的工程队，而每根 排水管可以看成是一个“帮倒忙”的“排水”工程队，因此水管问题就是既有人 做事情，也有人“帮倒忙”的工程问题 水管问题虽然比普通工程问题更复杂一些，但是基本解题思路还是一样，关 键在于求水管的工作效率 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 。

5、第十七讲 浓度问题 我们知道，将糖溶于水得到糖水，将盐溶于水得到盐水，将纯酒精溶于水得到酒精溶 液 通常把被溶解的物质叫做溶质溶质， 如糖、 盐、 纯酒精等； 把溶解这些溶质的液体称为溶剂溶剂， 如水；溶质和溶剂的混合液体称为溶液溶液，如糖水、盐水、酒精溶液等 一般地，有下面的关系式： 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 例如：50 克纯酒精和 150 克水混合得到 200 克酒精溶液 通常我们都有这样的体会，当我们往白水中加入更多的糖时，糖水就会越来越甜为了 表征糖水的甜度并且量化这种表征，我们引入浓度这一概念也就是浓度越。

6、第六讲 钟表问题 常见的钟表问题主要是讨论钟表上的时针、 分针和秒针之间的位置关系， 这和我们前面 学习过的环形路线问题是很像的 就像前面漫画中画的一样， 可以将三种针想象成绕着钟表 不断奔跑的三个人，时针是一位老人，他慢悠悠的，12 个小时才能在钟表上散步一圈；分 针是一位中年人，他有条不紊的，一个小时走过钟表上的一圈；而秒针就像少年们，活力无 限，每分钟都绕着钟表欢快的跑过 但同学们会发现， 这样的速度表示法并没有明确的说明三种针的速度， 所以我们考虑能 不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物。

7、第十九讲 计数综合提高上 一、 枚举法 1、简单枚举 2、分类枚举 3、特殊的枚举：标数法、树形图 二、 加法原理分类 如果完成一件事有几类方式， 在每一类方式中又有不同的方法， 那么把每类的方法 数相加就得到所有的方法数 加法原理的类与类之间会满足下列要求： (1)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； (2)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求 三、 乘法原理分步 如果完成一件事分为几个步骤， 在每一个步骤中又有不同的方法， 那么把每步的方 法数相乘就得到所有的方法数 乘法原理的步与步之间满足下列要求。

8、第二十讲 计数综合提高下 一、上楼梯模型 找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面增量分析 考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点： 1. 交点越多越好； 2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形） ； 3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线） 三、传球法 1. 传球法是树形图的简化版本； 2. 传球规则决定累加规则； （1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加； 3. 可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数。

9、第十二讲 行程问题中的比例关系 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 本讲我们主要学习比例关系在行程问题中的应用 首先学习的是匀速过程中的比例关系， 只要弄明白题中有哪些相同的量， 就能找到相应的比例关系， 比如： 当两个过程的路程相同， 速度就与时间成反比；当两个过程的时间相同，路程就与速度成正比；当两个过程的速度相 同，路程就与时间成正比 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 。

10、第四讲 对应计数 有 9 个球排成一行： 我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这 9 个球分成三堆，例如： 可以看到， 插入两块木板把 9 个球分成三堆的方法很多， 那么到底有多少种插入木 板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙， 一共有 8 个空隙 插入的两块木板要把 小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中8 个空隙选两个，共有 2 8 28C 种方法 如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？ 其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是 28这样我 们就把“。

11、第十讲 约数与倍数 在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识今天，我们来学习数论中 有关约数与倍数的知识 约数和倍数的定义是这样的： 对整数 a 和 b， 如果|a b， 我们就称 a 是 b 的约数 （因数） ， b 是 a 的倍数 根据定义， 我们很容易找到一个数的所有约数， 例如对12： 因为121 122 63 4 ， 可知 12 可以被 1、2、3、4、6、12 整除，那么它的约数有 1、2、3、4、6、12，共 6 个 从上面 12 的分拆可以看出，约数具有“成对出现成对出现 ”的特征，也就是：最大约数对应最 小约数、第二大约数对应第二小约数等所以在。

12、第九讲 流水行船问题 故事中飞机倒飞的情况真的会出现吗？学习完今天的课程，你就知道了 如同飞机在飞行的时候会受到风速的影响一样， 当船在水中航行时， 也会受到水速的影 响，而具体是怎样的影响呢，我们今天就来研究一下 当船在水中航行时，如果水是静止不动的，那船的行驶速度就只由船本身决定，这个速 度称为船的静水速度静水速度，即船本身的速度 大家可以设想一下，如果船本身停止运动，那么它还是会顺着水流前进，这时的速度等 于水流的速度，我们可以把水流的速度简称为水速水速 当船顺水而行时，船的静水速度和水速会叠加起来。

13、第三讲 递推计数 有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的一个比较有效的策 略是退而求其次： 先考虑该问题的简单情形， 看看简单情形如何处理； 在解决了简单情形后， 再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题这个由简单到复杂的推导过程就 叫“递推” 那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子 例1 老师给小高布置了 12 篇作文， 规定他每天至少写 1 篇 如果小高每天最多能写 3 篇， 那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇） 分析分析从简单情况入手，看看能否找到合。

14、第第 10 讲：讲：几何计数几何计数 内容概述内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方 格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。 典型问题典型问题 兴趣篇兴趣篇 1.如图 10-1，线段ABBCCDDE、的长度都是 3 厘米。请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度 之和是多少厘米？ 2.小明把巧克力棒摆成了。

15、第十二讲 计数综合练习 【学生注意】本讲练习满分 100 分，考试时间 70 分钟 一、填空题一、填空题（本题共有 8 小题，每题 6 分） 1. 用 0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意 两个数字的差都不是 1，这样的三位数共有_个 2. 从 1 到 30 中选出两个不同的数相加，和大于 30 的情况有_种 3. 从 1000 到 2010 中，十位数与个位数相同的数有_个 4. 在用数字 0、1 组成一个 6 位数中，至少有 4 个连续的 1 的数共有_个 5. 3 个海盗分 30 枚金币，如果每个海盗最多分 12 枚，一共有_种不同的。

16、第九讲 立体几何 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 首先，我们来学习一下长方体、正方体的体积与表面积的计算方法 图形 体积 表面积 Vabc 长方体 2Sabbcca 表面 3 Va 正方体 2 6Sa 正方体 a b c a 练一练 1 一个正方体的棱长总和是 72 厘米，它的一个面是边长_厘米的正方形，它的表 面积是_平方厘米，体积是_立方厘米 2 一个长方体的长是 5 分米，宽是 45 厘米，高是 24 厘米，它的表面积是_。

17、第十五讲 数字谜中的计数 上一讲我们讲解了一些与数论相关的计数问题， 这一讲我们来研究一下数字谜中的计数 问题，首先我们来看竖式问题 例1 如图，请在方框中填入 04 中的数字，使竖式成立小高的填法如下中图，卡莉娅的 填法如下右图，墨莫说，还有很多种填法同学们你能判断出一共有多少种不同的填法 吗？ 分析分析观察可知竖式中没有进位，个位、十位、百位上的数字和均为 4，本题难度一 般，但是同学做题时要注意准确性 练习 1、如图，方框中都是 03 中的数字，使竖式成立，一共有多少种填法？ 例2 如图， 方框中都是36中的数字， 求。

18、第十四讲 数论相关的计数 在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、 分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等计数问题是多种多样的，它经常与其他的 知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等今天让我们来研究一下结合了数论知识的 计数问题 例1 恰好能同时被 6，7，8，9 整除的四位数有多少个？ 分析分析大家还记得公倍数怎么求吗？ 练习 1、恰好能同时被 4，5，6 整除的三位数有多少个？ 例2 用 1、2、3、4、5、7 这 6 个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是 11 的倍数， 有多少种不。

19、第五讲 计数综合 从三年级开始到现在， 我们已经学了很多有关计数的讲次， 其中包括枚举法、 加乘原理、 排列组合、容斥原理等我们先来做一个简单的小结和复习 枚举法是万能的方法， 只要有足够多的时间和精力 并且往往在一些复杂棘手的题目中， 别的方法都不能适用， 此时就能体会到枚举法的“威力” 使用枚举法时一定要注意有序思考有序思考 加法原理强调的是分类分类， 计数时我们只需选择其中的某一类即可以满足要求， 类与类之 间可以相互替代 乘法原理强调的是分步分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论， 缺。

20、第十二讲 几何计数 漫画，共一格 一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。旁边文字描述：西周时期，道路和渠道 纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。 分割田地大概有 3 条横线、4 条竖线左右，可适当增减。人的耕作情况要符合西周时的 实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。 后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？ 几何计数， 同学们一看这一讲的名字就知道了， 我们学习的内容就是专门数几何图形的 个数可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画 好了， 一边。