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广东省14市2019届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何

1、广东省 14 市 2019 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、(东莞市 2019 届高三上学期期末)已知某几何体的三视图如图 1 所示(侧视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的体积为A、1 B、3 C、2 D、442、(广州市 2019 届高三 12 月调研考试)如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为A6 B7 C D23233、(惠州市 2019 届高三第三次调研考试)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何的体积为( )立方单位。ABCD216316833268364、(江门市 2019 届普通高中高三调研)已知两条直线 ,两个平面 ,给出下mn、 、

2、面四个命题: /,/mn/,n 或 n/其中,正确命题的个数是( )A1 B 2 C3 D45、(揭阳市 2019 届高三上学期期末)某几何体示意图的三视图如图示,已知其主视图的周长为 8,则该几何体侧面积的最大值为A B C D4166、(雷州市 2019 届高三上学期期末)正四面体 中, 在平面 内,点 是线ABCDE段 的中点,在该四面体绕 旋转的过程中,直线 与平面 所成角不可能是ACCDEA B C D06327、 (茂名市 2019 届高三上期末)如图 2,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则此几何体的体积为( )A、6 B、18 C、12 D、36

3、8、(清远市 2019 届高三上期末)如图为某几何体的三视图,图中的三个正方形的边长均为 2,则该几何体的体积为 A. B. 8- C. D.8+3163232329、(汕头市 2019 届高三上学期期末)已知一个简单几何体的三视图如图所示, 若该几何体的体积为 24+48, 则 r =A、2 B、4 C、1 D、3 10、(汕尾市 2019 届高三上学期期末)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A B C D 231435611、(韶关市 2019 届高三上学期期末)已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长和侧棱长都相等,侧棱 AA1底面 ABC,则直线 BC1 与 AC 所成角

4、的余弦值是A、 B、 C、 D、一2424212、(肇庆市 2019 届高三上学期期末)在长方体 中,1ABCD, 是 的中点,则三棱锥 外接球的表面积为12EABEA B C D36329813、(珠海市 2019 届高三上学期期末)如图是某几何体的三视图,其中正视图和侧视图为正方形,俯视图是腰长为 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )A、 B、 C、 D、43238342314、(佛山市 2019 届高三上学期期末)参考答案一、填空题1、A 2、B 3、D 4、B 5、C6、D 7、A 8、B 9、A 10、A11、A 12、B 13、B 14、D二、解答题1、(东莞市 2019 届

5、高三上学期期末)如图所示,在四棱锥 P 一 ABCD 中,底面 ABCD为菱形,PA 底面 ABCD,点 M 是 PC 上的一个动点,PAAB ,DAB 3(1)当 PCDM 时,求证:PCBM;(2)当 PA平面 MBD 时,求二面角 P 一 BDM 的余弦值2、(广州市 2019 届高三 12 月调研考试)如图,多面体 中,四边形ABCDEF为矩形,二面角 为 ,ABCDACDF60, , , EF ,2E36(1)求证: 平面 ;(2)在线段 上求一点 ,使锐二面角 的余弦值为 CFGBEGD143、(惠州市 2019 届高三第三次调研考试)在四棱锥 中,侧面 底面PABCDPA,底面

6、为直角梯形, , , ,ABCDBC091, , 为 的中点, 为 的中点。2AD3PEADFPC(1)求证: 平面 ;BF(2)求二面角 的余弦值。4、(江门市 2019 届普通高中高三调研)如下图,三棱柱 中,侧面1ABC是菱形, 1BC1ABC(1)证明: ;(2)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦11,32AB1AB1C值 BCC1A1B15、(揭阳市 2019 届高三上学期期末)如图,在三棱锥 P-ABC 中,正三角形 PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直,ABBC ,O 是 AC 中点,OHPC 于 H.(1)证明:PC平面 BOH;(2)若 ,求二面角 A-BH

7、-O 的余弦值3OHBOHCBAP6、(雷州市 2019 届高三上学期期末)如图,三棱柱 的所有棱长都是 ,1CBA2平面 , , 分别是 , 的中点1ABCDEAC1(I)证明: 平面 ; 1(II)求二面角 的余弦值7、 (茂名市 2019 届高三上期末)已知在三棱锥 P-ABC 中,ABBC AC,PABPAC。(I)求证:PABC ;(II)若 ABPA2, cos.PAB ,求二面角 BPA 一 C 的平面角的余弦值348、(清远市 2019 届高三上期末)如图,三棱柱 中,1ABC侧面 是菱形, 1BC1ABC(I)证明: ;(II)若 , ,231求直线 与平面 所成角的余弦值1

8、1ABCC1A1B19、(汕头市 2019 届高三上学期期末)如图(1), 已知ABC 是边长为 6 的等边三角形, 点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点,且满足 AD CE 2 , 如图(2), 将ADE 沿 DE 折成四棱锥 A 1 BCED , 且有平面 A 1DE 平面 BCED (1)求证: A1D 平面 BCED ;(2)记 A1E 的中点为 M , 求二面角 M DC A 1 的余弦值10、(汕尾市 2019 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 中,ABCD 为矩形,PABCDAPB 是以 P 为直角的等腰直角三角形,平面 PAB平面 ABCD。()证明:平面 PAD平

9、面 PBC;()M 为直线 PC 的中点,且 ,求二面角 的正弦值。2APDAMDB11、(韶关市 2019 届高三上学期期末) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,BAD60,PAPD AD,平面 PAD平面 ABCD。2(1)求证:ADPB;(2)求二面角 A-PC-D 的余弦值。12、 (肇庆市 2019 届高三上学期期末)如图,在四棱锥 中,底面 是平SABCDAB行四边形,侧面 是等边三角形, .SBCSB(1)证明: ;A(2)若 , ,求二面角 的余弦值.13、(珠海市 2019 届高三上学期期末)四棱锥 ABCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面ABC底

10、面 BCDE,侧面 ABE底面 BCDE,BC2,CD4。(I)证明:AB面 BCDE;(II)若 AD2 ,求二面角 CADE 的正弦值。614、(佛山市 2019 届高三上学期期末)参考答案二、解答题1、2、解:(1)因为四边形 为矩形,ABCD所以 .B因为 平面 , 平面 ,EE所以 平面 1 分同理 平面 2 分CF ADE又因为 ,所以平面 平面 3BBCF ADE分因为 平面 ,所以 平面 4F分(2)法一:因为 ,,CDAE所以 是二面角 的平面角,即 5 分CDF60ADE因为 ,所以 平面 .ADECDAE因为 平面 ,CF所以平面 平面 .EA作 于点 ,则 平面 . 6

11、 分AODOCDEF由 , 得 , 2,3E12以 为原点,平行于 的直线为 轴, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,CxEyOAz建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则0,3,1,0,(0,2)(3,50)ACDEF,3,OBA,7 分设 30Gt, , , ,15t则 23BE, , 03BGt, ,设平面 的法向量为 , xyz, ,mO MHABC ED FG则由 得 ,取0,mBEG:320,xyzt2,3,xtyzt得平面 的一个法向量为 , 8 分,tm又平面 的一个法向量为 , 9 分DE(0,1)n所以 , 10 分2341cost,m所以 ,2314t=解得 或 (舍去

12、), 11 分tt此时 ,得 .14CGF32CF即所求线段 上的点 满足 12 分G法二:作 于点 ,作 的延长线于点 ,连结 BOCFOHEHB因为 ,,DBCF所以 平面 , 5 分C为二面角 的平面角, 6 分BFAF60CF所以 CDO因为 ,CDF所以 平面 , 7 分BOBOEH因为 ,,HE所以 平面 8 分B所以 , 为二面角 的平面角 9 分EOBEGD在 中, ,RtBC2,60C所以 3,1又因为 ,所以 , 10cos4BHOtan15BOHH分作 于 ,则 , ,EMCFGEM:3,3CDE设 ,则 ,即 , 11 分OGxHE259xx解得 ,即所求线段 上的点

13、满足 12 分12CFG32C3、【解析】(1)连接 交 于 ,并连接 , , 1 分 鈰 嫰鈰 嫰 / /, , 为 中点, ,且 ,=12 =四边形 为平行四边形, 2 分为 中点,又 为 中点, , 3 分 鈰 嫰鈰 嫰 / /平面 , 平面 , 平面 . 4 分 (2)解法 1(向量法)连接 ,由 E 为 AD 的中点及 , =3得 则 ,侧面 底面 ,且交于 , 面 , 5 分如图所示,以 E 为原点,EA、EB、EP 分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 6 分则 , , ,C .(0,0,0) (0,1,0) 为 的中点,F , 7 分设平面 F 法向量为 ,则 , 8 分取

14、 , 9 分平面法向量可取: , 10 分设二面角 F-BE-A 的大小为 ,显然 为钝角, , 11 分二面角 F-BE-A 的余弦值为 12 分(2)解法 2(几何法 1)连接 ,由 E 为 AD 的中点及 , =3得 , 5 分取 中点 ,连 , , , 侧面 底面 ,且交于 , , 面 , 6 分 为 的中点, ,/MEA 为二面角 F-BE-A 的平面角 8 分在 中, , 9 分在 中,由余弦定理得 10 分在 中,由余弦定理得 cosMEA , 11 分所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 . 12 分(2)解法 3(几何法 2)连接 ,由 E 为 AD 的中点及 ,得 侧面 底

15、面 , 面 , 5 分 ,连 交 于点 ,则 为 中点,连 , , , 为 的中点, , 面 , 6 分/ 鈰 嫰鈰 嫰 / /又 ,/FNQ 为二面角 F-BE-A 的平面角的补角 8 分在 中, , 8 分由勾股定理得 9 分cosFNQ , 11 分=33所以二面角 F-BE-A 的余弦值为 . 12 分4、 (1)连接 交 于点 ,连接 , 四边形 为菱形, 且1BCOA1BC1BC为 中点O平面 1 2 分111,ABC平面 , 3 分为 中点, 为 的垂直平分线, 4 分1BC1 1AB(2)不妨设 ,则 ,2AB13,OCO5 分21, 4又 平面 6 分O1B(方法一)以 为原

16、点, 、 、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 1Axyz7 分则 、 、 、 8 分(0,1)A(3,0)B1(,0)(,)C设平面 的一个法向量为 ,则 9 分ABC(,)nabc30nABacCb,设 10 分3bca1,3直线 与平面 所成角的正弦值,1即直线 与平面 所成角的正弦值为 ABC11234cos, 7nAB12 分 ABCC1A1B1Ox yz(方法二)设点 到平面 的距离为 ,1Ah三棱锥 的体积 6 分AC133BCVS三棱锥 的体积 8 分1B76Ah解 得 10 分736h27直线 与平面 所成角的正弦值,即直线 与平面 所成角的正弦值为1A1C1BAC12 分

17、12347B5、解:(1)ABBC,O 是 AC 中点, BOAC,-1 分又平面 PAC平面 ABC,且 平面 ABC,平面 PAC平面 ABCAC, BO平面 PAC,-3 分 BOPC,又 OHPC,BOOHO , PC平面 BOH;-5 分(2)易知 POAC,又 BO 平面 PAC,如图,以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,由 易知 ,OC2,3H3P, ,cos0y3sin0HzO , , ,(,2)A(,)B(,)2(20),(3)CP, ,-7 分3,073,设平面 ABH 的法向量为 ,()mxyz则 , ,取 x=2,得 ,-9 分0A

18、H2073(2,37)m由(1)知 是平面 BHO 的法向量,易知 ,-10 分PC0,PC设二面角 A-BH-O 的大小为 ,显然 为锐角,则 ,cos|,|m|2314|562347 二面角 A-BH-O 的余弦值为 -12 分4276、(I)证明: , 是 的中点, , CABDACBD1 分 平面 ,平面 平面 ,2 分A1 平面 , 3 分BD1AEB又在正方形 中, , 分别是 , 的中点,CDC1 4 分AE1又 , 平面 5 分BBA1(II)解:取 中点 ,以 , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系,1CFDxyz6 分xyzFEDA1 AC1 CB1 B, , , ,7

19、分)0,(D),(E)3,0(B)3,02(1, , ,3, B, ,8)1(分设平面 的一个法向量为 m ,则 ,DBE),(zyx 030yxzmDEB令 ,则 m ,9 分1x)0,(设平面 的一个法向量为 n ,则 ,EB1),(cba 03201cbanEB令 ,则 n ,10 分3c)3,0( ,1146|,osm分设二面角 1BED的平面角为 ,观察可知 为钝角, ,故二面角 1BE的余弦值为 12 分46cos 467、 (1)证明:设 E为 BC的中点,连结 A, PAP,B1 分又 CEBP2 分ECBA,中在 EBC3分又 PAEPAP面面点 ,EBC面4 分又 面A5

20、分(2)解法 1:作 PABF于点 ,连结 CF6分 C,FAB,7分 PACF8分 B为二面角 C的一个平面角 9分4731cos1sin22BAFBAF7inC10 分71422cos FBCF11 分所以二面角 PA的平面角的余弦值为 12 分解法 2: 24324cos22 PABB1EP2EA6 分建立坐标系如右图所示,则 ,)01(),3(BA)1,0(,PC33A7 分设平面 P的一个法向量为 ),(11yxn,则由 01BAn得 031解得13yx)1,3(1n8 分设平面 PAC的一个法向量为 ,22yx,则由 02n得 0312yx解得13y)1,3(29 分 371 ,2

21、121 nn73,cos212111 分所以二面角 CPAB的平面角的余弦值为 712 分8、解:(I)证明:连接 1交 B于点 O,连接 A, 四边形 1BC为菱形,1BC且 O为 C中点 1 分 11,A平面 C 2 分平面 , BA 3 分为 1BC中点, 为 1C的垂直平分线, 1AB 4 分(II)已知 2A, 31,故 21C由(I)知 1则2121B, 1又 1, 4,2CBOAOB 5 分又 A平面 1C 6 分故以 为原点, 、 1B、 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 Oxyz 7 分则 (0,1)A、 (3,0)B、 1(,0)、 (,10)C8 分设平面 C的一个法向

22、量为 ,nabc,则 30nABacb9 分3bca,设 (1,3) 10 分设直线 1AB与平面 所成角为 则 1124sino, 7nAB 11 分故直线 1与平面 1C所成角的余弦值为 12 分ABCC1A1B1Ox yz9、10、11、12、解:(1)取 的中点 ,连接 ,因为 是等边三角形,所以BSOCA, SBC,又 ,所以 .BSCO,AO面又 ,所以 . 3 分A面 又 是 的中点,所以 4S分(2)设 ,依题意可得 , , .因为2BS1AO3C2AS,所以 .AOC又由(1)知, ,,S如图以 为原点, 分别为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系 OAxyz6 分OD

23、BCSAyxz则 , , , ,0,1A,0,301,0B, ,设面 的一个法向量为 ,则AD1,nxyz,即 ,10ASnD:103xzy得方程的一组解为 ,即 8 分113z13,n, ,设面 的一个法向量为 ,则,0CDBA,0SCSDC22,nxyz,即 ,2Sn:23xyz得方程的一组解为 ,即 102213yz23,1n分111212cos, 7n:分所以二面角 的余弦值为 . 12ASDC17分13、解: 由侧面 底面 ,且交线为 ,底面 为矩形(1)BEBCDE所以 平面 ,又 平面 ,所以 .2 分EAAAB由面 面 ,同理可证 ,又 面 .4ACDC分在底面 中, ,(2)BE2245BCD由 面 ,故 ,.5ACA20AB分以 为原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,B,EB,xyz则 , .6(0,2)(4,0)(,)(02)DA(0,2)(4,0)CD分 设平面 的法向量 ,则 ,取CAD(,)mxyz.0204ACyzxD (,1)m所以平面 的法向量 ,同理可求得平面 的法向量 10 分0,1E,2n设二面角 的平面角为 ,则E.21015cossi5.mn故所求二面角 的正弦值CAD为 12 分1514、