1、第四讲 曲线形问题综合提高 本讲知识点汇总： 一、 基本曲线形计算 1. 圆：2 Crd ； 22 2 44 dC Sr 2. 扇形：2 360 n lr ； 2 3 6 02 nlr Sr 3. 圆柱体：VSh 底 4. 圆锥体： 1 3 VSh 底 二、 曲线形计算技巧： 1. 割补法 2. 平移、旋转 3. 重叠（容斥） 例1 （1）如图 1，有一个长是 10、宽是 6 的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多 少？（ 取 3.14） （2）如图 2，三角形 ABC 是直角三角形，AB 长 40 厘米，以 AB 为直径做半圆，阴影 部分比阴影部分的面积小 28 平方厘米求 AC 的长度
2、（ 取 3.14） 分析分析 （1）阴影是不规则图形，无法直接求出面积，需要进行割补整体法求解； （2） 阴影分别加上空白部分均会变成规则图形直接求出面积 练习 1、如图，扇形 AOB 的圆心角是 90 度，半径是 2，C 是弧 AB 的 中点求两个阴影部分的面积差 （ 取 3.14） 例2 （1）如下左图，两个相同的直角扇形放在一起，重叠部分恰好是一个长方形，且长 和宽分别为 15 和 5那么阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） （2） 如下右图， 以直角三角形 ABC 的三条边为直径做半圆， 已知6AB ，8AC ， 那么，图中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） 分析分析 （1）
3、正方形的对角线刚好是扇形的半径； （2）这道题目可能会用到勾股定理 C A B B A C 图 1 图 2 A B C O 练习 2、 （1）如下左图，三角形 ABC 是等腰直角三角形，以 AC 为直径画半圆，以 BC 为半径画扇形已知10ACBC，那么阴影部分的面积是多少？（取 3.14） （2）如下右图，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） 例3 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地建筑物是一个边长为 10 米的 正方形，绳长是 20 米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越， 小狗身长忽略不计， 取 3） 分析分析首先画出
4、小狗活动范围的图形，然后根据每块扇形的半径求出面积 练习 3、如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地建筑物是一个 边长为 2 米的等边三角形，绳长是 3 米，那么小狗的 活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽 略不计， 取 3） 狗 A B D E 5 2 狗 例4 一个半径为 1 的圆绕着边长为 4 的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是 多少？（ 取 3.14） 分析分析注意拐角处扇形的半径 练习 4、一个半径为 1 的圆绕着边长为 4 的正六边形滚动一周又回 到原来的位置，扫过的面积是多少？（ 取 3.14） 例5 面上有 7 个大小相同的圆，位置如图所示如果每个
5、圆的 面积都是 10，那么阴影部分的面积是多少？（ 取 3.14） 分析分析这道题目较难，需要进行巧妙的割补求解 例6 （1）如下左图，将对角线长度为 6 的正方形，按照如图所示的方式旋转一周，那么 得到的旋转体的体积是多少？（ 取 3.14） （2） 如下右图， 将上底是 2， 下底是 4， 高是 4 的梯形， 按照图中所示的方式旋转一周， 那么得到的旋转体的体积是多少？（ 取 3.14） 分析分析求出必要数据，结合公式即可得出答案 作业 1. 如下图所示， 如果正方形的边长为 2， 那么阴影部分的面积为多少？ （ 取 3.14） 2. 在下图中大圆的面积为 30， 三个小圆完全相同， 那么
6、图中阴影部分的面积为 多少？ 3. 如图，阴影部分的面积是多少？（取 3.14） 4. 一个半径为 1 的圆绕着边长为 4 的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的 面积是多少？（取近似值 3.14） 5. 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地建筑物是一个边长为 4 米的等 边三角形，绳长是 6 米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身 长忽略不计， 取 3） 4 狗 第四讲 曲线形问题综合提高 例7 答案：答案： （1）18.5； （2）32.8 解答：解答：(1)大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+空白”刚好构成长方形，所以直角扇 形与长方形的面
7、积差即是两块阴影面积的差 2 1 106018.5 4 （2）“阴影+空白” 刚好构成半圆，“阴影+空白” 刚好等于直角三角形， 半圆面积为 2 1 20628 2 ， 所以，直角三角形面积为62828656，另一条直角边32.8AC 例8 答案：答案：242.5；24 解答：解答： （1）两个直角扇形面积之和减去长方形面积即为阴影面积： 22 1 515752242.5 2 例9 答案：答案：1050 解答：解答：狗的活动范围如图，分为 A、B、C 三部分， 求面积得： 22 31 20103501050 42 平方米 例10 答案：答案：44.56 解答：解答：四个半径为 2 的直角扇形+
8、四个相同的长方形 即为该圆扫过的面积， 2 1 2424444.56 4 例11 答案：答案：20解答：阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形 这个图形可以割补成一个顶角 60的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆；阴影 部分的面积等于两个圆的面积，为 20 A B C 例12 答案：答案：56.52； 8792 75 解答：解答： （1）可以把得到的立体图形看做两个锥体，体积为 2 1 33256.52 3 ；可以把得到的立体 图形看做两个锥体体积之差，体积为： 22 118792 4824 3375 练习： 练习 1、答案：答案：0 简答：两个阴影分别加上下部的空白部分可得
9、到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相等，所以，面积之 差是 0 练习 2、答案：答案：28.5；12.765 简 答 ：（ 1 ） 半 圆 + 圆 心 角 是45度 的 扇 形 面 积 之 和 减 去 直 角 三 角 形 面 积 ： 22 111 51010 1028.5 282 ； （2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积， 22 11 521012.765 44 练习 3、答案：答案：24.5 简答：解法同例 3，首先画出小狗活动的范围图，然后把活动范围分成几个扇形来求解， 22 300240 31 =24.5 360360 练习 4、答案：答案：60.56 简答：圆所扫过的面积可以
10、分成 6 个长方形和 6 个扇形，面积之和为 2 4262 =60.56 作业 1. 答案：0.86 简答：正方形的面积是 4，圆的面积是 3.14，所以，阴影的面积是 0.86 2. 答案：20 简答：大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的 9 倍，那么，阴影面积是整个面积 的三分之二，即阴影面积为 20 3. 答案：4.56 简答：阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角形的面积，两个半圆的面积之和为 12.56，直角三角形 的面积是 8，所以，阴影面积为 4.56 4. 答案：36.56 简答：扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为 120 度的扇形，长方形总面积 24 3=24，扇形总面积为 12.56，所以，扫过的整个面积是 36.56 5. 答案：98 简答：活动范围由三个扇形构成，最大的扇形面积为半径是 6 的圆的四分之三，即 90，两个小扇形的 面积之和为 18，总面积为 98
