1、第八章 立体几何初步第 1 课时 空间点、直线、平面之间的位置关系一、 填空题1. 线段 AB 在平面 内，则直线 AB 与平面 的位置关系是_(用符号表示)答案：AB解析：由公理 1 可知 AB.2. 已知 l，m ，n ，mnP，则点 P 与直线 l 的位置关系用相应的符号表示为_答案：Pl解析：因为 l，m ，n ，mnP，所以Pm，Pn，P，P，所以 Pl.3. 设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 若 ab，bc，则 ac； 若 ab，bc，则 ac； 若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； 若 ab，bc，则 ac.上述命题中正确的是_(填
2、序号)答案：解析：由公理 4 知正确；当 ab，bc 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错误；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错误；根据异面直线所成角的定义知正确4. 若直线 l1和 l2是异面直线，l 1在平面 内，l 2在平面 内，l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是_(填序号) l 与 l1，l 2都不相交； l 与 l1，l 2都相交； l 至多与 l1，l 2中的一条相交； l 至少与 l1，l 2中的一条相交答案：解析：若 l 与 l1，l 2都不相交，则 ll 1，ll 2，所以 l1l 2，这与 l1和 l2是异面直
3、线相矛盾，所以 l 至少与 l1，l 2中的一条相交故正确5. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别为 B1O 和 C1O 的中点，长方体的各棱中，与 EF 平行的有_条答案：4解析： EF 是OB 1C1的中位线， EFB 1C1. B1C1BCADA 1D1， 与 EF 平行的棱共有 4 条6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的有_对答案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而
4、 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对7. 已知 ABCDA1B1C1D1是正方体，点 O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论中错误的是_(填序号) A，M，C 1三点共线； M，O，A 1，A 四点共面； A，O，C，M 四点共面； B，B 1，O，M 四点共面答案：解析：作出图形，可知正确8. 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 是 AC 的中点，AA 1AB 1，则异面直线2AB1与 BD 所成的角为_答案：60解析：如图，取 A1C1的中点 E，连结 B1E，ED，AE，在 R
5、tAB 1E 中，AB 1E 即为所求，设 AB1，则 AA1 ，AB 1 ，B 1E ，故AB 1E60.2 3329. 如图，点 G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN是异面直线的图形有_(填序号)答案：解析：图中，直线 GHMN；图中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线GH 与 MN 异面；图中，连结 MG，GMHN，因此 GH 与 MN 共面；图中，G，M，N 共面，但 H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以图中 GH 与 MN 异面10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M, N 分别是 BC1，CD 1的
6、中点，则下列判断正确的是_(填序号) MN 与 CC1垂直； MN 与 AC 垂直； MN 与 BD 平行； MN 与 A1B1平行答案：解析：连结 B1C，B 1D1，则 MN 是B 1CD1的中位线， MNB 1D1. CC1B 1D1，ACB 1D1，BDB 1D1， MNCC 1，MNAC，MNBD，故正确 A 1B1与 B1D1相交， MN 与 A1B1不平行，因此错误二、 解答题11. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别为 D1C1，B 1C1的中点，ACBDP，A 1C1EFQ.(1) 求证：D，B，E，F 四点共面；(2) 作出直线 A1C 与平面 B
7、DEF 的交点 R 的位置(1) 证明：由于 CC1和 BF 在同一个平面内且不平行，故必相交设交点为 O，则OC1C 1C.同理直线 DE 与 CC1也相交，设交点为 O，则 OC 1C 1C，故 O与 O 重合由此可证得 DEBFO，故 D，B，F，E 四点共面(设为 )(2) 解：由于 AA1CC 1，所以 A1，A，C，C 1四点共面(设为 )PBD，而 BD，故 P.又 PAC，而 AC，所以 P，所以 P，同理可证得 Q，所以有 PQ.因为 A1C，所以 A1C 与平面 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点，连结 A1C，则 A1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点12. 如图
8、，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F 分别为 A1A ，C 1C 的中点，求证：四边形 EBFD1是菱形证明：如图，取 B1B 的中点 G，连结 GC1，EG， GBC 1F，且 GBC 1F， 四边形 C1FBG 是平行四边形， FBC 1G，且 FBC 1G. D 1C1EG，且 D1C1EG， 四边形 D1C1GE 为平行四边形， GC 1D 1E，且 GC1D 1E， FBD 1E，且 FBD 1E， 四边形 EBFD1为平行四边形 FBFD 1， 四边形 EBFD1是菱形13. 已知空间四面体 ABCD，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，C
9、D 上的点，且 CG BC，CH DC.求证：13 13(1) E，F，G，H 四点共面；(2) 三条直线 FH，EG，AC 共点证明：(1) 如图，连结 EF，GH. 点 E，F 分别是 AB，AD 的中点， EFBD. CG BC，CH DC，13 13 GHBD， EFGH， E，F，G，H 四点共面(2) 易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， 设 FHACM， M平面 EFHG，M平面 ABC. 平面 EFHG平面 ABCEG， MEG， 直线 FH，EG，AC 共点第 2 课时 直线与平面的位置关系(1)一、 填空题1. 直线 a，b 为异面直线，关于过直线 a 且与直线 b
10、平行的平面的情况，下列说法正确的是_(填序号) 有且只有一个； 有无数多个； 至多一个； 不存在答案：解析：在直线 a 上任选一点 A，过点 A 作 bb，则 b是唯一的，又 abA，所以 a 与 b确定一平面并且只有一个平面，故正确2. 对于不同直线 m，n 和不同平面 ，给出下列命题： Error! mn； Error!n； Error! m，n 不共面； Error!mn.其中假命题的个数是_答案：4解析：中 m 与 n 可能平行，也可能异面；中可能 n；中可能 mn 或 m 与 n相交；中不知道 与 的位置，无法判断 m 与 n 的位置关系故四个命题都不正确3. 若直线 l 与平面 不
11、平行，则下列结论正确的是_(填序号) 内的所有直线都与直线 l 异面； 内不存在与 l 平行的直线； 内的直线与 l 都相交； 直线 l 与平面 有公共点答案：解析：直线 l 与平面 不平行，则直线 l 与平面 有如下关系：l 或lA，故均不正确，正确4. 下列命题正确的是_(填序号) 若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面； 若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行； 若直线 a，b 和平面 满足 a，b，那么 ab； 若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b.答案：解析：根据线面平行的判定与性质定理知，正确5. 已知三条直线 a
12、，b，c 和平面 ，则下列推论正确的是_(填序号) 若 ab，b，则 a； 若 a，b，则 ab； 若 a，b，a，b 共面，则 ab； 若 ac，bc，则 ab.答案：解析：对于，可能有 a，故错；对于，a 与 b 可能平行、相交或异面，故错；对于，a 与 b 可能平行、相交或异面，故错；根据线面平行的性质定理知，正确6. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度为_答案： 2解析：因为 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，平面 AB1C平面 ABCDAC，所以 EFAC.又点 E 是 A
13、D 的中点，所以点 F 是 DC 的中点所以 EF AC .12 27. 过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有_条答案：6解析： 四条棱 AC，BC，A 1C1，B 1C1的中点中任意两点连线均与平面 ABB1A1平行，所以共有 6 条直线符合题意8. 如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 平行的是_(填序号)答案：解析：因为点 M，N，Q 分别为对应棱的中点，所以在中 AB 与平面 MNQ 相交，在中均有 ABMQ，在中，有 ABNQ，所以在中均
14、有 AB 与平面 MNQ 平行9. 如图，正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，点 E，F，G，H 分别是棱 C1C，C 1D1，D 1D，DC 的中点，点 N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则点 M 只需满足条件_时，就有 MN平面 B1BDD1.(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部的可能情况)答案：点 M 与点 H 重合(或点 M 在线段 FH 上)解析：当点 M 在线段 FH 上时，MN平面 B1BDD1.二、 解答题10. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 E，F 分别是棱 PC 和 PD的中点求证：EF平面 PAB.证
15、明：因为点 E，F 分别是棱 PC 和 PD 的中点，所以 EFCD.又在平行四边形 ABCD 中，ABCD，所以 EFAB，又 AB平面 PAB，EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB.11. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，点 E，F 分别为 BB1，AC 的中点求证：BF平面A1EC.证明：如图，连结 AC1交 A1C 于点 O，连结 OE，OF.在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 ACC1A1为平行四边形，所以 OAOC 1.因为点 F 为 AC 的中点，所以 OFCC 1且 OF CC1.12因为点 E 为 BB1的中点，所以 BECC 1且 BE CC1.12所以 BE
16、OF 且 BEOF，所以四边形 BEOF 是平行四边形，所以 BFOE.又 BF平面 A1EC，OE平面 A1EC，所以 BF平面 A1EC.12. 如图，已知 A，B，C，D 四点不共面，且AB，CD，ACE，ADF，BDH，BCG.求证：四边形 EFHG 是平行四边形证明： AB，平面 ABCEG， EGAB.同理 FHAB， EGFH.又 CD，平面 BCDGH. GHCD.同理 EFCD， GHEF. 四边形 EFHG 是平行四边形13. 如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D 1分别为 AC，A 1C1上的中点求证：(1) AD1平面 BDC1；(2) BD平面 AB1D
17、1.证明：(1) 因为点 D1，D 分别为 A1C1与 AC 的中点，四边形 ACC1A1为平行四边形，所以C1D1DA，C 1D1DA，所以四边形 ADC1D1为平行四边形，所以 AD1C 1D.又 AD1平面 BDC1，C 1D平面 BDC1，所以 AD1平面 BDC1.(2) 如图，连结 D1D，因为 BB1平面 ACC1A1，BB 1平面 BB1D1D，平面 ACC1A1平面 BB1D1DD 1D，所以 BB1D 1D.又 D1，D 分别为 A1C1与 AC 的中点，所以 BB1DD 1，故四边形 BDD1B1为平行四边形，所以 BDB 1D1.又 BD平面 AB1D1，B 1D1平面
18、 AB1D1，所以 BD平面 AB1D1.第 3 课时 直线与平面的位置关系(2)一、 填空题1. 设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面 内，则“l”是“lm 且 ln”的_条件答案：充分不必要解析：llm，ln.反之，因为 m，n 不一定相交，故 lm 且 ln 不一定推出 l.2. 下列条件中，能判定直线 l平面 的是_(填序号) l 与平面 内的两条直线垂直； l 与平面 内的无数条直线垂直； l 与平面 内的某一条直线垂直； l 与平面 内的任意一条直线垂直答案：解析：由线面垂直的定义及判定定理可知正确3. 下列说法正确的是_(填序号) 若平面外一条直线上有两点到平面的距离相
19、等，则这条直线平行于这个平面； 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线； 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面答案：解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，错误；正确；中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，错误4. 已知平面 ， 和直线 m，给出条件： m； m； m； .当满足条件_时，有 m.(填序号)答案：解析：若 m，则 m.故填.5. 已知 m，n 是两条不同的直线， 是一个平面，有下列四个命题： 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn； 若 m，n，则 mn； 若 m，mn，则
20、n.其中真命题是_(填序号)答案：6. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1，ACB90，点 D 是A1B1的中点，F 是 BB1上的动点，AB 1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段B1F_答案：12解析：设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所以 AB1DF.由已知，得 A1B1 .设 RtAA 1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE h.212又 2 h ，所以 h ，DE .2 22 （ 2） 2233 33在 RtDB 1E 中，B 1E .(22)2 (33)2 66由面积相等，得 x，解得 x .即线段 B1
21、F 的长为 .66 x2 (22)2 22 12 127. 如图，PA平面 ABC，在ABC 中 BCAC，则图中直角三角形的个数为_答案：4解析：Error! Error!BC平面 PACBCPC， 直角三角形有PAB，PAC，ABC，PBC.8. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A 1C1与平面 ABC1D1所成角的正弦值为_答案：12解析：如图，在平面 ADD1A1中作 A1EAD 1于点 E，连结 C1E，因为正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB平面 ADD1A1，所以 A1EAB.因为 AD1 ABA，AD 1，AB平面 ABC1D1，则 A1E平面 ABC1D1，所以A
22、1C1E 就是 A1C1与平面 ABC1D1所成的角，在 RtAA 1D1中，AA1A 1D1，A 1EAD 1，所以点 E 为 AD1的中点，且 A1E AD1 A1C1，所以 sinA 1C1E12 12 .A1EA1C1 129. 设 ， 是空间中两个不同的平面，m，n 是平面 及 外的两条不同的直线从“ mn ； ； n； m” 中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_(填序号)答案：或解析：因为当 n，m 时，平面 及 所成的二面角与直线 m，n 所成的角相等或互补，所以若 mn，则 ，从而由正确；同理也正确10. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，
23、底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB 13a，D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当 AF_时，CF平面B1DF.答案：a 或 2a解析：由题意可得 B1D平面 A1ACC1， CFB 1D， 为了使 CF平面 B1DF，只要使CFDF(或 CFB 1F)设 AFx，则 CD2DF 2FC 2， x23ax2a 20， xa 或x2a.二、 解答题11. 如图，在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为菱形，且 PA底面 ABCD，PAAC，点 E是 PA 的中点，点 F 是 PC 的中点，求证：(1) PC平面 BDE；(2) AF平面 BDE.证明：(1
24、) 连结 OE，因为点 O 为菱形 ABCD 对角线的交点，所以点 O 为 AC 的中点因为点 E 为 PA 的中点，所以 OEPC.因为 OE平面 BDE，PC平面 BDE，所以 PC平面 BDE.(2) 因为 PAAC，PAC 是等腰三角形，又点 F 是 PC 的中点，所以 AFPC.又 OEPC，所以 AFOE.因为 PA底面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 PA BD.因为 AC，BD 是菱形 ABCD 的对角线，所以 ACBD.又 PAACA，AC平面 PAC，PA 平面 PAC，所以 BD平面 PAC.又 AF平面 PAC，所以 AFBD .又 OEBDO，OE平面 BDE，
25、BD 平面 BDE，所以 AF平面 BDE.12. 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D 在边 BC 上，ADC 1D.(1) 求证： AD平面 BCC1B1；(2) 如果点 E 是 B1C1的中点，求证：A 1E平面 ADC1.证明：(1) 因为 ABCA1B1C1是正三棱柱，所以 CC1平面 ABC.又 AD平面 ABC，所以 CC1AD.又因为 ADC 1D，CC 1，C 1D平面 BCC1B1，CC 1C 1DC 1，所以 AD平面 BCC1B1.(2) 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，A 1B1A 1C1，点 E 是 B1C1的中点，所以 A1EB 1C1.因为 CC
26、1平面 A1B1C1，且 A1E平面 A1B1C1，所以 CC1A 1E.又因为 B1C1，CC 1平面 BCC1B1，B 1C1CC 1C 1，所以 A1E平面 BCC1B1.由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1EAD.又 A1E平面 ADC1，AD平面 ADC1，所以 A1E平面 ADC1.13. 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，CACB，AA 1 AB，D 是 AB 的中点若点 P 在线段2BB1上，且 BP BB1.求证：AP平面 A1CD.14证明： CACB，D 是 AB 的中点， CDAB. 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC侧面 A A1B1B，交线为
27、 AB，又 CD平面ABC， CD平面 AA1B1B. AP平面 A1B1BA， CDAP. BB 1 BA，BB 1AA 1 ，BP BB1，214 ，BPBA 24 ADAA1 RtABPRtA 1AD， AA 1DBAP， AA 1DA 1APBAPA 1AP90， APA 1D. CDA 1DD，CD平面 A1CD，A 1D平面 A1CD， AP平面 A1CD.第 4 课时 平面与平面的位置关系一、 填空题1. 设 ， 为互不重合的平面，m，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： 若 mn，n，则 m； 若 m，n，m，n，则 ； 若 ，m，n，则 mn； 若 ，m，n，nm，则 n
28、.其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：中没有强调 m 在平面 外；中没有强调 m，n 相交；中 m 与 n 有可能异面；正确2. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1，下列结论中正确的是_(填序号) AD 1BC 1； 平面 AB1D1平面 BDC1； AD 1DC 1； AD 1平面 BDC1.答案：解析：由四边形 ABC1D1是平行四边形可知 AD1BC 1，故正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，正确；AD 1与 DC1是异面直线，故错误3. 已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列说法中正确的序号是_ 若 m，n，则 mn； 若 m，nm，则 n； 若
29、 m，n，则 mn； 若 ，n，mn，则 m.答案：解析：对于，如图，m，n，此时 m，n 异面，故错误；对于，若 m，mn，则 n 或 n，故错误；对于，若 n，则 n 或 n，又 m， mn，故正确；对于，若 ，n，mn，则 m 也可能与 相交、平行或在 内，故错误4. 已知 和 是两个不重合的平面在下列条件中，可判定 的是_(填序号) 内有无数条直线平行于 ； 内不共线的三点到 的距离相等； l，m 是平面 内的直线，且 l，m； l，m 是异面直线且 l，m，l，m.答案：解析：由面面平行的判定定理可以推出5. 设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是_(填
30、序号) 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 ； 若 m，n，mn，则 .答案：解析：选项，由条件 n，mn 推出 m，又 m，易知 .6. 设 ， 是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，给出四个论断： b； a； ab ； a.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：_答案：或解析：若 b，a，ab，则 a，即；若b，a，a，则 ab，即 .7. ， 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的序号是_ 若 ，m，则 m； 若 m，n，则 mn； 若 ，n，mn，则 m； 若 n，n，m，则 m.答案：解析：由
31、 ， 为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，知：在中，若 ，m，则由面面平行的性质定理得 m，故正确；在中，若 m，n，则 mn 或 m 与 n 异面，故错误；在中，若 ，n，mn，则 m 与 相交、平行或 m，故错误；在中，若 n，m，则 mn，又由 n 得 m，故正确8. 如图，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有_对答案：5解析：由 PA平面 ABCD 知，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD.又 ADPA，且 ADAB，PAABA，DA平面 PAB， 平面 DPA平面 PAB.又 BC AD，BC平面 PAB， 平面 PBC平面 PAB，同
32、理 DC平面 PDA， 平面 PDC平面 PDA.9. 已知 ， 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，l，m，给出下列命题： lm； lm； ml； lm.其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：是面面平行的性质的应用，正确；，l，l，m 可平行，可相交，可异面，命题错误；m，l lm l 与 可平行，l 可在 内，l 可与 相交，命题错误；l，lm，命题正确10. 在棱长均相等的正四棱锥 PABCD 中，O 为底面正方形的中心，M，N 分别为侧棱PA，PB 的中点，有下列结论： PC平面 OMN； 平面 OMN平面 PAB； OMPA； 平面 PCD平面 OMN.其中正确结论的序号是
33、_答案：解析：如图所示，其中 E，F 分别为 AD，BC 的中点，连结 OE，OF，G 为 OE 的中点，连结 EM，MG，AC，BD，平面 OMN 即平面 MNOE.因为 M 为 PA 的中点，O 为 AC 的中点，所以 PCOM，所以 PC平面 OMN，同理 PD平面 OMN，所以平面 PCD平面 OMN，故正确由于四棱锥的棱长均相等，所以PA2PC 2AB 2BC 2AC 2，所以 PCPA.又 PCOM，所以 OMPA，故正确因为OM PC PDME，所以 MGOE.又 MNOE，所以 GMMN.假设平面 OMN平面 PAB，则12 12GM平面 PAB，则 MGPA，设四棱锥的棱长为
34、 4，则 MA2，AG ，MG ，三边长度不5 3满足勾股定理，所以 MG 不垂直 PA，与假设矛盾，故不正确二、 解答题11. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点求证：(1) B1C1平面 A1DE；(2) 平面 A1DE平面 ACC1A1.证明：(1) 因为 D，E 分别是 AB，AC 的中点，所以 DEBC.又因为在三棱柱 ABCA1B1C1中，B 1C1BC，所以 B1C1DE.又 B1C1平面 A1DE，DE平面 A1DE，所以 B1C1平面 A1DE.(2) 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC 1底面 ABC，又 DE底面 AB
35、C，所以 CC1DE.又 BCAC，DEBC，所以 DEAC.又 CC1，AC平面 ACC1A1，且 CC1ACC，所以 DE平面 ACC1A1.又 DE平面 A1DE，所以平面 A1DE平面 ACC1A1.12. 如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD, BCBD, 平面 ABD平面 BCD, 点 E，F(E 与A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：(1) EF平面 ABC；(2) ADAC.证明：(1) 在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2) 因为平面 ABD平面 BC
36、D，平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.13. 如图，在四面体 ABCD 中，平面 ABC平面 ACD，E，F，G 分别为 AB，AD，AC 的中点，ACBC，ACD90.(1) 求证：AB平面 EDC；(2) 若 P 为 FG 上任一点，求证：EP平面 BCD.证明：(1) 因为平面 ABC平面 ACD，ACD90，即 CDAC，平面 ABC 平面 ACDAC，CD平面 ACD，
37、所以 CD平面 ABC.又 AB平面 ABC，所以 CDAB.因为 ACBC，E 为 AB 的中点，所以 CEAB.又 CECDC，CD平面 EDC，CE 平面 EDC，所以 AB平面 EDC.(2) 连结 EF，EG，因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EFBD.又 BD平面 BCD，EF平面 BCD，所以 EF平面 BCD.同理可证 EG平面 BCD，且 EFEGE，EF平面 BCD，EG平面 BCD，所以平面 EFG平面 BCD.又 P 为 FG 上任一点，所以 EP平面 EFG，所以 EP平面 BCD.第 5 课时 空间几何体的表面积和体积一、 填空题1. 已知圆锥的侧面展
38、开图为一个圆心角为 120，且面积为 3 的扇形，则该圆锥的体积为_答案：223解析：设圆锥的母线为 l，底面半径为 r，因为 3 l 2，所以 l3，由 2r13，得 r1，所以圆锥的高是 2 ，所以圆锥的体积是 1 22 120 l180 2 13 2.2232. 如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AA 11 cm，则三棱锥 D1A1BD 的体积为_cm 3.答案：32解析：三棱锥 D1A1BD 的体积等于三棱锥 BA1D1D 的体积，因为三棱锥 BA1D1D 的高等于AB，A 1D1D 的面积为矩形 AA1D1D 的面积的 ，所以三棱锥 BA1D1D 的体积是正
39、四棱柱12ABCDA1B1C1D1的体积的 ，所以三棱锥 D1A1BD 的体积为 321 .16 16 323. 若正四棱锥的底面边长为 2 cm，侧面积为 8 cm，则它的体积为_cm 3.答案：433解析：因为正四棱锥的底面边长为 2，侧面积为 8，所以底面周长 c8， ch8，12所以斜高 h2，所以正四棱锥的高 h ，所以正四棱锥的体积为 22 .313 3 4334. 底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥的体积为_3答案：43解析：底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥的高为 1，底面积为 4，则体积为 .3435. 设 M，N 分别为三棱锥 P ABC 的棱 AB，PC 的中点，三棱
40、锥 P ABC 的体积记为V1，三棱锥 P AMN 的体积记为 V2，则 _V2V1答案：14解析：设AMN 的面积为 S，点 P 到平面 AMN 的距离为 h，则 V2 Sh，而13V12 2Sh，则 . 13 V2V1 146. 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAA 13，点 P 在棱 CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_答案： 934解析：三棱锥的底 SABA 1 33 ，点 P 到底面 ABA1的距离为ABC 的高：h12 92，故三棱锥的体积 V Sh .32 3 13 9347. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点 E 是棱 B1B 的中点，
41、则三棱锥 B1ADE 的体积为_答案：112解析：三棱锥 B1ADE 的体积三棱锥 DB1AE 的体积 1 1 .13 12 12 1128. 若一个正方体与底面边长为 2 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相等，则该正方3 10体的棱长为_答案：2解析：底面边长为 2 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积为 8，则该正方体的棱长为 2.3 109. 已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的球322 3的表面积为_答案：24解析：设正四棱锥的高为 h，则 ( )2h ，解得高 h .则底面正方形的对角13 3 322 322线长为 ，所以 OA ，所以球的表面积为
42、 4( )224.2 3 6 (322)2 (62)2 6 610. 将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为O，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 OEFG 体积的最大值是_答案：4解析：因为将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为 O，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥 OEFG 的高为圆柱的高，即高为 AB，所以当三棱锥 OEFG 体积取最大值时，EFG 的面积最大，当 EF 为直径，且点 G 在 EF 的垂直平分线上时，(S EFG )max 424，12所以三棱锥 O
43、EFG 体积的最大值 Vmax (SEFG )maxAB 434.13 13二、 解答题11. 如图，在三棱锥 DABC 中，已知BCD 是正三角形，AB平面 BCD，ABBCa，E为 BC 的中点，F 在棱 AC 上，且 AF3FC.(1) 求三棱锥 DABC 的体积；(2) 若 M 为 DB 中点，N 在棱 AC 上，且 CN CA，求证：MN平面 DEF.38(1) 解：因为BCD 是正三角形，且 ABBCa，所以 SBCD a2.34因为 AB平面 BCD，所以 VDABCV A BCD SBCD AB a2a a3.13 13 34 312(2) 证明：连结 CM，设 CMDEO，连结 OF.则 O 为BCD 的重心，CO CM.23因为 CN CA，AF3FC，所以 CF CN，所以 MNOF.因为 OF平面 DEF，MN平面38 23DEF，所以 MN平面 DEF.12. 如图，在三棱锥 PABC
