1、第十九讲 计数综合提高上 一、 枚举法 1、简单枚举 2、分类枚举 3、特殊的枚举:标数法、树形图 二、 加法原理分类 如果完成一件事有几类方式, 在每一类方式中又有不同的方法, 那么把每类的方法 数相加就得到所有的方法数 加法原理的类与类之间会满足下列要求: (1)只能选择其中的某一类,而不能几类同时选; (2)类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求 三、 乘法原理分步 如果完成一件事分为几个步骤, 在每一个步骤中又有不同的方法, 那么把每步的方 法数相乘就得到所有的方法数 乘法原理的步与步之间满足下列要求: (1)每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论; (
2、2)步骤之前有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,直到最后 四、 排列:从 m 个不同不同 的元素中取出 n 个(nm) ,并按照一定的顺序排成一列,其方法 数叫做从 m 个不同元素中取出 n 个的排列数,记作 n m A,它的计算方法如下: 五、 组合:从 m 个不同不同 元素中取出 n 个(n m )作为一组(不计顺序) ,可选择的方法数 叫做从 m 个不同元素中取出 n 个不同的组合数,记作 n m C,它的计算方法如下: (1)(1) n m Ammmn 从 m 开始递减递减地连乘 n 个数 11 12 1 n nm m n n mmmnA C Ann 注意:注意:几个常用公式: 1
3、 m Cm; 0 1 m C ; nm n mm CC ; 012 2 mm mmmm CCCC 六、 一些好用的计数技巧和方法: 1. 捆绑法:对于要求必须站在一起的人,可以采用事先捆绑的方法来处理 2. 插空法:对于不能相邻的情况,先把其他人先排好,再把不能相邻的人插入其他人 之间的空隙中 3. 有重复数字的数字排列问题,可以用“数字挑位置”的方法解决 4. 数字 0 不能作为多位数的首位,在计数时需要特别注意 5. 对挑出的对象有特殊要求的计数问题, 一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位 置,尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单 6. 当满足要求的情况很多时, 可以尝试用排除法计算
4、不满足要求的情况, 再从所有可 能的情况中排除不满足要求的,也能得到问题的答案 例1 某人射击 8 枪,命中 4 枪,命中的 4 枪中恰好有 3 枪连在一起的情况有多少种? 分析分析 首先仔细思考一下命中的 4 枪之间是否有顺序区别?然后确定其中 3 枪连在一 起的位置选择有多少种情况? 练习 1、在由 1 和 2 组成的六位数中(例如 112111、111111 等) ,恰好有 3 个 1 连在一 起的六位数有多少个? 例2 一种电子表在 6 时 24 分 30 秒的显示为 6:24:30, 那么从 6 时到 7 时这段时间里, 此表 的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个? 分析分析分钟
5、的十位和秒钟的十位可能性比较少,所以,应优先确定 练习 2、现在我们规定一种记日期的方式,把“2012 年 05 月 12 日”写作“120512” , 即只需写出后面六位数,那么在 2013 年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数 字互不相同? 例3 纳达尔和费德勒进行网球比赛,谁先得 6 分就赢得此局,最后费德勒在第一局 6:4 获 胜,已知在过程中费德勒从未落后过,那么比赛过程一共有多少种不同的可能? 分析分析大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗? 练习 3、皇马和巴萨两队进行足球比赛,最后皇马 5:3 获胜,已知在过程中皇马从未落 后过,那么进球过程一共有多少种不同的可能?
6、 例4 小王左口袋里有 10 张黑卡片,分别写着 1 到 10,右口袋里有 10 张红卡片,也分别写 着 1 到 10他从两个口袋里各取出一张卡片,然后计算两张卡片上数的乘积,如果乘 积恰好是 6 的倍数,那么共有多少种不同的取法? 分析分析两个数的乘积是 6 的倍数这两个数需要符合什么要求? 练习 4、小高有 12 个黑球,分别写着 1 到 12,还有 10 个红球,分别写着 1 到 10他 从两个种球里各取出一个,然后计算两球上数的乘积,如果乘积恰好是 10 的倍数,那 么共有多少种不同的取法? (注:此题中 6 不能倒过来当 9 用,9 也不能倒过来当 6 用) 例5 NBA 总决赛在洛
7、杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行,比赛采用 7 局 4 胜制,比赛 分为主场和客场, 第 1, 第 2, 第 6, 第 7 场均在洛杉矶进行, 第 35 场在波士顿进行 最 终湖人队在自己的主场获得总冠军,那么比赛中的胜负结果有多少种可能? 分析分析 由 7 局 4 胜制及主场获胜两个要求你可得出什么?通过分析寻找一下解决这道 题目的突破口 例6 各位数字均不大于 5,且能被 99 整除的六位数共有多少个? 分析分析99 的整除特性是什么,在这道题目中任何应用? 年龄“外号”知多少 总角:指童年 语出诗经,如诗卫风氓“总角之宴” 垂髫:指童年 古时童子未冠,头发下垂,因而以”垂髫”代指童年
8、束发:指青少年 一般指 15 岁左右,这时应该学会各种技艺 及笄:指女子 15 岁 语出礼记内则“女子十有五年而笄” “笄”,谓结发而用笄贯之,表示已到出嫁的年岁 待年:指女子成年待嫁,又称“待字” 弱冠:指男子 20 岁 语出礼记曲礼上“二十曰弱,冠”古代男子 20 岁行冠礼,表示已经 成年 而立:指 30 岁 语出论语为政“三十而立”以后称三十岁为“而立”之年 不惑:指 40 岁 语出论语为政“四十而不惑”以后用“不惑”作 40 岁的代称 艾: 指 50 岁 语出礼记曲礼上“五十曰艾”老年头发苍白如艾 花甲:指 60 岁 作业 1. 8 个同学排成一排照相,其中 4 个人要站在一起,共有多
9、少种站法? 2. 甲、乙队之间进行篮球比赛,比赛采用 7 局 4 胜制,等比到第 6 场就分出了胜负,甲赢 得了比赛,那么有多少种可能? 3. 甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起,4 个人看也不看就随便各拿了 1 本, 那么至少有一人拿错有多少种可能? 4. 小明左口袋里有 8 张红卡片,上面写着 1 到 8,右口袋里有 8 张黑卡片,上面也写着 1 到 8,如果从两个口袋里各取出一张卡片,然后计算得到卡片上两数的乘积,那么能被 6 整除的乘积共有多少个?(6 不能倒过来当 9 用) 5. 各位数字均不大于 4,且能被 99 整除的六位数共有多少个? 第十九讲 计数综合提高上 例7 答
10、案:20 详解:分情况讨论,如果第 1 到 3 枪命中,第 4 枪有 4 种方法;第 2 到 4 枪命中,最后 一枪有 3 种可能;3 到 5 命中,有 3 种;4 到 6 命中,有 3 种;5 到 7 命中,3 种;6 到 8 命中,4 种共 20 种情况 例8 答案:1260 详解:从右边数第二位和第四位上的数字可取 0 到 5,第一位和第三位上的数字可取 0 到 5 或 7 到 9乘法原理可知答案为 1260 例9 答案:42 详解:画一个的表格,则答案就是在虚线以下部分,从 A 到 B 的方法数,注意最右面一列不标数,因为有人达到 6 分比赛即结束, 标数,得到答案为 42 例10 答
11、案:35 详解:分五类讨论, (1)黑卡和红卡都是 6 的倍数,此时有 1 种取法; (2)黑卡是 6 的倍数而红卡不是 6 的倍数,此时有 9 种取法; (3)红卡是 6 的倍数而黑卡不是 6 的倍 数,此时有 9 种取法; (4)黑卡上的数字是 3 或 9,红卡上的数字是 2、4、8 或 10,此 时有 8 种取法; (5)红卡上的数字是 3 或 9,黑卡上的数字是 2、4、8 或 10,此时有 8 种取法所以共有 35 种取法 例11 答案:30 详解:湖人在主场获得胜利,则最少打了 6 场,即可分两种情况讨论: (1)打了 6 场, 则湖人在前 5 场中输了 2 场,5 选 2,有 1
12、0 种可能; (2)打了 7 场,则湖人在前 6 场中 输了 3 场,6 选 3,有 20 种可能所以共有 30 种可能 64 A B 例12 答案:575 解法: 设六位数为, 由其可被99整除且各位数字不大于5, 可知, 则且, 9540531522441432333 ,所以 a、c、e 有 23 种可 能(只有 a 不能是 0) ,b、d、f 有 25 种可能,所以共有个符合要求的六位 数 练习 1、答案:12 简答:前 3 位是 1,有 4 种;2 到 4 位是 1,有 2 种;3 到 5 位是 1,有 2 种;4 到 6 位 是 1,有 4 种所以共 12 种 练习 2、答案:30
13、简答:千位(表示月份的十位)只能是 0,十位只能是 3,其它两个数字共 30 种情况 练习 3、答案:28 简答:题目可转化为如右图由 A 到 B 点共有多少种最短的走法,且 必须沿着虚线右下方的边走由标数法可知共有 28 种可能 练习 4、答案:30 简答:黑球数为 10 时,任意红球均可,红球为 10 时,任意黑球均可,除去红 10 黑 10 重复的情况,共有 21 种取法,另一类情况是一个球提供质因数 2,另一个球提供质因 数 5,共有 4+5=9 种取法,所以,本题共有 21+9=30 种不同取法 2325575 9bdf 9ace 99abcdef abcdef A B 作业 1 答
14、案:答案:2880 简答简答:把要站在一起的 4 个人捆绑在一起,由乘法原理可知共有种站法 2 答案:答案:10 简答简答: 甲在第 6 场取得胜利, 则甲赢了第 6 场且在前 5 场中赢了 3 场, 即五选三的问题, 共有 10 种可能 3 答案:答案:23 简答简答:共有 4!种情况,减去全拿对的 1 种情况,则符合要求的情况有 23 种 4 答案:答案:21 简答:按照例 4、练 4 的方法详解即可 5 答案:答案:100 简答:设六位数为,由其可被 99 整除且各位数字不大于 4,可知, 则且, 9441432333 ,所以 a、c、e 有 10 种可能,b、d、f 也有 10 种可能,所 以共有个符合要求的六位数 10 10100 9bdf 9ace 99abcdef abcdef 54 54 2880AA