1、一轮单元训练金卷高三数学卷（B）第 十 七 单 元 立 体 几 何 综 合注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知不同直线 ， ， ，不同平面 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）ablA若 ， ，则 B若 ， ，则ll C若 ， ，则 D若 ， ，则b ll2某几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的表面积是（ ）cmA B C D2245cm
3、23c22045cm28c3设 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）abA若 ， ，则 B若 ， ， ，则 ab a bC若 ， ，则 D若 ， ， ，则a 4在正方形 中， 为棱 的中点，则（ ） 1ABCDECDA B C D1E1AEB1AEC5如图， 是直三棱柱， ，点 、 分别是 、 的中点，若190B1FB，则 与 所成角的余弦值是（ ）BC1DAFA B C D3011230151506已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A B C D34247 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著
4、，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）面 为矩形，棱 若此几何体中， ， ， 和 都是边长为 2BCDEFA 4AB2EFA BCF的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）A B C D838362386238已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D123663129在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接SAC41S5SBA34SABSABC球的表面积为（ ）A B100 C D25 050210某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积是（ ）A2 B4 C6 D811在正四棱锥 中，已知 ，若 、 、 、 、 都在球 的表面上，则PACD0PBP
5、ABCO球 的表面积是四边形 面积的（ ）OA2 倍 B 倍 C 倍 D 倍2212如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 、 是棱 、 的中点， 是底面1ADBEFBC1P上（含边界）一动点，满足 ，则线段 长度的取值范围是（ ）BCDPEF1APA B C D51,253,21,32,3二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13若某几何体的三视图如图所示，其中左视图是一个边长为 2 的正三角形，则这个几何体的体积是_14在正方体 中，点 为正方形 的中心，则异面直线 与 所成角为1ABCDEABCD1AE1BD_15在长方体 中， ， ，点 ，
6、分别为 ， 的中点，点112EFC1在棱 上，若 平面 ，则四棱锥 的外接球的体积为_G1ACG AEFGABCD16如图，在梯形 中， ， ， ， 、 分别是 、BDB 90:2:34ABEFAB的中点，将四边形 沿直线 进行翻折，给出四个结论：CD ； ；平面 平面 ；平面 平面 在翻折过程中，FFCFCFC可能成立的结论序号是_三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，点 ，ABCDABCDABCDE( 与 ， 不重合)分别在棱 ， 上，且 FEADEF求证：（1） 平面 ；（2） C1
7、8 （12 分）如图，在四棱锥 中， ，且 PABCD 90BAPCD（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ， ，且四棱锥 的体积为 ，求该四棱锥的侧面PAD9083积19 （12 分）如图，在三棱柱 中， 平面 ，底面三角形 是边长为 2 的等1ABC1ABCABC边三角形， 为 的中点D（1）求证： 平面 ；1BC 1（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求三棱柱 的体积AB301ABC20 （12 分）如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧棱 ，底面PABCDPABCD2PA为直角梯形，其中 ， ， ， 为 中点ABCD 22O（1）求证： 平面 ；PO（2）求异面直线 与 所成角的余弦值；B
8、（3）求点 到平面 的距离ACD21 （12 分）如图， 且 ， ， 且 ， 且ADBC 2ADCEGA DCFG， 平面 ， 2CDFG2（1）若 为 的中点， 为 的中点，求证： 平面 ；MNEGMN（2）求二面角 的正弦值；EBF（3）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长PDBPADE60DP22 （12 分）如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上ABCDACDMACD异于 ， 的点CD（1）证明：平面 平面 ；AM（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值BCMAB一轮单元训练金卷高三数学卷答案（B）第 十 七 单
9、 元 立 体 几 何 综 合一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】对于 A，若 ， ，则 ， 平行、相交或异面均有可能，不正确；alblab对于 B，若 ， ，则两个平面可能平行、相交，不正确；对于 C，若 ， ，则 或 ，不正确；b b对于 D，垂直于同一直线的两个平面平行，正确，故选 D2 【答案】C【解析】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体下半部分表示一个边长为 2 的正方体，其对应的表面积为 ；21250cmS上半部分表示一个底边边长为 2 的正方形，高为 2 的正四棱锥，所
10、以其斜高为 ，h其正四棱锥的侧面积为 ，145cmSch所以几何体的表面积为 ，故选 C21203 【答案】C【解析】在 A 中，若 ， ，则 与 相交、平行或异面，故 A 错误；在 B 中，可以举出反 b ab例，如图示，在正方体 中，1BCDA令 为 ，面 为面 ， 为 ，面 为面 ，满足 ， ， ，但是1ADaBC1Ab1BCDa b不成立，故 B 错误；在 C 中，因为 ，所以由 可得，在平面 内存在一条直线 ，a b使得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故 C 正确；在 D 中，若 ， ， ，ab bab a则由面面垂直的判定定理得 ，故 D 错误；故选 C4 【答案】C【解析】根据三垂线
11、定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影，A若 ，那么 ，很显然不成立；B若 ，那么 ，1AEC1EC1AEBDAE显然不成立；C若 ，那么 ，成立，反过来 时，也能推出 ，B1C1C所以 C 成立；D若 ，则 ，1A显然不成立，故选 C5 【答案】A【解析】取 的中点 ，连结 ， ，则 ，B1DF1BDF据此可得 （或其补角）即为所求，设 ，1DF120CAm则 ， ， ，在 中应用余弦定理可得 故选5Am516m1 130cosDFAA6 【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ， ，1AC2B结合勾股定理，底面半径 ，213r由圆柱的体
12、积公式，可得圆柱的体积是 ，故选 B22314Vrh7 【答案】B【解析】过 作 平面 ，垂足为 ，取 的中点 ，连结 ，FOABCDOBCPF过 作 ，垂足为 ，连结 QQ 和 都是边长为 2 的等边三角形，ADE ， ， ，1=12OPBF（ ） 3P1OBC ， ，22FQ3 ，4EFBAEFDCS梯 形 梯 形又 ， ，3C 428ABCDS矩 形几何体的表面积 ，故选 B23S8 【答案】A【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选 A21134346,4V9 【答案】C【解析】对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线） ，设长方体的长、宽、高分
13、别是 ， ， ，则有 ，abc2415 3abc三个式子相加整理可得 ，所以长方体的对角线长为 ，22502所以其外接球的半径 ，所以其外接球的表面积 ，故选 C52R2450SR10 【答案】B【解析】则 ，故选 B12324V11 【答案】D【解析】设正四棱锥的底面 的边长为 ，则四边形 的面积为 ，ACDaABCD2a从 向 作 平面 ，则垂足 为底面 的中心，PABCOBO因为 ，所以侧面都是边长为 的等边三角形，60， ，则 ，a2a2Pa所以 ，所以球的表面积 ，OABCDOR24SRa所以 ，所以选 D2ABDSa12 【答案】D【解析】因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ，
14、C1BEF1BCDEF1BC， 所以可得 平面 ，当点 在线段 上时，总有 ，1BEFAPCAPEF所以 的最大值为 ， 的最小值为 ，可得线段 长度的取值范围是AP1=3A1P121A，故选 D2,3二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】 3【解析】该几何体为四棱锥，所以体积为 13=14 【答案】 2【解析】如图所示：连接 ， ，则 ， 的交点为 ，连接 ，由正方体的性质易得 ，BDACE1A1ABD，又因为 ，所以 面 ，所以 ，故 ，即异面直1ABD1BDEE线 与 所成角为 ，故答案为 1E12215 【答案】 3【解析】当
15、 是 中点时，连接 交 于点 ，则 是 的中点，又因为 别为 的中G1AGDAFHGDECD点，所以 ，从而根据线面平行的判定定理可得 平面 ，所以四棱锥 的CEHC AFGAB外接球就是以 ， ， 为棱的正方体的外接球，设外接球的半径为 ，则外接球直径等于正B R方体对角线长，所以 ， ，故答案为 23R342VR3216 【答案】【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示对于， ， 与 相交，但不垂直， 与 不垂直，故错误；ADBC FBCDF对于，设点 在平面 上的射影为点 ，则翻折过程中， 点所在的直线平行于 ，当PPBE时，有 ，而 可使条件满足，故正确；BPF:2:34ADBC对于，当
16、点 落在 上时， 平面 ，平面 平面 ，故正确；FFBFC对于，点 的射线不可能在 上，不成立，故错误；综上所述，可能成立的结论序号是三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1）在平面 内，因为 ， ，所以 ABDADEFEFAB又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 EFCBC C（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，DDCB所以 平面 因为 平面 ，所以 BAAA又 ， ， 平面 ， 平面 ，DBBB所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 CCC18 【答案】 （1）见解析；（2）
17、 623【解析】 （1）由已知 ，得 ， 90BAPDABPD由于 ，故 ，从而 平面 ABCD 又 平面 ，所以平面 平面 （2）在平面 内作 ，垂足为 PADEE由（1）知， 面 ，故 ，可得 平面 BABPABCD设 ，则由已知可得 ， x2x2x故四棱锥 的体积 PACD 3113PABCDVE由题设得 ，故 从而 ， ， 318x2x22ADBC2PC四棱锥 的侧面积为 B11sin60319 【答案】 （1）见解析；（2） 26【解析】 （1）连接 交 于 点，连接 1ACED因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，DEB1BC又 平面 ， 平面 ，所以 平面 1B11 A（2）等边
18、三角形 中， ，ACDA 平面 ， ，且 ，111B 平面 则 在平面 的射影为 ，CD1B11DA故 与平面 所成的角为 1ACA在 中， ， ，算得 ，Rt 1=30AD31=3tan0C ，21=2所以 的体积 1ABC12326ABCVS20 【答案】 （1）见解析；（2） ；（3） 6【解析】 （1）在 中 ， 为 中点，所以 PD ODPOAD又侧面 底面 ，平面 平面 ， 平面 ，ABCABC 所以 平面 O（2）连结 ，在直角梯形 中， ， ，有 且 ， 2ABC ODBC所以四边形 是平行四边形，所以 BDOBD由（1）知 ， 为锐角，所以 是异面直线 与 所成的角PPP因为
19、 ，在 中， ， ，所以 ，22ACRtA 1A2B在 中，因为 ， ，所以 ，RtO O在 中， ， ，tPB 23PB26cos3OPB所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 CD6（3）由（2）得 ，在 中， ，2OBRtPC 2+P所以 ， 又PCD324PCDS 12ACDSB设点 到平面 的距离 ，由AhACDPV得 ，即 ，解得 1133CDPCDSOS 1332h321 【答案】 （1）见解析；（2） ；（3） 0【解析】依题意，可以建立以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向的空间直角坐标系（如图） ，DACGxyz可得 ， ， ， ， ， ， ， ，0,（
20、 ） 2,0（ ） 1,20B（ ） ,C（ ） 2,0E（ ） ,12F（ ） 0,G（ ） 30,12M1,2N（ ）（1）依题意 ， 0,2DC（ ） 2,0E（ ）设 为平面 的法向量，则 即0()xyz， ，n 0 DCEn20 yxz不妨令 ，可得 ，又 ，可得 ，101,（ ）n31,MN0MNn又因为直线 平面 ，所以 平面 MNCDE C（2）依题意，可得 ， ， ,B（ ） ,2B,12F（ ）设 为平面 的法向量，则 即xyz（ ， ， ）n 0 En 0xyz不妨令 ，可得 10,1（ ）n设 为平面 的法向量，则 即xyz（ ， ， ）mBCF0 BCFm 20xyz
21、不妨令 ，可得 10,21（ ）因此有 ，于是 3cos， mn10sin，所以，二面角 的正弦值为 EBCF10（3）设线段 的长为 ，则点 的坐标为 ，DP,2h P0,h（ ）可得 ，易知， 为平面 的一个法向量，1,20,（ ） ADGE故 ，2cos 5BCPh 由题意，可得 ，解得 23sin605h30,2 所以线段 的长为 DP322 【答案】 （1）见解析；（2） 25【解析】 （1）由题设知，平面 平面 ，交线为 因为 ， 平面 ，CMDABCDBCABCD所以 平面 ，故 BCB因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 MADM又 ，所以 平面 C而 平面 ，故平面 平面 AMDB（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dx Dxyz当三棱锥 体积最大时， 为 的中点MABCMACD由题设得 ， ， ， ， ，0,D2,0,20B,0,1M， ，2,1,设 是平面 的法向量，则 即,xyznMAB0 ABn20 xyz可取 ， 是平面 的法向量，因此 ， ，1,02DC5cosDA,n25sin,DA所以面 与面 所成二面角的正弦值是 AB25
