1、第十讲 复杂应用题串讲 这一讲学习的内容是与生活相关的形式多样的应用题 解题时， 一定要注意结合实际情 况进行分析 例1 有一篮鸡蛋分给若干人，第一人拿走 1 个鸡蛋和余下的 1 10 ，第二人拿走 2 个鸡蛋和 余下的 1 10 ，第三人拿走 3 个鸡蛋和余下的 1 10 ，最后恰好分完，并且每人分到的 鸡蛋数相同那么共有多少个鸡蛋，有多少个人？ 分析分析本题可以采用列方程的做法，另外前两个人所拿蛋数很容易表示出来，它们之 间存在什么样的数量关系呢？ 练习 1、一批游客，甲、乙两种客车（一大、一小） ，用 3 辆甲种车和 4 辆乙种车（满 载）共需跑 5 趟，如果用 5 辆甲种车和 3 辆乙
2、种车（满载）共需跑 4 趟，那么甲乙两车 的载客量之比是多少？ 例2 一个容器装了 3 4 的水，现有大、中、小三种小球第一次把 1 个中球沉入水中；第二 次将中球取出，再把 3 个小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把 1 个大球沉入水 中最后将大球从水中取出，此时容器内剩下的水是最开始的 2 9 已知每次从容器中 溢出的水量情况是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半大、中、小三球 的体积比是多少？ 分析分析大家还记得“设数法”及比例计算吗？ 练习练习 2、A、B、C 三人去看电影，如果用 A 带的钱去买 3 张票，还差 55 元，如果用 B 带的钱去买 3 张票，还差 69 元，
3、如果用 A、B、C 三个人所有的钱去买 3 张票，则还富 余 30 元如果已知 C 带了 37 元，那么电影票一张要花多少元？ 例3 两个农妇共带 100 个鸡蛋到市场上去卖，第一个农妇带的鸡蛋比第二个农妇少，但两 人所卖的总钱数相同第一个农妇对第二个农妇说： “我要有你那么多鸡蛋，按我的价 钱卖就能把它们卖 180 元 ”第二个农妇回答说： “我要有你那么多的鸡蛋，按我的价钱 卖只能把它们卖 80 元 ”请问：两个农妇分别有多少个鸡蛋？ 分析分析本题可以采用列方程的做法 练习 3、甲班有 42 名学生，乙班有 48 名学生.已知在某次数学考试中按百分制评卷， 评卷结果各班的数学总成绩相同，各
4、班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于 80 分.那么甲班的平均成绩比乙班高多少分？ 例4 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件张先生对商店经理说： “如果 你肯减价，那么每减价 1 元，我就多订购 4 件 ”经理算了一下，若减价 1%，由于张 先生多订购，获得的利润反而比原来多 52 元那么按张先生的要求，商店最多可以获 得多少元利润？ 分析分析这道题目中每件商品的成本价是解决问题的关键 练习 4、箱子里有红白两色玻璃球，红球比白球的 3 倍多 2 只每次从箱子里取出 7 只 白球，15 只红球，经过若干次之后剩下 3 只白球，53 只红球，那么箱子里原有红球白 球各
5、多少只？ 例5 如图所示，A，B 两点把一个周长为 1 米的圆周等分成两部分蓝精灵从 B 点出发在 这个圆周上沿逆时针方向作跳跃运动，它每跳一步的步长是 3 8 米， 如果它跳到 A 点，就会经过特别通道 AB 滑向 B 点，并从 B 点继 续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍已知蓝 精灵跳了 1000 次，那么跳完后圆周长等于多少米？ 分析分析首先可以枚举出前几次周长变化的规律，然后总结规律 即可解决本题 例6 有 4 位朋友的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了 5 次，称得的千克数分 别是 99，113，125，130，144，其中有两人没有一起称过，那么这两个人中体重
6、较重 的人的体重是多少千克？ 分析分析本题整体考虑，寻找解题突破口 B A 第一次数学危机 从某种意义上来讲，现代意义下的数学（也就是作为演绎系统的纯粹数学）来源于古希腊的 毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前 500 年左右，它是一个唯心主义流派。他们重视 自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的 和谐及规律性。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现 实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。 毕达哥拉斯的数是指整数， 他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。 他们知道满足
7、直角三角形三边长的一般公式， 但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也 就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一 切现象都能归结为整数或整数之比。 不可通约性的发现引起第一次数学危机。 有人说， 这种性质是希帕索斯约在公元前 400 年发 现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索 斯因泄密而被处死。不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的 某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。 整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希
8、腊数学中占有特殊地位。 同时这也反映出， 直觉和经验不一定靠得住， 而推理证明才是可靠的。 从此希腊人开始由“自 明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革 命，这也是第一次数学危机的自然产物。 回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从 实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算 金字塔高度， 测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的 数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留 在“算学”阶段。而希腊数学 则走向了完全不同的道路，形成了欧几里
9、得几何原本的公理体系与亚里士多德的逻辑体 系。 课 堂 内 外 作业 1. 一位牧羊人赶着一群羊去放牧， 跑出一只公羊后， 他数了数羊的只数， 发现剩下的羊中， 公羊与母羊的只数比是 9:7；过了一会跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊， 牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7:5这群羊原来有多少只？ 2. 下表是某班 40 名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是 2.5 分，那么得 3 分和 5 分的各几人？ 3. 植树开始时，老师给各组发树苗，第一组分到 5 棵再加上剩下树苗的 1 5 ，第二组分到 10 棵再加上剩下树苗的 1 5 ，第三组分到 15 棵再加上剩
10、下树苗的 1 5 ，最后，所有的 树苗恰好分完，而且各组分到的树苗一样多问：共有多少棵树苗？分给了多少个组？ 4. 某市自来水收费标准如下：每户每月用水 4 吨以下，每吨水 1.80 元；当超过 4 吨时， 超过部分每吨 3.00 元某月甲乙两户共交水费 26.40 元，用水量之比为 5:3 且均超过 4 吨那么甲户交水费多少元？乙户交水费多少元？ 5. 某校开学时，七年级新生人数在 5001000 范围内，男、女生的比例为 8:7，到八年级 时，由于收了 40 名转学过来的学生，男、女生的比例变为 17:15，请问该年级入学时， 男、女生各有多少人？ 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4
11、7 10 A 8 B 第十讲 复杂应用题串讲 例题： 例题1. 答案：答案：81；9 详解详解：设第一个人拿走一个鸡蛋后还剩 x 个，那么第一个人拿了(10.1x)个，第二个 人拿了20.1 (0.92)0.091.8xx个，所以10.10.091.8xx，解得 x=80，所以 共有 81 个鸡蛋，且每个人分得了180109个所以共有8199人 例题2. 答案：答案：15:6:4 详解详解：设容器容量为 1 份，第一次溢出的水量为 x，那么 32 241 49 xxx ，解 得： 1 12 x 所以中球的体积为： 131 1 1243 第二次放小球前还剩水量为 312 4123 ， 那么小球的
12、体积是 122 143 1239 第三次放球前还剩水量为 211 4 3123 ， 那么大球的体积是 115 12 1236 所以大、 中、 小三球的体积比是 5 1 2 :15:6:4 6 3 9 例题3. 答案：答案：40，60 详解详解： 设两人所卖的总钱数为 N 元， 第一个农妇有 x 个鸡蛋， 第二个农妇有 y 个鸡蛋 由 题意可知 180 80 N y x N x y ，方程组上下两式相除可得： 22 :9:4yx ，所以:2:3x y ， 两人一共有 100 个鸡蛋，因此分别有 40、60 个 例题4. 答案：答案：2916 详解详解： 先求成本， 设成本为x元， 则100805
13、29984xx， 解得：66x 元 接 下来是求最大利润，当降价a元时，总利润为 1006680443420aaaa ， 这里34a与20a的总和是定值54， 所以它们乘积的最大值是2727729总利润取得最大值时，3420aa，即 7a 所以当定价为100793元时，有总利润的最大值是47292916元 例题5. 答案：答案：128 详解详解：第一次跳到 A 点，跳过的路程应该是 3 8 米的整数倍，也应该是半圈即 1 2 米的奇 数倍，而 3,43 1123 , 8 2882 ，恰好满足要求，所以第一次跳到 A 点时，已经跳了 3 2 米，共跳了 4 次然后，圆周长变为 2 第二次跳到 A
14、 点，跳过的路程应该是 3 8 米的整数倍，也应该是半圈即 1 米的奇数倍， 而 3,8324 ,13 888 ，恰好满足要求，所以第二次跳到 A 点时，在第一次到达 A 点之后又跳了 3 米，也就是又跳了 8 次然后，圆周长变为 4 之后，每次跳到 A 点，所要走的路程都恰好是 1.5 个圆周，由于圆半径在翻倍，所以 每次要走的路程也要翻倍，要跳的次数也要翻倍第 3、4、5、6、7、8、次到达 A 点 ， 分 别 又 跳 了16 、 32 、 64 、 128 、 256 、 512 、 次 ， 由 于 481632641282565124508，5085121020，50810001020
15、， 所以蓝精灵跳 1000 次中，一共穿过通道 7 次，所以跳完后圆周长等于 7 2128米 例题6. 答案：答案：66 详解详解：此时有两个人称了三次，另外两个人称了两次，所以除去称了三次的这两个人 的体重之和后剩下的四个体重和的大小应该满足：最大的加最小的等于中间两数和， 都等于四个人的体重和尝试后发现应该去掉 125，所以四个人的体重和为 99+144=243 千克，未称重的两人的体重和为 243-125=118 千克 这样所有可能出现的 6 个体重和都求出了最大的两个数 130 与 144 的和减去中间体重的两个人的体重和 等于最重那个人的体重的两倍，尝试 118 和 125 后发现，
16、只有 118 符合要求，所以最 重人的体重为 78，且最轻人的体重为 125-78=47 千克，因此第二轻的人的体重为 99-47=52 千克，从而第二重的人的体重为 118-52=66 千克，所以未称体重的两人的体 重分别为 52、66 练习： 1. 答案：8:5 简答：3 辆甲车和 4 辆乙车跑五趟，相当于 15 甲+20 乙，5 辆甲车和 3 辆乙车跑 4 趟相 当于 20 甲+12 乙，于是 5 甲=8 乙，甲乙载客量之比是 8:5 2. 答案：37 元 简答：A 的钱数是 3 张票减去 55 元，B 带的钱是 3 张票减去 69 元，三人带的钱数之和 是 6 张票减去 87 元，又由
17、于三人所有钱数买三张票还余 30 元，画出线段图可得，三张 票为 117 元，每张票 37 元 3. 答案：12 简答：设甲、乙班平均分分别是 x、y，列不定方程可得甲班平均分为 96 分，乙班为 84 分，甲班比乙班高 12 分 4. 答案：52、158 简答：分析红球比白球的 3 倍多 2 只这个条件，每次取的红球数是白球数的 3 倍，则最 后刚好白球拿完，红球剩两个，题目中 7 白对应 15 红，每次少拿 6 个红球，红球若剩 下，则 3 只白球对应 9+2 个红球则，还有 42 个红球，说明拿了 7 次，则原有白球 52 只，红球 158 只 作业： 1. 答案：49 简答：列方程或根
18、据“剩余羊的只数和不变”用比例做 2. 答案：3 分 7 人，5 分 4 人 简答：用方程或鸡兔同笼做 3. 答案：80 棵，4 组 简答：设一共有 x 组树苗，根据第一组和第二组分的相等，可列方程如下： 得出 x 是 80；每组 20，所以有 4 组 111 5510155 555 xxx 4. 答案：17.7，8.7 简答：设甲户用水量为 5x，则乙户用水量为 3x，那么：根据水费可列方程如下： ，解得 x=1.5，于是甲户用水 7.5 吨，乙户用水 4.5 吨，均在 4 吨以上，满足条件；于是甲用户水费 17.7 元，乙用户水费 8.7 元 5. 答案：男生 320，女生 280 简答：开始的总人数是在 500 到 1000 中的 15 的倍数，加上 40 名是 32 的倍数，有 ，得出符合条件的 x 的值是 20 324015xy 4 1.8 2(34) 3(54) 326.4xx
