1、第九讲 立体几何 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 首先，我们来学习一下长方体、正方体的体积与表面积的计算方法 图形 体积 表面积 Vabc 长方体 2Sabbcca 表面 3 Va 正方体 2 6Sa 正方体 a b c a 练一练 1 一个正方体的棱长总和是 72 厘米，它的一个面是边长_厘米
2、的正方形，它的表 面积是_平方厘米，体积是_立方厘米 2 一个长方体的长是 5 分米，宽是 45 厘米，高是 24 厘米，它的表面积是_平方 厘米，体积是_立方厘米 3 做一个长 8 分米，宽 4 分米，高 6 分米的长方体玻璃鱼缸，至少需要_平方分 米的玻璃 4 有一块棱长是 10 厘米的正方体的铁块，现在要把它熔铸成一个横截面积是 20 平方厘 米的长方体，这个长方体的长是_厘米如果要求这个长方体每条棱的长度都 是整数厘米，它的表面积最小是_平方厘米 相信同学们对于这些公式都很熟悉， 但是对于较复杂的立体图形， 往往我们并不能直接 应用公式进行计算，这个时候又该怎么办呢？ - - - -
3、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 有 30 个边长为 1 米的正方体，如图所示堆成一个四层的立体图形请问：该立体图形的表 面积等于多少平方米？ 分析：所谓表面积，就是立体图形露在外面的总面积我们可以从上、下、左、右、前、后 6 个不同的方向去考虑这个立体图形，把每个方向露出的面积加在一起就行了 练习 1
4、 用 14 个棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方 厘米？ 在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察角度不同，看到的风景就会 不同比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和 左视图并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是 相同的对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积 例题 2 一个正方体被切成 24 个大小形状相同的小长方体 （见下图） ， 这些小长方体的表面积之和为 162 平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？ 分析： 我们先来分析一下切成小块的过
5、程中， 图形的表面积是如何变化的 同学们请看下图： 一刀下去，正方体被一分为二表面积和原来比，正好多出了 A，B 两个面不难看出，这 两个面的面积都等于原正方体 6 个面中 1 个面的面积按这种方法，每切一刀，增加的都是 两个面的面积同学们可以计算一下，按如图的方式切了 6 刀后，表面积究竟增加了多少？ 练习 2 一个正方体被切成 36 个大小形状相同的小长方体 （见下图） ， 这些小长方体的表面积之 和为 500 平方厘米，那么原正方体的体积是多少立方厘米？ 例题 3 如图，有一个边长为 30 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大 小相同的小正方体后， 表面积变为 5496
6、 平方厘米， 那么挖掉的小正方体的棱长是多少厘米？ 分析：挖去小正方体后，表面积会发生变化如果挖的位置，最终结果会有区别吗？ 练习 3 一个正方体棱长 10 厘米，在它的表面上挖去一个棱长 3 厘米的小正方体请求出剩下立体 图形表面积的所有可能 除了长方体、正方体之外，圆柱和圆锥在我们的生活中也特别常见 如图，圆柱的两个圆面叫做底面底面；周围的面叫做侧面侧面；两个底面之间的距离叫做高高 圆锥的圆面叫做底面底面；尖点叫做顶点顶点；顶点到底面的距离叫做高高，顶点到底面圆周上任 意一点的连线叫做母线母线关于圆锥的内容，我们不作深入的学习，同学们只需要学会如何计 算它的体积即可 大家可以把圆柱想象成一
7、个底面是圆形的柱子， 那其他柱体也就是底面是其他图形的柱 子 如图， 所有“上下一般粗”的图形都称为柱体， 图中的两个图形分别叫做三棱柱和四棱柱， 它们的体积计算公式都是： V 底面积 高 高 底面 侧面 母线 高 顶点 底面 例题 4 （1）如下左图，是长为 8，宽为 4 的长方形，以长方形的长为轴旋转一周，求所形成的立 体图形的体积和表面积是多少 （2） 如下右图， 是直角边分别为 3 和 4 的直角三角形， 以边长为 4 的直角边为轴旋转一周， 求所形成的立体图形的体积 分析：圆柱体的底面半径和高与长方形的长和高有什么关系？圆锥体呢？ 练习 4 有一个圆柱和一个圆锥， 它们的高和底面直径
8、如图所示 圆柱体积及表面积分别是多少？圆 锥的体积是多少？（ 取 3.14） 立体图形 体积 侧面展开图 2 Vr h底面积 高= 圆柱的侧面展开图为 长方形，长为圆柱底面周 长，宽为圆柱的高 2 11 33 Vr h底面积 高= 圆锥的侧面展开图为 扇形，半径为母线（不是 圆锥的高！ ） ，弧长为圆锥 底面周长 （注：圆锥侧面展开只需 了解，不需掌握） h r r h 6 6 3 3 例题 5 下图是一个棱长为 4 厘米的正方体，分别在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一 个棱长 1 厘米的正方体， 做成一种玩具 该玩具的表面积是多少平方厘米？如果把这些洞都 打穿，表面积又变成了多少平
9、方厘米？ 分析：打穿以后，表面积的计算有点复杂想想都有哪些面是露在外面的？ 例题 6 如图， 一个底面长 20 分米， 宽 8 分米， 高 15 分米的长方形水池， 存有三分之二池水 将 一个高 50 分米，体积 400 立方分米的长方体竖直放入池中，那么长方体被水浸湿的部分有 几分米高？ 分析：很明显长方体没有被水浸没，还有一部分在外面水的体积没有变化过，但是形状发 生了变化原来是一个长方体，后来是什么样的形状？ - 正多面体 正多面体，指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面 体一共有五种正多面体，分别是正四面体、正六面体（正方体） 、正八面体、正十二面体 和正二十面
10、体这些正多面体的作法都收录在了几何原本的第 13 卷中 柏拉图认为世界万物都是由火、 气、 水、 土四元素构成的， 其形状如正多面体中的四个 火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体 空气是用正八面体制的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑 当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十 面体 土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如立方体 剩下没有用的正多面体正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写道：“神使用正十二 面体以整理整个天空旳星座”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素以太，并认 为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系起来 约翰内斯 开普
11、勒依随文艺复兴建立数学对应的传统，将五个正多面体对应五个行星 水星、金星、火星、木星和土星，同时它们本身亦对应了五个古典元素 在立体图形中，正多面体非常对称除了正多面体之外，还有很多图形也具有非常漂亮 的对称性下面就是一些例子，不过要注意，它们可不是正多面体哦 作业1. 如图所示，一个正方体被切成 16 个大小形状相同的小长方体，这些小长方体的表 面积之和为 256 平方厘米，那么原正方体的体积是多少？ 作业2. 一个正方体棱长 8 厘米， 在它的表面上挖去一个棱长为 2 厘米的小正方体 则剩下 的立体图形表面积可能是多少？ 作业3. 如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、
12、棱上、面上各挖掉一 个大小相同的小正方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小正方体的边长是 多少？ 作业4. 图中的立体图形中，每个小正方形的边长都是 1那么这个立体图形的表面积和体 积分别是多少？ 作业5. 正方形的边长为 4，按照图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的体积和表面积 分别是多少？（ 取 3） 第九讲 立体几何 例题1. 答案：72 详解：用三视图法从上往下看，面积为 16 平方米；从左往右看，面积为 10 平方米；从前往后看， 面积也是 10 平方米所以这个立体图形的表面积是161010272平方米 例题2. 答案：27 详解：一共切了 6 刀，会增加 12 个大
13、正方形的面积加上原来的 6 个大正方形，一共有 18 个大正方 形162 189，每个大正方形的面积是 9 平方厘米，边长就应该是 3 厘米正方体的体积是 3 3 327 立方厘米 例题3. 答案：4 详解： 在角上挖一个正方体， 表面积不会增加 在棱上挖一个正方体， 会增加 2 个小正方形的面积 在 面上挖一个正方体，会增加 4 个小正方形的面积一共增加了 6 个小正方形的面积说明一个小正方 形的面积是 2 54966 30616 平方厘米，边长是 4 厘米即小正方体的棱长是 4 厘米 例题4. 答案： （1）401.92，301.44； （2）37.68 详解：（1） 得到的旋转体为圆柱体
14、， 圆柱体的底面半径为 4， 高为 8， 则体积为 2 48128=401.92， 表面积为 22 222482496301.44rhr （2）以边长为 4 的直角边为轴旋转一 周，所得立体图形为底面半径为 3，高为 4 的圆锥体，体积为 2 1 341237.68 3 例题5. 答案：120，126 详解：从一个面中心位置挖去一个棱长 1 厘米的正方体，比原来增加 4 个面，增加了 4 平方厘米共 挖去 6 个正方体，增加 24 个面，增加了 24 平方厘米加上原来的面积 96 平方厘米，共 120 平方厘 米 如果把这些洞打穿， 每个洞的表面积为3 1 412 平方厘米，3 个洞的表面积为
15、 36 平方厘米总 的表面积变为96366126平方厘米 例题6. 答案： 10 1019 详解：首先可算出这个长方体的底面积是 8 平方分米将这个长方体竖直放入水中，该长方体一定不 会被浸没水池中水的体积为 2 208151600 3 立方分米放入长方体后水面的高度为 20010 1600208810 1919 分米长方体被水浸湿部分的高度也就是 10 1019分米 练习1. 答案：46 简答：977246 练习2. 答案：125 简答：切了 7 刀，会增加 14 个大正方形，加上原来的 6 个一共 20 个由此可知每个大正方形的面积 是5002025平方厘米，边长是 5 厘米原正方体的体积
16、是 125 立方厘米 练习3. 答案：600 平方厘米，618 平方厘米，636 平方厘米 简答：如果从角上挖，表面积不变，仍为 600 平方厘米；如果从棱上挖，表面积增加 2 个小正方体的 面，表面积变为6009 2618 平方厘米；如果从面上挖，表面积增加 4 个小正方体的面，表面积变 为6009 4636 平方厘米 练习4. 答案：696，768 简答： 如果只挖 6 个小正方体， 表面积会增加 24 个小正方形， 变成 22 6 10242696平方厘米 如 果打穿，表面积为 22 6 10622424768平方厘米 作业1. 答案：300 简答：切了 3 刀，增加了 6 个面切开后，立体图形的表面积为5 5 12300 作业2. 答案：384、392 或 400 平方厘米 简答：有挖角上、棱上与面上三种可能 作业3. 答案：3 简答：各挖掉一个小正方体后，表面积会增加 6 个小正方形的面积那么一个正方形的面积是 2454240069平方厘米，小正方体的棱长为 3 厘米 作业4. 答案：46，14 简答：从上面可以看到 9 个正方形；从左边可以看到 7 个正方形，还有一个看不到的，一共 8 个；从 前面可以看到 6 个正方形所以表面积为986246体积为 14 作业5. 答案：48，72 简答：旋转得到的圆柱底面半径为 2，高为 4441648V，42442472S
