1、第四讲 对应计数 有 9 个球排成一行： 我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这 9 个球分成三堆，例如： 可以看到， 插入两块木板把 9 个球分成三堆的方法很多， 那么到底有多少种插入木 板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙， 一共有 8 个空隙 插入的两块木板要把 小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中8 个空隙选两个，共有 2 8 28C 种方法 如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？ 其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是 28这样我 们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之
2、为“插 板法” “插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题 例1 把 20 个苹果分给 3 个小朋友， 每个小朋友至少分 1 个， 共有多少种分苹果的方法？ 如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？ 【分析】 分析分析 题目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似， 如何用 “插板法” 求解呢？ 第二问允许有的“小朋友没有分到苹果” ，还能不能用“插板法”呢？ 练习 1、龟丞相把 7 个顶级乌龟壳分给 4 只小乌龟 如果每只小乌龟至少分一 个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方 法？ 例2 某班 40 名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费
3、塑料袋”的调查，每人均在 “应该提供” 、 “不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择请问：三个选项的 统计数字共有多少种不同的可能？ 分析分析题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？ 放入红色放入黄色放入蓝色 练习 2、8 名同学做同一道单选题，它有 A、B、C、D 四个选项，每个同学都选了其中 一个选项老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有 多少种可能的统计结果？ 最早的计数方法对应法 我们这一讲学习对应的计数方法，这种计数方法有很强的技巧性，很考验思维能力也 许你觉得这种对应法不是那么容易掌握，但它其实是非常有用，而且历史悠久的人类
4、最早 使用的计数方法不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应！ 对应法最早的应用是结绳计数最早期的时候，人类还没有发明数字因而用枚举等其 他方法来记录数量的多少是不可能办到的 这时， 人们的计数方法是在绳子上打结或者在树 上刻痕用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物，采集了多少花 果这个时期持续了很长时间，因为人类的历史已经有几百万年，而数字的发明距今还不到 1万年，在人类历史上的大部分时间，使用的计数方法是对应法结绳计数 结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来宋朝 人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火” 这
5、是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在 一般不识字的人中间都还长期使用这种方法中央民族大学就收藏着一副高山族的结 绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起 有趣的是， 结绳计数不止在我们中国古代用过， 在国外也有很多结绳计数的记载 传 说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天为了让将士们不少守一天 也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣他对守桥的官兵们说： “我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了” 对应是最原始的计数方法，充分蕴含着人类的智慧 例3 在8 8 的方格棋盘中， 一共可以数出多少个如
6、下图所示的由 4 个单位小正方形组成的 “L”型？ 分析分析要把“L”型放入8 8 的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有 8 种 情形，那么是不是需要对每一个方向的“L”型分别进行计数呢？ 练习 3、 在6 6 的方格棋盘中， 一共可以数出多少个如下图所示的由 3 个单位小正方形 组成的图形？ 例4 （1）一只青蛙沿着一条直线跳跃 4 次后回到起点如果它每一次跳跃的长度都是 1 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？ （2）如果这只青蛙在一个方格边长为 1 分米的方格纸上沿格线跳跃 4 次后回到起点， 每次跳跃的长度仍是 1 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？ 分析分析 （1）
7、青蛙在直线上跳跃 4 次后要回到起点，如果一直往一个方向跳，显然是不 行的那么青蛙应该怎么跳呢？ （2）青蛙在方格表上跳跃 4 次后要回到起点，现在青蛙有哪些跳跃的方向，每个方向 上各应该跳跃多少次呢？ 练习 4、一只青蛙沿着一条直线跳跃 6 次后回到起点如果它每一次跳跃的长度都是 1 分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？ 对应法是一种很巧的计数方法，但如何建立对应关系，是其中的难点之前几道题， 对应关系的建立相对比较直接，而有些问题，则需要通过大量的分析，才能找出隐藏的对应 关系 例5 常昊与古力两人进行围棋 “棋圣” 冠军争霸赛， 谁先胜 4 局即获得比赛的胜利 请问： 比赛过程一共有
8、多少种不同的方式？ 分析分析由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种比赛最多进行 7 场，其 中常昊一定胜 4 场 如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号， 那么常昊胜的 4 场比赛 编号，就决定了整个比赛流程而常昊获胜的比赛可以是哪 4 场呢？ 例6 海淀大街上一共有 18 盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的 7 盏但为了 行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？ 分析分析你能用插板法求解这道题吗？ 最早的密码战 公元前 405 年， 雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声 斯巴达军队逐渐占据 了优势地位，准备对雅典发动最后一击这时，原来站在斯巴达
9、一边的波斯帝国突然改变态 度，停止了对斯巴达的援助，意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔 利在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划，以便采取新的战略方针正 在这时，斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使斯巴达士兵仔细搜查这 名信使， 可搜查了好大一阵， 除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外， 别无他获情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带 上，情报一定就在那些杂乱的字母之中他反复琢磨研究这些天书似的文字，把腰带上的字 母用各种方法重新排列组合，怎么也解不出来最后，莱桑德失去了信心，他一边摆弄着那 条腰带，
10、一边思考着弄到情报的其他途径当他无意中把腰带呈螺旋形缠绕在手中的剑鞘上 时，奇迹出现了原来腰带上那些杂乱无章的字母，竟组成了一段文字这便是雅典间谍送 回的一份情报，它告诉雅典，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，突然对斯巴达军 队进行袭击斯巴达军队根据这份情报马上改变了作战计划， 先以迅雷不及掩耳之势攻击毫 无防备的波斯军队，并一举将它击溃，解除了后顾之忧随后，斯巴达军队回师征伐雅典， 终于取得了战争的最后胜利 公元前 405 年， 雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声 斯巴达军队逐渐占据 了优势地位，准备对雅典发动最后一击这时，原来站在斯巴达一边的波斯帝国突然改变态 度，停止了对斯
11、巴达的援助，意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔 利在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划，以便采取新的战略方针正 在这时，斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使斯巴达士兵仔细搜查这 名信使， 可搜查了好大一阵， 除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外， 别无他获情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带 课 堂 内 外 作业 1. 一部电视连续剧共 8 集， 电视台要在周一到周四这 4 天内按顺序播完， 其中可以有若干 天不播，共有多少种安排播出的方法？ 2. 现在有 12 道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后
12、天这三天内按顺序做完，但每一天可 以做很多道题也可以一道不做共有多少种安排做题的方案？ 3. 阿呆在玩 PSP 格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆 VS 电脑） ，谁先胜三场谁就 获得胜利如果最后阿呆获胜，那么一共有多少种可能的比赛过程？（只考虑每场比赛 的胜负） 4. 在66的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的 由 5 个单位小正方形组成的“凹”字形？ 5. （1）有 8 个鸡蛋，每天至少吃 1 个，一共吃了 5 天，有多少种不同的吃法？ （2）有 8 个鸡蛋，每天至少吃 2 个，一共吃了 3 天，有多少种不同的吃法？ （注：这 8 个鸡蛋看作完全相同） 第四讲 对应计数 例题：例
13、题： 例题1. 答案：171；231 详解：第一问用课文里所说的“插板法”即可解决20 个苹果，共有 19 个空隙，分 给 3 个小朋友需要3 12 块隔板，将 2 块隔板插入 19 个空隙中的某两个中，就是从 19 个空隙中挑出两个用来插板子，方法有 2 19 171C ；第二问同样用插板法，仍然是 20 个苹果和 2 块隔板但此时隔板不一定要放在 19 个空隙中，也可以放在所有苹果 的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是 可以的因此，我们只要把 20 个苹果和 2 块隔板随意排成一行即可这20222个 对象排成一行会占 22 个位置，从这 22 个位置中
14、挑出 2 个来放隔板，剩余的 20 个位 置自然就是放苹果，因此共有 2 22 231C种不同的方法 例题2. 答案：861 详解：本题相当于把 40 个苹果放入 3 个盘子里，每个盘子都允许为空因此共有 40 个苹果和 2 块隔板方法数等于 2 42 861C 例题3. 答案：336 个 详解： 如右图所示， 每个23的长方形内都包含了 4 个不同的 “L” 型 因 此只要求出图中有几个23小长方形即可利用几何计数（五年级上 册第 9 讲）的知识不难得知，23的长方形（包括横的和竖的）共有 26784 个，所以共有“L”型844336个 例题4. 答案： （1）6； （2）36 （1） 详解
15、：青蛙要能够回到起点，必须向左跳两次，向右跳两次例如（左，左， 右，右） ， （左，右，右，左）等不难看出，只要从 4 步中挑出 2 步来向左，另 外两步自然向右，所以只要确定哪两步是向左跳，就确定了哪两步是向右跳因 此跳跃的方法数为 2 4 6C 种； （2） 详解：现在青蛙需要朝四个方向跳，我们记四个方向为 1、2、3、4（如图所 示） 如果想要跳回原地，必须保证四步之内 1 和 2 一样多，3 和 4 一样多于是 可以分为两类情形：第一类，1、2、3、4 各一个，共有 4 4 A种方法；第二类，只有 1、2 或者只有 3、4，共有 2 4 2 C种方法两者相加共 36 种 例题5. 答案
16、：70 详解：由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种，再乘以 2 即可比赛最多 进行 7 场，其中常昊一定胜 4 场，而且比赛一定是在常昊获得第 4 场胜利时结束的， 因此常昊获胜的那 4 场比赛的编号就决定了整个比赛流程 例题6. 答案： 7 12 792C 详解：本题从题面上看，是要从 18 盏灯中选出 7 盏来熄灭但实际解决的时候，需 1 2 3 4 要换一个角度：如何把灭掉的 7 盏灯，插入另外 11 盏亮着的灯之间如下图所示， 在 11 盏亮灯之间插入熄灭的灯时，每个空隙最多插 1 盏，否则灭灯就相邻了，因此 必须挑 7 个空隙，每个空隙插一盏，而可供插入的空隙有 12 个（两
17、端也可） ，因此答 案为 7 12 792C 练习：练习： 1. 答案： 3 6 20C ； 3 10 120C 简答：用插板法即可解决，具体过程略 2. 答案： 3 11 165C 简答：相当于把 8 个球放入 4 个篮子，每个篮子都可以为空 3. 答案：100 简答： 每个田字格都可以找到 4 个 “L” 型 共有5 525个田字格， 所以共425100 个“L”型 4. 答案：20 简答：6 次跳远中，一定 3 次向左，3 次向右，因此共有 3 6 20C 种不同的跳法 作业作业 1. 答案：165 简答： 4 13 8 4 111 165CC 2. 答案：91 简答： 3 12 12 3 114 91CC 3. 答案：10 简答： 3 5 10C 4. 答案：80 简答：每个23的方格内都有 2 个“凹”字形，一共有 40 个23的方格，因此共有 80 个“凹”字形 5. 答案： （1）35； （2）6 简答： （1）用插板法，8 个鸡蛋之间有 7 个“空” ，用 4 个“板”隔成 5 部分，有 4 7 35C 种方法； （2）每天预先吃掉一个鸡蛋，问题相当于是 3 天吃835个鸡蛋，每天至少 吃一个，有 2 4 6C 种吃法
