1、广东省 14 市 2019 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（东莞市 2019 届高三上学期期末）已知某几何体的三视图如图 1 所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为A、1 B、3 C、2 D、442、（广州市 2019 届高三 12 月调研考试）如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A6 B7 C D23233、（惠州市 2019 届高三第三次调研考试）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。ABCD216316833268364、（江门市 2019 届普通高中高三调研）已知两条直线 ，两个平面 ，给出下mn、 、
2、面四个命题： /,/mn/,n 或 n/其中，正确命题的个数是（ ）A1 B 2 C3 D45、（揭阳市 2019 届高三上学期期末）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为A B C D4166、（雷州市 2019 届高三上学期期末）正四面体 中， 在平面 内，点 是线ABCDE段 的中点，在该四面体绕 旋转的过程中，直线 与平面 所成角不可能是ACCDEA B C D06327、 （茂名市 2019 届高三上期末）如图 2，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A、6 B、18 C、12 D、36
3、8、（清远市 2019 届高三上期末）如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为 A. B. 8- C. D.8+3163232329、（汕头市 2019 届高三上学期期末）已知一个简单几何体的三视图如图所示， 若该几何体的体积为 24+48， 则 r =A、2 B、4 C、1 D、3 10、（汕尾市 2019 届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C D 231435611、（韶关市 2019 届高三上学期期末）已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长和侧棱长都相等，侧棱 AA1底面 ABC，则直线 BC1 与 AC 所成角
4、的余弦值是A、 B、 C、 D、一2424212、（肇庆市 2019 届高三上学期期末）在长方体 中，1ABCD， 是 的中点，则三棱锥 外接球的表面积为12EABEA B C D36329813、（珠海市 2019 届高三上学期期末）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A、 B、 C、 D、43238342314、（佛山市 2019 届高三上学期期末）参考答案一、填空题1、A 2、B 3、D 4、B 5、C6、D 7、A 8、B 9、A 10、A11、A 12、B 13、B 14、D二、解答题1、（东莞市 2019 届
5、高三上学期期末）如图所示，在四棱锥 P 一 ABCD 中，底面 ABCD为菱形，PA 底面 ABCD，点 M 是 PC 上的一个动点，PAAB ，DAB 3(1)当 PCDM 时，求证：PCBM；(2)当 PA平面 MBD 时，求二面角 P 一 BDM 的余弦值2、（广州市 2019 届高三 12 月调研考试）如图，多面体 中，四边形ABCDEF为矩形，二面角 为 ，ABCDACDF60， ， ， EF ,2E36（1）求证： 平面 ；（2）在线段 上求一点 ，使锐二面角 的余弦值为 CFGBEGD143、（惠州市 2019 届高三第三次调研考试）在四棱锥 中，侧面 底面PABCDPA，底面
6、为直角梯形， ， ， ，ABCDBC091， ， 为 的中点， 为 的中点。2AD3PEADFPC（1）求证： 平面 ；BF（2）求二面角 的余弦值。4、（江门市 2019 届普通高中高三调研）如下图，三棱柱 中，侧面1ABC是菱形， 1BC1ABC（1）证明： ；（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦11,32AB1AB1C值 BCC1A1B15、（揭阳市 2019 届高三上学期期末）如图，在三棱锥 P-ABC 中，正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，ABBC ，O 是 AC 中点，OHPC 于 H.（1）证明：PC平面 BOH；（2）若 ，求二面角 A-BH
7、-O 的余弦值3OHBOHCBAP6、（雷州市 2019 届高三上学期期末）如图，三棱柱 的所有棱长都是 ，1CBA2平面 ， ， 分别是 ， 的中点1ABCDEAC1（I）证明： 平面 ； 1（II）求二面角 的余弦值7、 （茂名市 2019 届高三上期末）已知在三棱锥 P-ABC 中，ABBC AC，PABPAC。（I）求证：PABC ；（II）若 ABPA2， cos.PAB ，求二面角 BPA 一 C 的平面角的余弦值348、（清远市 2019 届高三上期末）如图，三棱柱 中，1ABC侧面 是菱形， 1BC1ABC（I）证明： ；（II）若 ， ，231求直线 与平面 所成角的余弦值1
8、1ABCC1A1B19、（汕头市 2019 届高三上学期期末）如图(1)， 已知ABC 是边长为 6 的等边三角形， 点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足 AD CE 2 ， 如图(2)， 将ADE 沿 DE 折成四棱锥 A 1 BCED ， 且有平面 A 1DE 平面 BCED (1)求证： A1D 平面 BCED ；(2)记 A1E 的中点为 M ， 求二面角 M DC A 1 的余弦值10、（汕尾市 2019 届高三上学期期末）如图，在四棱锥 中，ABCD 为矩形，PABCDAPB 是以 P 为直角的等腰直角三角形，平面 PAB平面 ABCD。（）证明：平面 PAD平
9、面 PBC；（）M 为直线 PC 的中点，且 ,求二面角 的正弦值。2APDAMDB11、（韶关市 2019 届高三上学期期末） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，BAD60，PAPD AD，平面 PAD平面 ABCD。2（1）求证：ADPB；（2）求二面角 A-PC-D 的余弦值。12、 （肇庆市 2019 届高三上学期期末）如图，在四棱锥 中，底面 是平SABCDAB行四边形，侧面 是等边三角形， .SBCSB（1）证明： ；A（2）若 ， ，求二面角 的余弦值.13、（珠海市 2019 届高三上学期期末）四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面ABC底
10、面 BCDE，侧面 ABE底面 BCDE，BC2，CD4。（I）证明：AB面 BCDE；（II）若 AD2 ，求二面角 CADE 的正弦值。614、（佛山市 2019 届高三上学期期末）参考答案二、解答题1、2、解：（1）因为四边形 为矩形，ABCD所以 .B因为 平面 ， 平面 ，EE所以 平面 1 分同理 平面 2 分CF ADE又因为 ，所以平面 平面 3BBCF ADE分因为 平面 ，所以 平面 4F分（2）法一：因为 ，,CDAE所以 是二面角 的平面角，即 5 分CDF60ADE因为 ，所以 平面 .ADECDAE因为 平面 ,CF所以平面 平面 .EA作 于点 ，则 平面 . 6
11、 分AODOCDEF由 , 得 ， 2,3E12以 为原点，平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，CxEyOAz建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则0,3,1,0,(0,2)(3,50)ACDEF，3,OBA，7 分设 30Gt， ， ， ，15t则 23BE， ， 03BGt， ，设平面 的法向量为 ， xyz， ，mO MHABC ED FG则由 得 ，取0,mBEG:320,xyzt2,3,xtyzt得平面 的一个法向量为 ， 8 分,tm又平面 的一个法向量为 ， 9 分DE(0,1)n所以 ， 10 分2341cost，m所以 ，2314t=解得 或 （舍去
12、）， 11 分tt此时 ，得 .14CGF32CF即所求线段 上的点 满足 12 分G法二：作 于点 ，作 的延长线于点 ，连结 BOCFOHEHB因为 ，,DBCF所以 平面 ， 5 分C为二面角 的平面角， 6 分BFAF60CF所以 CDO因为 ，CDF所以 平面 ， 7 分BOBOEH因为 ，,HE所以 平面 8 分B所以 ， 为二面角 的平面角 9 分EOBEGD在 中， ，RtBC2,60C所以 3,1又因为 ，所以 ， 10cos4BHOtan15BOHH分作 于 ，则 ， ，EMCFGEM:3,3CDE设 ，则 ，即 ， 11 分OGxHE259xx解得 ，即所求线段 上的点
13、满足 12 分12CFG32C3、【解析】（1）连接 交 于 ，并连接 ， ， 1 分 鈰 嫰鈰 嫰 / /， ， 为 中点， ，且 ，=12 =四边形 为平行四边形， 2 分为 中点，又 为 中点， ， 3 分 鈰 嫰鈰 嫰 / /平面 ， 平面 ， 平面 . 4 分 （2）解法 1（向量法）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ， =3得 则 ，侧面 底面 ，且交于 ， 面 ， 5 分如图所示，以 E 为原点，EA、EB、EP 分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系， 6 分则 ， ， ，C .(0,0,0) (0,1,0) 为 的中点，F ， 7 分设平面 F 法向量为 ，则 , 8 分取
14、 , 9 分平面法向量可取： , 10 分设二面角 F-BE-A 的大小为 ，显然 为钝角， , 11 分二面角 F-BE-A 的余弦值为 12 分（2）解法 2（几何法 1）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ， =3得 ， 5 分取 中点 ，连 ， ， ， 侧面 底面 ，且交于 ， ， 面 ， 6 分 为 的中点， ，/MEA 为二面角 F-BE-A 的平面角 8 分在 中， ， 9 分在 中，由余弦定理得 10 分在 中，由余弦定理得 cosMEA ， 11 分所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 . 12 分（2）解法 3（几何法 2）连接 ，由 E 为 AD 的中点及 ，得 侧面 底
15、面 ， 面 ， 5 分 ，连 交 于点 ，则 为 中点，连 ， ， ， 为 的中点， ， 面 ， 6 分/ 鈰 嫰鈰 嫰 / /又 ，/FNQ 为二面角 F-BE-A 的平面角的补角 8 分在 中， ， 8 分由勾股定理得 9 分cosFNQ ， 11 分=33所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 . 12 分4、 （1）连接 交 于点 ，连接 ， 四边形 为菱形， 且1BCOA1BC1BC为 中点O平面 1 2 分111,ABC平面 ， 3 分为 中点， 为 的垂直平分线， 4 分1BC1 1AB（2）不妨设 ，则 ，2AB13,OCO5 分21, 4又 平面 6 分O1B（方法一）以 为原
16、点， 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 1Axyz7 分则 、 、 、 8 分(0,1)A(3,0)B1(,0)(,)C设平面 的一个法向量为 ，则 9 分ABC(,)nabc30nABacCb，设 10 分3bca1,3直线 与平面 所成角的正弦值，1即直线 与平面 所成角的正弦值为 ABC11234cos, 7nAB12 分 ABCC1A1B1Ox yz（方法二）设点 到平面 的距离为 ，1Ah三棱锥 的体积 6 分AC133BCVS三棱锥 的体积 8 分1B76Ah解 得 10 分736h27直线 与平面 所成角的正弦值，即直线 与平面 所成角的正弦值为1A1C1BAC12 分
17、12347B5、解：（1）ABBC，O 是 AC 中点， BOAC，-1 分又平面 PAC平面 ABC，且 平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC， BO平面 PAC，-3 分 BOPC，又 OHPC，BOOHO ， PC平面 BOH；-5 分（2）易知 POAC，又 BO 平面 PAC，如图，以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 O-xyz，由 易知 ，OC2，3H3P， ，cos0y3sin0HzO ， ， ，(,2)A(,)B(,)2(20),(3)CP， ，-7 分3,073,设平面 ABH 的法向量为 ，()mxyz则 ， ，取 x=2，得 ，-9 分0A
18、H2073(2,37)m由（1）知 是平面 BHO 的法向量，易知 ，-10 分PC0,PC设二面角 A-BH-O 的大小为 ，显然 为锐角，则 ，cos|,|m|2314|562347 二面角 A-BH-O 的余弦值为 -12 分4276、（I）证明： ， 是 的中点， ， CABDACBD1 分 平面 ，平面 平面 ，2 分A1 平面 ， 3 分BD1AEB又在正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，CDC1 4 分AE1又 ， 平面 5 分BBA1（II）解：取 中点 ，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，1CFDxyz6 分xyzFEDA1 AC1 CB1 B， ， ， ，7
19、分)0,(D),(E)3,0(B)3,02(1， ， ，3, B, ，8)1(分设平面 的一个法向量为 m ，则 ，DBE),(zyx 030yxzmDEB令 ，则 m ，9 分1x)0,(设平面 的一个法向量为 n ，则 ，EB1),(cba 03201cbanEB令 ，则 n ，10 分3c)3,0( ，1146|,osm分设二面角 1BED的平面角为 ，观察可知 为钝角， ，故二面角 1BE的余弦值为 12 分46cos 467、 （1）证明：设 E为 BC的中点，连结 A， PAP,B1 分又 CEBP2 分ECBA,中在 EBC3分又 PAEPAP面面点 ,EBC面4 分又 面A5
20、分（2）解法 1：作 PABF于点 ，连结 CF6分 C,FAB,7分 PACF8分 B为二面角 C的一个平面角 9分4731cos1sin22BAFBAF7inC10 分71422cos FBCF11 分所以二面角 PA的平面角的余弦值为 12 分解法 2： 24324cos22 PABB1EP2EA6 分建立坐标系如右图所示，则 ,)01(),3(BA)1,0(,PC33A7 分设平面 P的一个法向量为 ),(11yxn，则由 01BAn得 031解得13yx)1,3(1n8 分设平面 PAC的一个法向量为 ,22yx，则由 02n得 0312yx解得13y)1,3(29 分 371 ,2
21、121 nn73,cos212111 分所以二面角 CPAB的平面角的余弦值为 712 分8、解：（I）证明：连接 1交 B于点 O，连接 A， 四边形 1BC为菱形，1BC且 O为 C中点 1 分 11,A平面 C 2 分平面 ， BA 3 分为 1BC中点， 为 1C的垂直平分线， 1AB 4 分（II）已知 2A， 31，故 21C由（I）知 1则2121B， 1又 1, 4,2CBOAOB 5 分又 A平面 1C 6 分故以 为原点， 、 1B、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 Oxyz 7 分则 (0,1)A、 (3,0)B、 1(,0)、 (,10)C8 分设平面 C的一个法向
22、量为 ,nabc，则 30nABacb9 分3bca，设 (1,3) 10 分设直线 1AB与平面 所成角为 则 1124sino, 7nAB 11 分故直线 1与平面 1C所成角的余弦值为 12 分ABCC1A1B1Ox yz9、10、11、12、解：（1）取 的中点 ，连接 ，因为 是等边三角形，所以BSOCA， SBC，又 ，所以 .BSCO,AO面又 ，所以 . 3 分A面 又 是 的中点，所以 4S分（2）设 ，依题意可得 ， ， .因为2BS1AO3C2AS，所以 .AOC又由（1）知， ，,S如图以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系 OAxyz6 分OD
23、BCSAyxz则 ， ， ， ，0,1A,0,301,0B， ，设面 的一个法向量为 ，则AD1,nxyz，即 ，10ASnD:103xzy得方程的一组解为 ，即 8 分113z13,n， ，设面 的一个法向量为 ，则,0CDBA,0SCSDC22,nxyz，即 ，2Sn:23xyz得方程的一组解为 ，即 102213yz23,1n分111212cos, 7n:分所以二面角 的余弦值为 . 12ASDC17分13、解： 由侧面 底面 ，且交线为 ，底面 为矩形(1)BEBCDE所以 平面 ，又 平面 ，所以 .2 分EAAAB由面 面 ，同理可证 ，又 面 .4ACDC分在底面 中， ，(2)BE2245BCD由 面 ，故 ,.5ACA20AB分以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，B,EB,xyz则 , .6(0,2)(4,0)(,)(02)DA(0,2)(4,0)CD分 设平面 的法向量 ，则 ，取CAD(,)mxyz.0204ACyzxD (,1)m所以平面 的法向量 ，同理可求得平面 的法向量 10 分0,1E,2n设二面角 的平面角为 ，则E.21015cossi5.mn故所求二面角 的正弦值CAD为 12 分1514、
