高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲 最值问题二

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1、第十八讲 最值问题二 一、最值问题中的常用方法 a) 极端思考 在分析某些最值问题时,可以考虑把问题推向“极端” ,因为当某 一问题被推向“极端”后,往往能排除许多枝节问题的干扰,使问 题的“本来面目”清楚地显露出来,从而使问题迅速获解 b) 枚举比较 根据题目的要求,把可能的答案一一枚举出来,使题目的条件逐步 缩小范围,筛选比较出题目的答案 c) 分析推理 根据两个事物在某些属性上都相同, 猜测它们在其他属性上也有可 能相同的推理方法 d) 构造调整 在寻求解题途径难以进展时,构造出新的式子或图形,往往可以取 得出奇制胜的效果 二、求最大值和最小值的结论 1 和一定的两个数,差越小,积越大;

2、 2 积一定的两个数,差越小,和越小; 3 两点之间线段最短 例1 用一根长 80 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架,这个长方体的 体积最大是多少立方厘米? 分析分析题目的限制条件是铁丝长为 80 厘米,要求体积的最大值,通过什么可以把这 二者联系起来呢? 练习 1、 (1)用一根长 100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架,这 个长方体的体积最大是多少立方厘米? (2) 有一根铁丝, 它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是 36 立方厘米, 这根铁丝的长度是多少厘米? 例2 有 5 袋糖,其中任意 3 袋的总块数都超过 60这 5 袋糖块总共最少有多

3、少块? 分析分析每 3 袋的总块数都超过 60,要求 5 袋的总块数事实上我们以前做过类似的 题: “已知三个数两两的和数,求这三个数的总和 ”这样的题大家是怎么处理的呢?它 的处理方法能否应用到本题中来呢? 练习 2、有 5 个学生参加暑期竞赛班,每人都拿了不少积分(所有积分都是整数) 如 果其中每三人的积分之和都不少于 500 分,那这五人的总积分最少是多少? 例3 用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成 3 个三位数,使得它们都是 9 的倍数,并 且要求乘积最大,请写出这个乘法算式 分析分析为了让这样的三个数的乘积最大,我们当然要让三个数的首位最大那么首位 应该是多少呢?注意

4、到这三个数都是 9 的倍数, 9 的倍数有什么特征呢?它对这三个数 提出了怎样的要求? 练习 3、用 1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数,使得它们都是 3 的倍数,并且 要求乘积最大,请写出这个乘法算式 例4 把 1 至 99 依次写成一排,行成一个多位数:1234 9899从中划去 99 个数字,剩下 的数字组成一个首位不是 0 的多位数 请问: 剩下的数最大可能是多少?最小可能是多 少? 分析分析要使得到的数最大,所得的数前面几位应该是什么?如果要最小呢? 练习 4、 把 1 至 20 依次写成一排, 行成一个多位数:1234 1920 从中划去 20 个数字, 剩下的数字组成一

5、个首位不是 0 的多位数 请问: 剩下的数最大可能是多少?最小可能 是多少? 例5 邮递员送信件的街道如图所示,每一小段街道长 1 千米如果邮递员从邮局出发,必 须走遍所有的街道,那么邮递员最少需要走多少千米? 分析分析 如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道, 则这样走的总路程就是最短的 那 么邮递员能做到这一点吗?实际上这是一个一笔画问题, 同学们回想一下, 什么样的图 形才能一笔画出来呢? 1 1 1 1 1 1 邮局 例6 如图,有一个长方体的柜子,一只蚂蚁要从左下角的 A 点出发,沿柜子表面爬到右上 角的 B 点去取食物,蚂蚁爬行路线的长度最短是多少?一共有几条最短路线?请在图 中表

6、示出来 分析分析众所周知,两点之间线段最短然而在本题中,蚂蚁是不能穿过柜子的,只能 在柜子表面爬行这样一来,我们就要在柜子表面寻找一条从 A 到 B 的最短路线可 是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢? A B 3 3 1 罐头装箱问题 我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题, 怎么摆放才能最有效地利用 包装箱内的空间呢? 一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状, 像图 1 这样 它是一种较优排法, 但不是最优的办法 没有最大限度地利用空间, 浪费不少, 圆的面积只占总共的 78.5% 比上述办法好得多的办法,是将罐头摆放成图 2 所示的六边形不难算出,正六边 形内圆所覆盖的面积超过了

7、90 实际上, 数学家已经证明了如果空间是无限延展的, 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式 但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的, 尤其在盒子不太大的时候 例如要放 9 个罐头,正六边形摆法需要的正方形不是最小的如图 3,它的放法就不比图 4 好 当罐头数目增加时,放罐头的最佳包装法会不断在变,越来越 倾向于正六边形排法 比如,13 个罐头的最优包装法,用边长大约为圆直径 3.7 倍的 正方形就够了如图 5,虽然它看上去乱糟糟,但已被证明为最优 解我们可以看到,12 个罐头紧紧地靠在一起,而第 13 个(黄色的 那个)则自由自在地放在中间 最后,大家思考一个问题:设 1 角钱硬币的直径为 a

8、 厘米,那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中,最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢?是 100 枚吗?能否放进去更 多? 图 4 图 3 图 2 图 1 图 5 作业 1. 用一根长 120 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架, 这个长方体的体 积最大是多少立方厘米? 2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章,其中任意两人的勋章合起来都少于 10 块, 那么这四人的勋章合起来最多有多少块? 3. 用 1、2、3、4、5、6、7、8 各一个组成两个四位数,使得它们都是 3 的倍数,并且要 求乘积最大,请写出这个乘法算式 4. 把 21 至 40 依次写成一排,行成一个多位数:21

9、2223243940从中划去 20 个数字, 剩下的数字组成一个首位不是 0 的多位数 请问: 剩下的数最大可能是多少?最小可能 是多少? 5. 如果例题 5 中的街道由“土”字形变成如下所示的形状,那么邮递员从邮局出发,要走 遍所有的街道,最少需要走多少千米? 1 1 1 1 1 1 邮局 第十八讲 最值问题二 例7 答案:294 详解详解:长方体满足:80420长宽高厘米,要使体积最大,就应该使三边长度 尽量接近 所以当三边长度分别为 7 厘米、 7 厘米和 6 厘米时, 体积最大, 为7 7 6 2 9 4 立方厘米 例8 答案:103 详解详解:任意 3 袋糖果总块数都不少于 61,必

10、能取出一袋不少于 21 块糖果;现在余下 4 袋,同样可以有糖果数超过 21 块的袋子,再取走这袋现在余下三袋了,这三袋糖果 总和不少于 61, 所以总的糖果不少于 61+21+21=103 块 由于 5 袋糖果分别有 21、 21、 21、20、20 块,是符合要求的,所以 103 就是最小值 例9 答案:954 873 621 详解详解:每个数都是 9 的倍数,说明每个数的各位数字之和都是 9 的倍数由于 1 到 9 总的数字和是 45,而且每个数的各位数字之和都不超过 7+8+9=24,因而三个数的各位 数字之和分别为 18、18 和 9各位数字之和为 9 的数最大只能是 621其余两个

11、数乘积 要尽量大且各自的各位数字之和是 18,百位取 9 和 8,十位取 7 和 5,个位取 4 和 3, 有最大乘积 954 872,故所求的乘法算式是 954 873 621 例10 答案:最大为 9999975859609899;最小是 100000123450616263649899 详解详解: (1)要使剩下的数尽量大,就要让数的最前面剩下尽可能多的 9首先,最开头 的 12345678 这 8 个数字是要去掉的,留下了第一个 9;然后去掉 1011121314151617181 共 19 个数字,留下了第二个 9;再去掉 3 次的 19 个数,使得剩下第 3、4、5 个 9现 在已

12、经去掉了一共 8+19 4=84 个数,剩下的数前 5 个数字都是 9,然后是 50515253545556575859 一直写到 9899, 还能再去掉 15 个数 但我们到下一个 9 要去掉 19 个数,到下一个 8 要去掉 17 个数,到下一个 7 要去掉 15 个数,于是最后结果的第 6 个数字最大是 7,应该去掉的 15 个数字为 505152535455565所以剩下的数最大为 9999975859609899 (2)要使剩下的数尽量小,就要让数的首位是 1,第二位起是尽量多的 0首位上的 1 取第一个数字 1 就行了然后去掉 234567891 共 9 个数,留下第一个 0;再去

13、掉 1112131415161718192 共 19 个数,留下第 2 个 0;再去掉 3 次的 19 个数,就能得到第 3、4、5 个 0现在一共去掉了个数,剩下的数前六个数字是 1、0、0、0、 0、0,余下的部分是 515253545556575859 一直写到 9899,还能再去掉 14 个数下一 位取不到 0 了,只能去掉一个 5,留下 1;再下一位连 1 都取不到,只能去掉 1 个 5, 取 2;再去掉一个 5,留下 3;去掉一个 5,留下 4现在还能再去掉 10 个数字,而剩 下的是 55565758596061,接下来 11 个数中最小的数是 5,所以取一个 5然后剩 下的数前

14、 11 个数字为 55657585960, 因而我们去掉 10 个数字 5565758596, 使下一位达 到最小数字 0所以最后剩下的数最小是 100000123450616263649899 例11 答案:26 详解详解:如图 1,由于的 A、B 两点连出的边是 3 条,也就是奇数条,仅当 A 与 B 为出发 点和终点时,才能一笔画我们不能从邮局出发一笔把这个图画出,即邮递员不能只把 每条街道走一遍就回到邮局, 他至少应该多走 1 千米街道, 最小是 26 千米 在图 2 中, 我们给出了邮递员走 26 千米走遍所有街道的一种方法 例12 答案:最短的长度是 5;4 详解详解:为了表示方便

15、,我们把长方体的各个顶点都标上字母,如图 3蚂蚁要从 A 处爬 到 B 处, 途中必须经过两个相邻的面, 两个相邻面的交线必是 EH、 HF、 FG、 GC、 CD、 DE 六条线段中的一条一共六种情况,但由对称性,可分为三类,每类两种:交线是 FG、DE 的情形为一类,交线是 HE、GC 的情形为一类,交线是 FH、DC 的情形为一 类 919485 1 1 1 1 1 1 邮局 A B 图 1 1 1 1 1 1 1 邮局 A B 图 2 情况 1:如果蚂蚁所经过的两相邻面是 ACGF 和 FGBH,那么我们可以沿着它们的交线 FG 把这两个面展开到同一个平面上,如图 4这样蚂蚁的整个行走

16、路线就在这一个平 面上,而且以 A 为起点,B 为终点此时从 A 到 B 的最短连线就是 A、B 两点的连线, 它恰好直角三角形 ABC 的斜边由于3AC ,314BC ,因此5AB 情况 2:如果两相邻面的交线是 GC同样我们也可以沿着 GC,把两个相邻面展开到同 一个平面上,如图 5此时 A、B 两点的连线是直角三角形 ABD 的斜边由于3BD , 314AD ,因此5AB 情况 3:如果两相邻面的交线是 DC同样我们也可以沿着 DC,把两个相邻面展开到同 一个平面上,如图 6此时 A、B 两点的连线是直角三角形 AGB 的斜边,一定比直角边 AG 长而 AG 的长度是336,所以 AB

17、一定大于 6 其余三种情况的最短路线与上面的情况 1、 2、 3 对应相同 所以爬行路线长度最少是 5, (1) 和 (2) 的情形都符合要求, 加上与它们对应的两种, 所以一共会有 4 条最短路线 把 展开图还原到原来的图中,就是所求的最短路线(如图 7) 因此在长方体表面,从 A 到 B 的最短路线的长度是 5,一共有 4 条满足要求 A C G E D B 1 3 3 图 6 图 7 A B 3 3 1 C D E F G H A B 3 3 1 C D E F G H A B 3 3 1 C D E F G H 图 3 3 B A 3 1 C F G H 图4 3 B A 3 1 C

18、F G D 图5 练习 1、答案:576 简答: 100425889 ,8 8 9576 练习 2、答案:834 简答:总积分最少是167167500834,此时 5 人分数可以是 166、167、167、167、167 练习 3、答案:642531 简答:6 和 5 分别放在两个数的百位上,结合各位数字之和是 3 的倍数,可得到乘积最大的算式 642531 练习 4、答案:95617181920;10111111110 简答:同例 4,由于题目中数位较少枚举即可,注意计算的准确性 作业 6. 答案:1000 简答:120430101010,10 10 101000 7. 答案:17 简答:必有两人的勋章数都不多于 4 块,余下两人勋章数之和不多于 9 块,因而最多只能有 44917块 8. 答案:85327641 简答:首位要尽量大,取 8 和 7,次位也尽量大,取 6 和 5,然后是十位要尽量大,从 4 和 3 里取也 就是前三位分别取 853 和 764 能使乘积最大但还要保证都是 3 的倍数,故只能是 8532 和 7641,所 求的乘法算式是85327641 9. 答案:93333334353637383940;10123334353637383940 10. 答案:36 简答:这个图是可以一笔画画出的,最少路程等于街道全程 36 千米

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