1、第十九讲 计数综合提高上 一、 枚举法 1、简单枚举 2、分类枚举 3、特殊的枚举：标数法、树形图 二、 加法原理分类 如果完成一件事有几类方式， 在每一类方式中又有不同的方法， 那么把每类的方法 数相加就得到所有的方法数 加法原理的类与类之间会满足下列要求： (1)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； (2)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求 三、 乘法原理分步 如果完成一件事分为几个步骤， 在每一个步骤中又有不同的方法， 那么把每步的方 法数相乘就得到所有的方法数 乘法原理的步与步之间满足下列要求： (1)每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； (
2、2)步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后 四、 排列：从 m 个不同不同 的元素中取出 n 个（nm） ，并按照一定的顺序排成一列，其方法 数叫做从 m 个不同元素中取出 n 个的排列数，记作 n m A，它的计算方法如下： 五、 组合：从 m 个不同不同 元素中取出 n 个（n m ）作为一组（不计顺序） ，可选择的方法数 叫做从 m 个不同元素中取出 n 个不同的组合数，记作 n m C，它的计算方法如下： (1)(1) n m Ammmn 从 m 开始递减递减地连乘 n 个数 11 12 1 n nm m n n mmmnA C Ann 注意：注意：几个常用公式： 1
3、 m Cm； 0 1 m C ； nm n mm CC ； 012 2 mm mmmm CCCC 六、 一些好用的计数技巧和方法： 1. 捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理 2. 插空法：对于不能相邻的情况，先把其他人先排好，再把不能相邻的人插入其他人 之间的空隙中 3. 有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决 4. 数字 0 不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意 5. 对挑出的对象有特殊要求的计数问题， 一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位 置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单 6. 当满足要求的情况很多时， 可以尝试用排除法计算
4、不满足要求的情况， 再从所有可 能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案 例1 某人射击 8 枪，命中 4 枪，命中的 4 枪中恰好有 3 枪连在一起的情况有多少种？ 分析分析 首先仔细思考一下命中的 4 枪之间是否有顺序区别？然后确定其中 3 枪连在一 起的位置选择有多少种情况？ 练习 1、在由 1 和 2 组成的六位数中（例如 112111、111111 等） ，恰好有 3 个 1 连在一 起的六位数有多少个？ 例2 一种电子表在 6 时 24 分 30 秒的显示为 6:24:30， 那么从 6 时到 7 时这段时间里， 此表 的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个？ 分析分析分钟
5、的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定 练习 2、现在我们规定一种记日期的方式，把“2012 年 05 月 12 日”写作“120512” ， 即只需写出后面六位数，那么在 2013 年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数 字互不相同？ 例3 纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得 6 分就赢得此局，最后费德勒在第一局 6:4 获 胜，已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？ 分析分析大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗？ 练习 3、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马 5:3 获胜，已知在过程中皇马从未落 后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？
6、 例4 小王左口袋里有 10 张黑卡片，分别写着 1 到 10，右口袋里有 10 张红卡片，也分别写 着 1 到 10他从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘 积恰好是 6 的倍数，那么共有多少种不同的取法？ 分析分析两个数的乘积是 6 的倍数这两个数需要符合什么要求？ 练习 4、小高有 12 个黑球，分别写着 1 到 12，还有 10 个红球，分别写着 1 到 10他 从两个种球里各取出一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是 10 的倍数，那 么共有多少种不同的取法？ （注：此题中 6 不能倒过来当 9 用，9 也不能倒过来当 6 用） 例5 NBA 总决赛在洛
7、杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用 7 局 4 胜制，比赛 分为主场和客场， 第 1， 第 2， 第 6， 第 7 场均在洛杉矶进行， 第 35 场在波士顿进行 最 终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？ 分析分析 由 7 局 4 胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道 题目的突破口 例6 各位数字均不大于 5，且能被 99 整除的六位数共有多少个？ 分析分析99 的整除特性是什么，在这道题目中任何应用？ 年龄“外号”知多少 总角：指童年 语出诗经，如诗卫风氓“总角之宴” 垂髫：指童年 古时童子未冠，头发下垂，因而以”垂髫”代指童年
8、束发：指青少年 一般指 15 岁左右，这时应该学会各种技艺 及笄：指女子 15 岁 语出礼记内则“女子十有五年而笄” “笄”，谓结发而用笄贯之，表示已到出嫁的年岁 待年：指女子成年待嫁，又称“待字” 弱冠：指男子 20 岁 语出礼记曲礼上“二十曰弱，冠”古代男子 20 岁行冠礼，表示已经 成年 而立：指 30 岁 语出论语为政“三十而立”以后称三十岁为“而立”之年 不惑：指 40 岁 语出论语为政“四十而不惑”以后用“不惑”作 40 岁的代称 艾： 指 50 岁 语出礼记曲礼上“五十曰艾”老年头发苍白如艾 花甲：指 60 岁 作业 1. 8 个同学排成一排照相，其中 4 个人要站在一起，共有多
9、少种站法？ 2. 甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用 7 局 4 胜制，等比到第 6 场就分出了胜负，甲赢 得了比赛，那么有多少种可能？ 3. 甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4 个人看也不看就随便各拿了 1 本， 那么至少有一人拿错有多少种可能？ 4. 小明左口袋里有 8 张红卡片，上面写着 1 到 8，右口袋里有 8 张黑卡片，上面也写着 1 到 8，如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两数的乘积，那么能被 6 整除的乘积共有多少个？（6 不能倒过来当 9 用） 5. 各位数字均不大于 4，且能被 99 整除的六位数共有多少个？ 第十九讲 计数综合提高上 例7 答
10、案：20 详解：分情况讨论，如果第 1 到 3 枪命中，第 4 枪有 4 种方法；第 2 到 4 枪命中，最后 一枪有 3 种可能；3 到 5 命中，有 3 种；4 到 6 命中，有 3 种；5 到 7 命中，3 种；6 到 8 命中，4 种共 20 种情况 例8 答案：1260 详解：从右边数第二位和第四位上的数字可取 0 到 5，第一位和第三位上的数字可取 0 到 5 或 7 到 9乘法原理可知答案为 1260 例9 答案：42 详解：画一个的表格，则答案就是在虚线以下部分，从 A 到 B 的方法数，注意最右面一列不标数，因为有人达到 6 分比赛即结束， 标数，得到答案为 42 例10 答
11、案：35 详解：分五类讨论， （1）黑卡和红卡都是 6 的倍数，此时有 1 种取法； （2）黑卡是 6 的倍数而红卡不是 6 的倍数，此时有 9 种取法； （3）红卡是 6 的倍数而黑卡不是 6 的倍 数，此时有 9 种取法； （4）黑卡上的数字是 3 或 9，红卡上的数字是 2、4、8 或 10，此 时有 8 种取法； （5）红卡上的数字是 3 或 9，黑卡上的数字是 2、4、8 或 10，此时有 8 种取法所以共有 35 种取法 例11 答案：30 详解：湖人在主场获得胜利，则最少打了 6 场，即可分两种情况讨论： （1）打了 6 场， 则湖人在前 5 场中输了 2 场，5 选 2，有 1
12、0 种可能； （2）打了 7 场，则湖人在前 6 场中 输了 3 场，6 选 3，有 20 种可能所以共有 30 种可能 64 A B 例12 答案：575 解法： 设六位数为， 由其可被99整除且各位数字不大于5， 可知， 则且， 9540531522441432333 ，所以 a、c、e 有 23 种可 能（只有 a 不能是 0） ，b、d、f 有 25 种可能，所以共有个符合要求的六位 数 练习 1、答案：12 简答：前 3 位是 1，有 4 种；2 到 4 位是 1，有 2 种；3 到 5 位是 1，有 2 种；4 到 6 位 是 1，有 4 种所以共 12 种 练习 2、答案：30
13、简答：千位（表示月份的十位）只能是 0，十位只能是 3，其它两个数字共 30 种情况 练习 3、答案：28 简答：题目可转化为如右图由 A 到 B 点共有多少种最短的走法，且 必须沿着虚线右下方的边走由标数法可知共有 28 种可能 练习 4、答案：30 简答：黑球数为 10 时，任意红球均可，红球为 10 时，任意黑球均可，除去红 10 黑 10 重复的情况，共有 21 种取法，另一类情况是一个球提供质因数 2，另一个球提供质因 数 5，共有 4+5=9 种取法，所以，本题共有 21+9=30 种不同取法 2325575 9bdf 9ace 99abcdef abcdef A B 作业 1 答
14、案：答案：2880 简答简答：把要站在一起的 4 个人捆绑在一起，由乘法原理可知共有种站法 2 答案：答案：10 简答简答： 甲在第 6 场取得胜利， 则甲赢了第 6 场且在前 5 场中赢了 3 场， 即五选三的问题， 共有 10 种可能 3 答案：答案：23 简答简答：共有 4!种情况，减去全拿对的 1 种情况，则符合要求的情况有 23 种 4 答案：答案：21 简答：按照例 4、练 4 的方法详解即可 5 答案：答案：100 简答：设六位数为，由其可被 99 整除且各位数字不大于 4，可知， 则且， 9441432333 ，所以 a、c、e 有 10 种可能，b、d、f 也有 10 种可能，所 以共有个符合要求的六位数 10 10100 9bdf 9ace 99abcdef abcdef 54 54 2880AA