高斯小学奥数六年级上册含答案第19讲 计数综合提高上

1、第二十二 分数、百分数应用题综合提高 一、 基础知识回顾： 1. 比： （1）比的概念：两个数相除叫做两个数的比比例如，56 可记作 5:6 “:”是 比号，比号前面的数叫做比的前项前项，比号后面的数叫做比的后项后项，前项除以后项所 得的商叫做比值比值比的后项不能为 0 （2）比的性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数，比值不变 2. 比例基本性质： 如果:a bc d，那么adbc 3. 正比例关系和反比例关系： （1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种 量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两。

2、第二十一讲 数字谜综合二 我们先来观察几个有趣的等式： 2222，1.531.53，1.261.26， 这些等式，等号左右两边出现的数字相同，左边是乘法，右边是加法，而所得的乘 积与和数相同也就是两个数的乘积等于这两个数的和你能再写出几个类似的等式 吗？ 如果盲目瞎写，随便找两个数，看看乘积是不是与和数一样，这是不可行的，有如 海底捞针而事实上，要写出几个类似的等式是很容易的前提是你要找到其中的规 律我们设这两个数分别为a和b，我们希望和与积相同，也就是abab 我们对这个等式进行变形： （1）abab； （2）abab； 【把含有字母a的项都。

3、第二十六讲 应用题综合 本讲知识点汇总： 与生活相关的形式多样的应用题，需要结合实际情况具体分析；条件比较隐晦，数 量关系较为复杂的应用题；具有不确定性，需要进行简单判断的应用题 具有多种可能情况，需要进行分类讨论的问题；需要进行合理安排对策，以达到最 佳效果的问题 例1 如图表格是 2013 年最新的整存整取的利率表： 李老师有 10000 元钱，他存入银行，整存两年后取出，到时本息一共有多少钱？假设李 老师存一年后， 将本息再存入， 两年后李老师有多少钱？哪种方式两年后得的钱多一些？ 分析分析=利息 本金 年利率 时间，。

4、第一讲 浓度与经济问题综合提高 本讲知识点汇总： 一、 基本公式 1 浓度问题 ； ； 2 经济问题 ； ； ； 注：浓度的范围是 0%100%，利润率可以超过 100% 二、 基本方法 1 不变量法 2 十字交叉法 例如： 200 克 20%的 A 溶液与 400 克 50%的 B 溶液混合， 可以得到 600 克 40%的溶液，此时有以下关系： 此时左边的重量比等于右边的浓度差之比，即 3 列表法 例1 要把 600 克浓度为 95%的酒精，稀释成浓度为 75%的消毒酒精，需要加入多少克蒸馏 水？ （2）要配制 180 克 20%的硫酸溶液，需要 16%和 22%的硫酸溶液各多少克？ 200:40010%:20% 2。

5、第二讲 计算综合二 到了六年级，我们对四则运算提出了新的要求，考试中出现的经常是比较复杂的分数四则混合 运算题目，因而要求有较强的计算基本功在计算的同时，综合运用以前学过的各种巧算技巧，往 往能使题目的计算过程变得简洁当然现在的巧算技巧不再像以前那么直接，而是蕴藏在计算的细 节之中 练习 1 计算： 431 1.274.19 12 2143 计算： 541 3.8512.3 13 1854 分析分析把除号变乘号，带分数化为假分数计算的时候，多留意观察，看看有没有哪些步 骤能够用到巧算 例题 1 计算： 59 1935.22 1993 0.41.6 910 527 1995 0.51995 1965.22。

6、第二十三讲 行程问题超越提高 一、 基本行程、相遇与追及： 1. 行程问题的基本公式： 2. 相遇问题： ； 3. 追及问题： ； 二、 火车问题： 1. 火车过桥： ； 2. 火车过人问题： （1） 人站立不动：过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长 （2） 人迎向火车：过人的速度为人与火车的速度之和，路程为火车的车长 （3） 人背向火车：过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长 3. 火车错车问题： （1） 快车追上并超过慢车：路程差等于两车的车长之和 （2） 两车相遇并错车：路程和等于两车的车长之和 三、 流水行船问题： ；。

7、第九讲 几何综合问题 这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的这种问题往往需要 我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲比如 已知一个面积为 2 的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积把边长具体 数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的而且事实上也是 没必要的，我们可以把面积为 2 的正方形边长设为a，它的两倍为2a，则 2 2a ，以2a为边长的正方形面积为 2 2244 28aaa 我们再来看 几个用类似想法解决的问题 本讲知识点汇总： 一、 巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积 。

8、第四讲 曲线形问题综合提高 本讲知识点汇总： 一、 基本曲线形计算 1. 圆：2 Crd ； 22 2 44 dC Sr 2. 扇形：2 360 n lr ； 2 3 6 02 nlr Sr 3. 圆柱体：VSh 底 4. 圆锥体： 1 3 VSh 底 二、 曲线形计算技巧： 1. 割补法 2. 平移、旋转 3. 重叠（容斥） 例1 （1）如图 1，有一个长是 10、宽是 6 的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多 少？（ 取 3.14） （2）如图 2，三角形 ABC 是直角三角形，AB 长 40 厘米，以 AB 为直径做半圆，阴影 部分比阴影部分的面积小 28 平方厘米求 AC 的长度 （ 取 3.14） 分析分析 （1）阴影是不规则图形。

9、第二十五讲 几何超越提高 本讲知识点汇总： 一、 常用的几何模型（请在下面的横线上写上适当的字母或数字） 1 等高三角形：等高三角形：面积比等于底的比 2 共角三角形：共角三角形： 3 沙漏沙漏模型模型： 4 梯形梯形中的比例关系：中的比例关系： 5 一般四边形中的比例关系：一般四边形中的比例关系： B C A D O 1 S 2 S 3 S 4 S 在梯形 ABCD 中，已知 ADa BCb ，则 1234 :_:_:_:_SSSS 已知 AB/CD，则有 D C O A B _:_=_:_ b a S2 S1 a b S2 S1 a b S2 S1 S1 a S2 b A B C D E A C D B E A B C D E = ADE ABC S S 6 燕尾模型燕尾模型 7 。

10、第三讲 分数计算综合提高 本讲知识点汇总： 一、 分数计算技巧 1. 凑整 2. 分组 3. 提取公因数 4. 约分（整体约分） 二、 分数与循环小数互化 1. 分数化循环小数 2. 循环小数化分数 三、 比较与估算 四、 分数裂项 五、 分数数列、数表 例1 （1） 3333 9999991 4444 ； （2） 12399 234100 ； （3） 222 111 (1) (1)(1) 2399 ； （4） 111222989899 231003410099100100 分析分析大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？ 练习 1、 111222181819 23203420192020 例2 （1） 1919191901901900190019 9898989809809800980098 ； （2） 166566。

11、第二讲 余数问题综合提高 本讲知识点汇总： 一 求余数 1 直接做除法 2 特征求余（注意和整除特征对比） ； 3 替换求余 4 周期求余 5 分解求余 二 物不知数问题（求被除数） 1 也称“韩信点兵” ，关于它的解法，后人总结出“中国剩余定理” （也 称“孙子定理” ） 物不知数问题的基本解法是：逐步增加条件，逐步找寻 2 分解求余 三 同余 1 概念 如果 a 和 b 除以 c 的余数相同，则称 a、b 对 c 同余，例如：10 和 28 对 9 同余 2 如果 a、b 对 c 同余，则是 c 的倍数 例1 （1）418 814 1616除以 7、8、9、11 的余数分别是多少？ （2） 89。

12、第十七讲 整数型计算综合提高 一、多位数计算 1 凑整、凑 9 的思想； 2 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是 9n 二、等差数列 1 等差数列的“配对”思想； 2 求和公式： （1） ； （2） 3 项数公式： 4 第 n 项： 三、等比数列： 等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为 S； （2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数） ； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果； 四、基本公式 1 平方差公式 2 平方求和 3 立方求和 五、整数裂项 1 ； 2 123 1 2 32 3 43 4 512 4 nnnn nnn 12 1 22 33 4。

13、第十五讲 数论综合提高一 本讲知识点汇总： 一一 整除 1 整除的定义 如果整数 a 除以整数 b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，也可以说 b 能整除 a，记作 如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不整除 a 2 整除判定 （1） 尾数判断法 能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除； 能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除； 能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除 （2） 截断求和法 能被 9、99、999 及其约数整除的数的特征 （3） 截断求差法 能被 11。

14、第十六讲 数论综合提高二 本讲知识点汇总： 一、约数、倍数 1 基本概念 （1） 如果 a 能被 b 整除（也就是） ，则 b 是 a 的约数（因数） ，a 是 b 的倍数； （2） 约数具有“配对”性质：大约数对应小约数 2 约数个数 （1） 分解质因数，指数加 1 再相乘； （2） 平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数 3 约数和公式 （1） 如果一个数的质因数分解式为， 则约数和为 ； （2） 如 果 一 个 数 的 质 因 数 分 解 式 为， 则 约 数 和 为 ； 二、公约数、公倍数 1 基本概念 （1） 如果 a 是若干个数公有的约数， 则称 a 是它们的公约数。

15、第四讲 对应计数 有 9 个球排成一行： 我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这 9 个球分成三堆，例如： 可以看到， 插入两块木板把 9 个球分成三堆的方法很多， 那么到底有多少种插入木 板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙， 一共有 8 个空隙 插入的两块木板要把 小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中8 个空隙选两个，共有 2 8 28C 种方法 如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？ 其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是 28这样我 们就把“。

16、第十四讲 工程问题综合提高 本讲知识点汇总： 1. 工程问题基本公式： 工作量=工作效率 工作时间； 工作时间=工作量 工作效率； 工作效率=工作量 工作时间 2. 理解“单位 1”的概念并灵活应用； 3. 有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工 作过程、灵活运用基本数量关系； 工作量其实是一种分率，利用量率对应可以求出全部工作的具体数量 典型题型 1. 基本效率计算：最常见的工程问题，基本思路是根据工作过程计算效率，通过对效 率的分析计算时间 （1） 基本工程问题：关键在于效率的计算； （2） 中。

17、第三讲 递推计数 有许多计数问题很复杂，直接处理比较困难，此时硬碰硬是不行的一个比较有效的策 略是退而求其次： 先考虑该问题的简单情形， 看看简单情形如何处理； 在解决了简单情形后， 再考虑如何利用简单情形的结论来解决更复杂的问题这个由简单到复杂的推导过程就 叫“递推” 那如何利用“递推法”来解决计数问题呢？下面我们就来看几个例子 例1 老师给小高布置了 12 篇作文， 规定他每天至少写 1 篇 如果小高每天最多能写 3 篇， 那么共有多少种不同的完成方法？（小高每天只能写整数篇） 分析分析从简单情况入手，看看能否找到合。

18、第十二讲 计数综合练习 【学生注意】本讲练习满分 100 分，考试时间 70 分钟 一、填空题一、填空题（本题共有 8 小题，每题 6 分） 1. 用 0、1、2、3、4、5 这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意 两个数字的差都不是 1，这样的三位数共有_个 2. 从 1 到 30 中选出两个不同的数相加，和大于 30 的情况有_种 3. 从 1000 到 2010 中，十位数与个位数相同的数有_个 4. 在用数字 0、1 组成一个 6 位数中，至少有 4 个连续的 1 的数共有_个 5. 3 个海盗分 30 枚金币，如果每个海盗最多分 12 枚，一共有_种不同的。

19、第二十讲 计数综合提高下 一、上楼梯模型 找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面增量分析 考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点： 1. 交点越多越好； 2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形） ； 3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线） 三、传球法 1. 传球法是树形图的简化版本； 2. 传球规则决定累加规则； （1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加； 3. 可以使用传球法的题型； （1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数。

20、第十九讲 计数综合提高上 一、 枚举法 1、简单枚举 2、分类枚举 3、特殊的枚举：标数法、树形图 二、 加法原理分类 如果完成一件事有几类方式， 在每一类方式中又有不同的方法， 那么把每类的方法 数相加就得到所有的方法数 加法原理的类与类之间会满足下列要求： (1)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； (2)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求 三、 乘法原理分步 如果完成一件事分为几个步骤， 在每一个步骤中又有不同的方法， 那么把每步的方 法数相乘就得到所有的方法数 乘法原理的步与步之间满足下列要求。