1、第十二讲 行程问题中的比例关系 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 本讲我们主要学习比例关系在行程问题中的应用 首先学习的是匀速过程中的比例关系， 只要弄明白题中有哪些相同的量， 就能找到相应的比例关系， 比如： 当两个过程的路程相同， 速度就与时间成反比；当两个过程的时间相同，路程就与速度成正比；当两个过
2、程的速度相 同，路程就与时间成正比 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 甲、乙两车的速度比是 4:7，两车同时从两地相对出发，在距中点 15 千米处相遇，两地 相距多少千米？ 分析：两车同时出发，到相遇的时候所用的时间是相同的时间相同，速度和路程有什么样 的关系？ 练习 1 甲、乙两人的速
3、度比是 3:2两人同时从 A 地出发前往 B 地，当甲到达时，乙还差 200 米那么 AB 两地之间的距离是多少？ 例题 2 姐妹两人骑车从相距 10 千米的甲地去乙地， 妹妹比姐姐早出发 10 分钟， 结果两人同时 到达，姐妹两人骑车速度比是 5:4，那么姐姐骑车的速度是多少？ 分析：姐妹两人都从甲地去乙地，所走的路程是一样的路程相同，时间和速度有什么样的 关系？ 练习 2 小高和墨莫早上 8:00 同时从甲地出发去乙地，小高的速度是墨莫的两倍小高比墨莫 早到 40 分钟，那么小高几点到达乙地？ 在行程问题中，我们经常由“时间比结合时间差”求时间，由“速度比结合速度差”求 速度，由“路程比结
4、合路程差”求路程但是往往，题目中除了告诉了一种量的差，还告诉 了另外一种量的比这时我们就要利用行程问题中的正反比关系，求出差所对应量的比，就 可以解决问题了 例题 3 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为 4:5，两车开出后 60 分相遇，并继续前进问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？ 分析：相遇点与甲乙两地的距离之比是多少？ 练习 3 甲、乙两人同时从 A、B 两地出发相向而行，甲的速度是乙的两倍两人出发 10 分钟 后相遇，并继续前进那么甲比乙早多少分钟到达目的地？ 如果两个行程过程的路程、速度和时间都不相同，这时就没有正比和反比的关系了这 时我们还有一个很好的工具复
5、合比 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 萱萱去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比为 1:2:1已知萱萱在三 种路段上行走的速度比为 6:4:3，且在平路上行走的时间是 25 分钟那么萱萱去姥姥家路上 一共花了多长时间？ 分析：题目告诉了我们路程比与速度比，那么时间比是多少？各段分别
6、用了多长时间？ 练习 4 小红帽去外婆家要翻过一座高山，上山与下山的路程比是 2:3小红帽上山的速度是 1 米/秒，下山的速度是 2 米/秒，且路上一共用了 70 分钟那么小红帽从外婆家回来需要多 少分钟？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 5 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发匀速行驶，相向而
7、行当甲车到达 B 地时，乙车 距 A 地 30 千米；当乙车到达 A 地时，甲车超过 B 地 40 千米，AB 两地相距多少千米？ 分析：行程问题中一定要注意“同时性” 在甲车超过 B 地 40 千米的同时，乙车走了多少 千米？ 例题例题 6 一辆轿车和一辆巴士都从 A 地到 B 地，巴士速度是轿车速度的 4 5 巴士要在两地的中 点停 10 分钟，轿车中途不停车轿车比巴士在 A 地晚出发 11 分钟，早 7 分钟到达 B 地如 果巴士是 10 点出发的，那么轿车超过巴士时是 10 点多少分？ 分析：如果巴士不在中点停留，那么从 A 地到 B 地，轿车将比巴士少花多少分钟？两车所 花的时间比是
8、多少？ 马拉松 马拉松赛是一项长跑比赛项目，其距离为 42.195 公里（也有说法为 42.193 公里） 这个 比赛项目要从公元前 490 年 9 月 12 日发生的一场战役讲起 这场战役是波斯人和雅典人在离雅典不远的马拉松海边发生的， 史称希波战争， 雅典人 最终获得了反侵略的胜利 为了让故乡人民尽快知道胜利的喜讯， 统帅米勒狄派一个叫裴里 庇第斯的士兵回去报信 裴里庇第斯是个有名的“飞毛腿” ，为了让故乡人早知道好消息，他一个劲地快跑，当 他跑到雅典时，已上气不接下气，激动的喊道“欢乐吧，雅典人，我们胜利了！ ”说完，就 倒在地上死了 为了纪念这一事件，在 1896 年举行的现代第一届奥
9、林匹克运动会上，设立了马拉松赛 跑这个项目，把当年菲迪皮茨送信跑的里程42.193 公里作为赛跑的距离 马拉松原为希腊的一个地名在雅典东北 30 公里其名源出腓尼基语 marathus，意即 “多茴香的” ，因古代此地生长众多茴香树而得名体育运动中的马拉松赛跑就得名于此 1896 年举行首届奥运会时，顾拜旦采纳了历史学家布莱尔(Michel Breal)以这一史事设 立一个比赛项目的建议，并定名为“马拉松” 比赛沿用当年菲迪皮得斯所跑的路线，距离 约为 40 公里 200 米此后十几年，马拉松跑的距离一直保持在 40 公里左右1908 年第 4 届奥运会在伦敦举行时， 为方便英国王室人员观看马
10、拉松赛， 特意将起点设在温莎宫的阳台 下， 终点设在奥林匹克运动场内， 起点到终点的距离经丈量为 26 英里 385 码， 折合成 42.195 公里国际田联后来将该距离确定为马拉松跑的标准距离女子马拉松开展较晚，1984 年 第 23 届奥运会才被正式列入比赛项目 由于马拉松比赛一般在室外进行，不确定因素较多，所以在 2004 年 1 月 1 日前马拉松 一直使用世界最好成绩，没有世界记录 在 2004 年雅典奥运会上，首次将奥运会的最后一个比赛项目男子马拉松的颁奖典礼安 排在闭幕式上举行在东道主希腊人看来，马拉松比赛是奥运会的“灵魂”之一，在闭幕式 上为马拉松运动员颁奖，是奥林匹克回家的一
11、种象征2008 年北京奥运会，继承了这一做 法 作业1. 小东每天步行上下学，去的时候每秒走 1.8 米，回来的时候每秒走 1.2 米，上下学 共用时 25 分钟，那么小东家与学校相距多少千米？ 作业2. 小灰灰和喜羊羊同时从狼村和羊村相对出发， 在距中点 1 千米处相遇， 已知小灰灰 和喜洋洋的速度比为 3:2，那么狼村和羊村相距多少千米？ 作业3. 话说段誉的“凌波微步”独步一方，乔峰的武功天下闻名，两人相遇，一见如故， 决定在杏子林外比试下脚程，来个万米跑只见尘土飞扬，两人同时出发，一路上不分 先后，最后还是段誉略胜一筹当段誉达到终点时，乔峰还差 2 米已知段誉的速度为 10 米/秒，那
12、么乔峰的速度是多少？ 作业4. 阿呆和阿瓜去公园玩 阿呆因故先走了 7 分钟， 阿瓜出发后 21 分钟追上了阿呆 如 果阿瓜比阿呆每分钟多走 20 米，那么阿呆每分钟走多少米？ 作业5. 甲、乙两人从 A、B 两地同时出发相向而行，两人的速度比为，经过 18 分钟 相遇如果甲的速度变为原来的 2 倍，那么经过多少分钟两人相遇？ 2:5 第十二讲 行程问题中的比例关系 例题1. 答案：110 详解：甲、乙两车所用时间相同，因此它们的路程比等于速度比，也为 4:7又因为它们在距中点 15 千米处相遇，可知相遇时，乙比甲多走了 30 千米，因此两地相距 110 千米 例题2. 答案：15 千米/时
13、详解：姐妹两人所行路程相等，速度比为 5:4，所用时间比为 4:5，10 分钟对应 1 份，姐姐行全程用时 40 分钟，即 2 3 小时，姐姐的速度为 2 10=15 3 千米/时 例题3. 答案：27 详解：设大客车的速度为 4 份，小客车的速度为 5 份，则全程为(45)60540份，大客车行全程 用时5404135分钟，小客车行全程用时5405108分钟，大客车比小客车晚 27 分钟 例题4. 答案：50 分钟 详解：路程比为 1:2:1，速度比为 6:4:3，则时间比为 1 1 1 :1:3:2 6 2 3 ，平路用时 25 分钟，故共用时 50 分钟 例题5. 答案：120 详解：从
14、甲到达 B 地至乙到达 B 地这段时间内，甲走了 40 千米，乙走了 30 千米，因此甲乙的速度比 是 3:4；将全程分为 4 份，甲走完 4 份时乙正好走了 3 份，剩下的 1 份就是 30 千米，因此全程是： 304=120千米 例题6. 答案：10 点 27 分 详解：如果轿车与巴士都不休息地行驶完AB这段路程，所花的时间之差是117108分钟，时间 之比为速度比的反比，即4:5所以 8 分钟就是 1 份时间，两车不间断地行驶完全程所花的时间分别 为 32 分钟和 40 分钟 两车到达AB中点的情况： 巴士 10 点出发， 到达AB中点的时间为 10 点 20 分， 并在此停留到 10
15、点 30 分 轿车 10 点 11 分出发， 到达AB中点的时间是 10 点 27 分 （此时两车相遇） ， 之后就离开中点，由此我们可以知道轿车超过巴士的时间就是 10 点 27 分 练习1. 答案：600 米 简答： 两人速度比是 3:2， 所以路程比也是 3:2 又知道甲比乙多走了 200 米， 可知甲一共走了 600 米， 乙一共走了 400 米AB 之间的距离就是甲走的路程 练习2. 答案：8 点 40 分 简答：因为小高与墨莫的速度比是 2:1，走同样的路程，两人所用的时间比是 1:2又因为小高用的时 间比墨莫少 40 分钟，可知小高走了 40 分钟，墨莫走了 80 分钟小高 8
16、点出发，到达乙地的时间就 是 8 点 40 分 练习3. 答案：15 简答：设两人的相遇点是 C 点因为甲和乙的速度比时 2:1，可知两人相遇时所走的路程比也是 2:1， 即 AC 是 BC 的两倍那么甲从 C 到 B 所用时间就是从 A 到 C 所用时间的一半，即 5 分钟而乙从 C 到 A 所用时间是从 B 到 C 所用时间的 2 倍，即 20 分钟所以甲比乙要早到 15 分钟 练习4. 答案：80 简答：由题目条件知小红帽上下山的时间比为 2 3 :4:3 12 ，因此上山用时 40 分钟，即 2400 秒，下山 用时 30 分钟，即 1800 秒去时上山路程为 2400 米，下山路程为
17、 3600 米回来时，下山路程为 2400 米，需用时 1200 秒，上山路程为 3600 米，需用时 3600 秒，共需 4800 秒，即 80 分钟 作业1. 答案：1080 简答：去和回来的路程相同，速度比为 3:2，则时间比为 2:3去用了 10 分钟，回来用了 15 分钟距 离为1.8 10601080米 作业2. 答案：10 千米 简答：小灰灰与喜羊羊的路程比为 3:2，路程差为 2 千米，可知全程为 10 千米 作业3. 答案：9.998 简答：两人的路程之比为 10000:9998，则速度比也是 10000:9998，可知乔峰的速度为 9.998 米/秒 作业4. 答案：60 简答：追上时，两人所走的路程相同，且所用时间之比为 3:4，则速度之比为 4:3可知阿呆的速度是 每分钟 60 米 作业5. 答案：14 简答：两次相遇的路程相同，所以所用时间与两人的速度和成反比前后的速度和之比为 7:9，那么所 用时间之比为 9:7第二次两人相遇需要 14 分钟
