1、与圆有关的概念聚焦考点温习理解1、圆的定义在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。 （如图中的 CD）直径等于半径的 2 倍。4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧
2、（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。（2 ） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3 ） 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 。6、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。名师点睛典例分类考向一：圆的相关概念和性质典例 1：（2018 舟山） 如图，量
3、角器的 O 度刻度线为 AB将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A、D，量得 AD10cm，点 D 在量角器上的读数为 60则该直尺的宽度为 cmDBOAC10203405607807615013021 102304506708 7160510312010 9018 8考向二：垂径定理及运用典例 2：（2017十堰）如图， ABC 内接于O， ACB90，ACB 的角平分线交O 于D若 AC6 ，BD 25，求 BC 的长 考向三：圆周角定理及运用典例 3：（2018龙东）如图， AC 为O 的直径，点 B 在圆上，ODAC 交O 于点 D，连
4、接 BD， BD O15 ，则ACB_典例 4：（2015安徽）在 O 中，直径 AB=6，BC 是弦，ABC=30 ，点 P 在 BC 上，点 Q在O 上，且 OPPQ（1 ）如图 1，当 PQAB 时，求 PQ 的长度；（2 ）如图 2，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值考向四：圆心角、弧、弦之间的关系 典例 4：(2017东营)如图， AB 是半圆直径，半径 OCAB 于点 O，D 为半圆上一点，ACOD，AD 与 OC 交于点 E，连结 CD、BD ，给出以下三个结论：OD 平分COB；BD=CD；CD2=CECO，其中正确结论的序号是 典例 5：（2015雅安）如图所
5、示， MN 是O 的直径，作 ABMN，垂足为点 D，连接AM， AN，点 C 为 上一点，且 = ，连接 CM，交 AB 于点 E，交 AN 于点 F，现给出以下结论：AD=BD； MAN=90； = ；ACM+ANM= MOB；AE= 21MF 其中正确结论的个数是（ ）A2 B3 C4 D5考向五：圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用典例 6：（2016武汉）如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，AD 交O 于点 E(1) 求证：AC 平分DAB；(2) 连接 BE 交 AC 于点 F，若 cosCAD 54，求 FA的值课时作业能力提升
6、一选择题1 （2018 咸宁）如图，已知 O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD，若AOB 与 COD 互补，弦 CD6，则弦 AB 的长为（ ）A6 B8 C5 D52 32 （ 2018菏泽）如图，在 O 中，OCAB ，ADC 32，则OBA 的度数是（ ） A64 B58 C32 D263 (2018湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣；将半径为 r 的 O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点； 分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；连接 OG.问：OG 的长是多少？大
7、臣给出的正确答案应是( )OABCDEFGA 3r B (12)r C(132)r D 2r4 (2017阿坝州)如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕AB 的长为( )A2cm B 3cm C 52cm D 32cm5 （ 2018烟台）如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 I 是ABC 的内心，AIC=124，点E 在 AD 的延长线上，则CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D78 DOCBA EIA B C D O 6 （ 2018枣庄）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP2，BP 6， APC30，则 CD 的长为 （
8、）A 15 B2 5 C2 15 D87 （2018荆州）如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0 ） ，O（0，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上一动点.当点 D 到弦 OB 的距离最大时， tanBOD 的值是( )A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题8 (2018临沂)如图，在ABC 中，A60，BC5 cm.能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 cmCBA9 （ 2017海南）如图，AB 是 O 的弦，AB 5，点 C 是 O 上的一个动点，且 ACB45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 10 （ 2018益阳）如图，在ABC
9、中，AB=5,AC=4,BC=3, 按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB,AC 于点 M,N；分别以 M,N 为圆心，以大于 21MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 E； 作射线 AE；以同样的方法作射线 BF.AE 交 BF 于点 O，连接 OC,则 OC= ABO xPyOFENMCBA三、解答题 11 (2018定西)如图，点 O 是ABC 的边 AB 上一点，O 与边 AC 相切于点 E，与边BC， AB 分别相交于点 D，F，且 DEEF（1 ）求证：C90 ；（2 ）当 BC3，sinA 5时，求 AF 的长12 （ 2018昆明）如图，AB 是O 的直径
10、，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF （1 ）求证： ADED；（2 ）若 CD4 ，AF2 ，求O 的半径 FOABCDE13 （ 2017台州）如图，已知等腰直角三角形 ABC，点 P 是斜边 BC 上一点（不与 B，C重合） ，PE 是ABP 的外接圆O 的直径（1 ）求证：APE 是等腰直角三角形；（2 ）若O 的直径为 2，求 2PBC的值14 （ 2018福建）如图 1，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，AC 为直径，DE AB ，垂足为 E，交O 于点 F(1)延长 DE 交 O 于点 F， 、延长 DC、FB 交于点 P，求证：PBP
11、C；(2) 如图 2，过点 B 作 BG AD，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H且点 O 和点 A 都在 DE 的左侧，若 AB 3，DH1，OHD80，求BDE 的大小15 （ 2017深圳）如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，点 M 是 ACBD上任意一点，AH=2，CH=4（1 ）求O 的半径 r 的长度；（2 ）求 sinCMD；（3 ）直线 BM 交直线 CD 于点 E，直线 MH 交 O 于点 N，连接 BN 交 CE 于点 F，求 HEHF的值16 （ 2018哈尔滨）已知:O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在弧 AB 上，连接 BE、DE，点 F
12、 在弧 AD 上，连接 BF、DF、BF 与 DE、DA 分别交于点 G、点 H，且 DA 平分EDF(1)如图 1，求证:CBEDHG;(2)如图 2，在线段 AH 上取一点 N(点 N 不与点 A、点 H 重合)，连接 BN 交 DE 于点 L，过点 H 作 HK/BN 交 DE 于点 K，过点 E 作 EPBN，垂足为点 P，当 BPHF 时，求证:BEHK ;(3)如图 3，在(2) 的条件下，当 3HF2DF 时，延长 EP 交 O 于点 R，连接 BR，若BER 的面积与DHK 的面积的差为 47，求线段 BR 的长图 1 图 2 图 3与圆有关的概念聚焦考点温习理解1、圆的定义在
13、一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径。 （如图中的 CD）直径等于半径的 2 倍。4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径
14、定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1：（1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。（2 ） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3 ） 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 。6、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。名师点睛典例分类考向一：圆的相关概念和性质典例 1：（2018 舟山） 如图，量角器的 O 度刻度线为 AB将一矩形直尺与量
15、角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A、D，量得 AD10cm，点 D 在量角器上的读数为 60则该直尺的宽度为 cmDBOAC10203405607807615013021 102304506708 7160510312010 9018 8【分析】 根据题意，抽象出数学图形,由圆的相关概念和性质即可作答 【解答】解：根据题意可知：AD10，AOD120，由 OAOD ，DAO30，设OEx，则 OA2 x，OEAD，AEDE5 ，在 RtAOE 中，x 2+52（2x） 2，解得：53，CEOE3EC DOA B故答案：53考向二：垂径定理及运用典例 2：（
16、2017十堰）如图， ABC 内接于O， ACB90，ACB 的角平分线交O 于D若 AC6 ，BD 25，求 BC 的长 【分析】考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键连接BD，根据 CD 是 ACB 的平分线可知ACDBCD45，故可得出 ADBD，再由 AB 是O 的直径可知ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出 AB 的长，在 RtABC 中，利用勾股定理可得出 BC 的长【解答】解：连接 BD，ACB90 ，AB 是 O 的直径 ACB 的角平分线交 O 于 D，ACDBCD 45 ， ADBD 25AB 是 O 的直径，ABD 是等腰直角三角形，AB 1
17、02BDAAC6，BC86102C考向三：圆周角定理及运用典例 3：（2018龙东）如图， AC 为O 的直径，点 B 在圆上，ODAC 交O 于点 D，连接 BD， BD O15 ，则ACB_【分析】连接 AD,利用圆周角定理和等腰直角三角形性质即可解决【解答】解：连接 ADAC 为O 的直径，点 D 在圆上，OD AC ，AOD 是等腰直角三角形，ADO 45，又BDO15，ADB 60，ACB 与ADB 所对的弧都是 AB 弧，ACB ADB 60故答案：60典例 4：（2015安徽）在 O 中，直径 AB=6，BC 是弦，ABC=30 ，点 P 在 BC 上，点 Q在O 上，且 OPP
18、Q（1 ）如图 1，当 PQAB 时，求 PQ 的长度；（2 ）如图 2，当点 P 在 BC 上移动时，求 PQ 长的最大值【分析】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，考查了勾股定理和解直角三角形， （1）连结 OQ，如图 1，由PQAB，OPPQ 得到 OPAB，在 RtOBP 中，利用正切定义可计算出 OP，然后在 RtOPQ 中利用勾股定理可计算出 PQ；（2 ）连结 OQ，如图 2，在 RtOPQ 中，根据勾股定理得到 PQ 关于 OP 的函数关系式，则当 OP 的长最小时，PQ 的长最大，根据垂线段最短得到 OPBC，从而得出
19、 PQ 长的最大值【解答】解：（1）连结 OQ，如图 1，PQAB，OPPQ，OPAB，在 RtOBP 中，tanB= OBP，OP=3tan30= 3，在 RtOPQ 中，OP= 3，OQ=3 ，PQ=62Q；（2 ）连结 OQ，如图 2，在 Rt OPQ 中，PQ= 229OPQ，当 OP 的长最小时，PQ 的长最大，此时 OPBC，则 OP= 1OB= 3，PQ 长的最大值为 239考向四：圆心角、弧、弦之间的关系 典例 4：(2017东营)如图， AB 是半圆直径，半径 OCAB 于点 O，D 为半圆上一点，ACOD，AD 与 OC 交于点 E，连结 CD、BD ，给出以下三个结论：O
20、D 平分COB；BD=CD；CD2=CECO，其中正确结论的序号是 【分析】考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角与弦的关系定理的运用，相似三角形的判定及性质；由 OCAB 就可以得出 BOC=AOC=90，再由 OC=OA 就可以得出OCA= OAC=45，由 ACOD 就可以得出BOD=45 ，进而得出 DOC=45，从而得出结论；由 BOD=COD 即可得出 BD=CD；由 AOC=90就可以得出CDA=45，得出DOC= CDA，就可以得出 DOCEDC进而得出 DCOE，得出 COE2【解答】解：OCAB，BOC=AOC=90 OC=OA， OCA=OAC=45ACOD，
21、BOD=CAO=45， DOC=45， BOD=DOC，OD 平分COB故正确；BOD=DOC，BD=CD故 正确；AOC=90，CDA=45，DOC=CDA OCD=OCD，DOCEDC， DCOE， COE2故 正确故答案：典例 5：（2015雅安）如图所示， MN 是O 的直径，作 ABMN，垂足为点 D，连接AM， AN，点 C 为 上一点，且 = ，连接 CM，交 AB 于点 E，交 AN 于点 F，现给出以下结论：AD=BD； MAN=90； = ；ACM+ANM= MOB；AE= 21MF 其中正确结论的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据 ABMN，垂径定理得出 正确
22、，利用 MN 是直径得出正确， = =，得出正确，结合得出正确即可【解答】解：MN 是O 的直径，ABMN ，AD=BD， = ，MAN=90 （正确） = ， = = ，ACM+ANM= MOB（正确）MAE=AME，AE=ME，EAF=AFM，AE=EF，AE= 21MF（正确） 正确的结论共 5 个故答案：D考向五：圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用典例 6：（2016武汉）如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，AD 交O 于点 E(1) 求证：AC 平分DAB；(2) 连接 BE 交 AC 于点 F，若 cosCAD 54，求 FCA
23、的值【分析】考查切线的性质、平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理及圆心角，弧，弦之间的关系的应用【解答】解：（1）证明：连接 OC，则 OCCD，又ADCD，ADOC，CADOCA ，又OAOC， OCA OAC，CADCAO，AC 平分DAB （2 ）解：连接 BE 交 OC 于点 H，易证 OCBE，可知OCACAD，COSHCF 54，设HC 4,FC5，则 FH3又 AEFCHF，设 EF3x，则 AF5x，AE 4x，OH2x BHHE 3x3 OBOC2x4 在OBH 中， 2223xx化简得： 0729x，解得： 971x， 1（舍去） 975FCA课时作业能力提升一选择题1
24、 （2018 咸宁）如图，已知 O 的半径为 5，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是AOB，COD，若AOB 与 COD 互补，弦 CD6，则弦 AB 的长为（ ）A6 B8 C5 D52 3【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角及圆的旋转不变性【解答】解：将COD 绕点 O 顺时针旋转，使 OC 与 OB 重合，AOB 与COD 互补，A、O、D 三点共线，即 AD 是直径，ABD90 ，AB 8，AD BD 10 6DCOAB故答案：B2 （ 2018菏泽）如图，在 O 中，OCAB ，ADC 32，则OBA 的度数是（ ） A64 B58 C32 D26【分析】由垂径定理，得，然后根
25、据同弧所对的圆心角与圆周角之间关系即可得到结论【解答】解：OCAB，由垂径定理，得，O2D64 ，OBA 906426故答案：D3 (2018湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣；将半径为 r 的 O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点； 分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；连接 OG.问：OG 的长是多少？大臣给出的正确答案应是( )A B C D O OABCDEFGA 3r B (12)r C(132)r D 2r【分析】.由题意可知 OG 是 AD 的垂直平分线，再由圆周角定理及勾股定理可求【答
26、案】解：如图，连接 AD，AC、AG、CD.由题意可知 OG 是 AD 的垂直平分线，AOG是直角三角形.在ACD 中，易知ACD90，ADC 60，ACsinADCAD3r，AG 3r.在 RtAOG 中，OG 2AGO 23r r.OABCDEFG故答案：D4 (2017阿坝州)如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕AB 的长为( )A2cm B 3cm C 52cm D 32cm【分析】通过作辅助线，过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，根据折叠的性质可知 OA=2OD，根据勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长【解答】解：过点
27、O 作 ODAB 交 AB 于点 D，连接 OA，OA=2OD=2cm，AD= 3122DA (cm)， ODAB，AB=2AD=2 3cm故答案：D5 （ 2018烟台）如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 I 是ABC 的内心，AIC=124，点E 在 AD 的延长线上，则CDE 的度数为（ ）A56 B62 C68 D78 DOCBA EI【分析】考查了圆内接四边形性质及三角形内心性质【解答】解：由AIC=124，知IAC+ICA=180 AIC=180124=56 又点 I 是ABC的内心，点 I 是ABC 三个内角角平分线的交点BAC+BCA =562=112B =180(BAC+
28、BCA)=180112=68四边形 ABCD 内接于O，CDE =B =68故答案：C6 （ 2018枣庄）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP2，BP 6， APC30，则 CD 的长为 （ ）A 15 B2 5 C2 15 D8【分析】作 OHCD 于 H，连结 OC 先根据垂径定理和勾股定理即可得出结论【解答】解：作 OHCD 于 H，连结 OC，如图，OH CD，HCHD，AP2，BP 6，AB8 ， OA4 ，OP OAAP2，在RtOPH 中，OPH30 ， POH60 ，OH 12OP1，在 RtOHC 中，OC 4，OH1 ，CH 2OCH5，CD2CH
29、2 15 故答案：C7 （2018荆州）如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0 ） ，O（0，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上一动点.当点 D 到弦 OB 的距离最大时， tanBOD 的值是( )A.2 B.3 C.4 D.5【分析】考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数连结 AB，过点 P 作 PEOB 于点 E，反向延长 PE 交 P 于点 D，则此时点 D 到弦 OB 的距离最大【解答】解如图，连结 AB，过点 P 作 PEOB 于点 E，反向延长 PE 交P 于点 D，则此时点 D 到弦 OB 的距离最大，由题意得： AB 是P 的直径，AB 10 ，PB 5，由垂径
30、定理可知：BEOE 21OB3，在 RtPEB 中，由勾股定理得PE 4，DEPDPE 5 49 ，taN BOD OED 393.故答案：B二、填空题8 (2018临沂)如图，在ABC 中，A60，BC5 cm.能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 cmCBAABO xPyDEABO xPy【分析】能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片是如图所示的ABC 外接圆O，考查了过不在同一直线上的三点确定一个圆及垂径定理【解答】解：能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片是如图所示的ABC 外接圆O，连接OB，OC，则BOC=2 BAC=120，过点 D 作 ODBC 于点 D，BOD= 21BOC=6
31、0，由垂径定理得 BD= 21BC=5cm，OB=35260sinB， 能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 30故答案： 3109 （ 2017海南）如图，AB 是 O 的弦，AB 5，点 C 是 O 上的一个动点，且 ACB45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【分析】考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，根据中位线定理得到 MN 的最大时， BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值【解答】解：如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，MN 21BC， 当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当
32、 BC 是直径时，BC 最大，连接 BO 并延长交O 于点 C，连接AC， BC是O 的直径，BAC90 ACB45，AB5，ACB45 ， BC254sinAB，MN 最大 2510 （ 2018益阳）如图，在ABC 中，AB=5,AC=4,BC=3, 按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB,AC 于点 M,N；分别以 M,N 为圆心，以大于 21MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 E； 作射线 AE；以同样的方法作射线 BF.AE 交 BF 于点 O，连接 OC,则 OC= OFENMCBA【分析】考查基本作图及内心的概念【解答】解：AB=5,AC=4,BC=3,A
33、C 2+BC2=42+32=25=AB2,ABC 是直角三角形，由作法可知 AO,BO 分别是 BAC, ABC 的角平分线，点 O 是ABC 内切圆的圆心，其内切圆半径为 2543-=1，由勾股定理得 OC= 212.故答案： 三、解答题 11 (2018定西)如图，点 O 是ABC 的边 AB 上一点，O 与边 AC 相切于点 E，与边BC， AB 分别相交于点 D，F，且 DEEF（1 ）求证：C90 ；（2 ）当 BC3，sinA 5时，求 AF 的长【分析】 （1）连接 OE，BE，因为 DEEF，所以 ，从而易证 OEBDBE，所以OEBC，从可证明 BCAC ；（2）设O 的半径
34、为 r，则 AO5r，在 RtAOE 中，sinArOAE53，从而可求出 r 的值【解答】解：（1）连接 OE，BE，DEEF， OBEDBEOEOB，OEBOBEOEB DBE，OEBCO 与边 AC 相切于点 E，OEACBC AC C90（2 ）在ABC，C90 ，BC3，sinA 53AB 5，设O 的半径为 r，则 AO5r，在 Rt AOE 中，sinA rOAE r 81AF52 81 412 （ 2018昆明）如图，AB 是O 的直径，ED 切O 于点 C，AD 交O 于点 F，AC 平分BAD，连接 BF （1 ）求证： ADED；（2 ）若 CD4 ，AF2 ，求O 的半
35、径 FOABCDE【分析】 （1）将圆心 O 与切点 C 连接起来，利用切线的性质可得 OCED ，再通过证明OC AD，得到DOCE90解决 （2）取 OC 与 BF 的交点为 G，证明四边形 GFDC 是矩形后，得 GFCD 4，并产生垂径定理的应用条件 OCBF ，于是求出 BF2GF8 ，最后在 RtAFB 中，运用勾股定理计算即可求出半径【解答】解：（1）证明：连接 OC，ED 切O 于点 C，OC ED OCE90OC OA， OACOCA又AC 平分BAD，OACDACOCADACOC ADDOCE90ADED（2 ）取 OC 与 BF 的交点为 G，AB 是O 的直径，AFB9
36、0又D 90，AFBDBFED而 GCFD，四边形 GFDC 是平行四边形又D90，四边形 GFDC 是矩形GFCD4 ，FGC90 OCBFBF2GF8在 Rt AFB 中， AF 2BF 2AB 2，AB 2AFB 22 17O 的半径是 17 GEDCBAOF13 （ 2017台州）如图，已知等腰直角三角形 ABC，点 P 是斜边 BC 上一点（不与 B，C重合） ，PE 是ABP 的外接圆O 的直径（1 ）求证：APE 是等腰直角三角形；（2 ）若O 的直径为 2，求 2PBC的值【分析】考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识， （1）只要证明
37、AEP=ABP=45，PAB=90 即可解决问题；（2 ）作 PMAC 于 M，PNAB 于 N，则四边形 PMAN 是矩形，可得 PM=AN，由 PCM，PNB 都是等腰直角三角形，推出 PC= 2PM，PB= PN，可得 422)()(22 PEAPNAPMPBC ；【解答】解：（1）证明： AB=AC，BAC=90，C=ABC=45，AEP= ABP=45， PE是直径，PAB=90，APE=AEP=45，AP=AE ，PAE 是等腰直角三角形（2 ）作 PMAC 于 M，PNAB 于 N，则四边形 PMAN 是矩形， PM=AN，PCM，PNB都是等腰直角三角形，PC= 2PM，PB=
38、 PN,则有： 422)()(222 PEAPAPPBC14 （ 2018福建）如图 1，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，AC 为直径，DE AB ，垂足为 E，交O 于点 F(1)延长 DE 交 O 于点 F， 、延长 DC、FB 交于点 P，求证：PBPC；(2) 如图 2，过点 B 作 BG AD，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H且点 O 和点 A 都在 DE 的左侧，若 AB 3，DH1，OHD80，求BDE 的大小【分析】：（1）易得 DFBC，只需证明PCBPDFPFDPBC 即可.（2）不难得出四边形 DHBC 由平行四边形，从而 tanADBtanACBAB:BC
39、3，所以ADBACB 60，连接 OD 可得ODH20，由ODADACDBCEDB可得答案.【解答】解：（1）AC 为直径，ABCADC90 ，又 DFAB，ADE ABC90，DFBC，PCBPDF，PBC PFD，DFAB，AEFABFDFB90，ADCADFCDF90， A=F，ADFABF，PDFPFD，PCBPBC，PBPC.（2）连接 OD，BGAD，BGDADC 90，BGDADC180，BGCD，四边形 DHBC 为平行四边形， DHBC 1，在 RtABC 中，tanACB3=1BCA,ACB 60，CAB30，BC DH 2，DOHD，DOHDHO80，ODH20，EDBD
40、BC， A=DC,DACDBC，又 ODOA ，ODAOAD,ADOBDH， A=B,ADBACB 60， ADOODH BDE 60，ADOBDH 20，即EDB20.15 （ 2017深圳）如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 H，点 M 是 ACBD上任意一点，AH=2，CH=4（1 ）求O 的半径 r 的长度；（2 ）求 sinCMD；（3 ）直线 BM 交直线 CD 于点 E，直线 MH 交 O 于点 N，连接 BN 交 CE 于点 F，求 HEHF的值【分析】考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识， （1）在 RtCO
41、H 中，利用勾股定理即可解决问题；（ 2）只要证明CMD=COA，求出 sinCOA 即可；（3）由 EHMNHF，推出 HFMNE，推出HEHF=HMHN，又 HMHN=AHHB，推出 HEHF=AHHB，由此即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，连接 OCAB CD，CHO=90 ，在 RtCOH 中，OC=r，OH=r 2，CH=4， 22)(4rr，r=5（2 ）如图 1 中，连接 ODABCD ，AB 是直径， AD= C=A2，AOC= 21COD，CMD= 21COD， CMD=COA， sinCMD=sinCOA= 54OH（3 ）如图 2 中，连接 AM AB 是直径，
42、 AMB=90，MAB+ABM=90 ，E+ABM=90，E= MAB， MAB=MNB=E， EHM=NHFM，EHMNHF，HFMNE，HEHF=HMHN， HMHN=AHHB，HEHF=AHHB=2（102）=16 16 （ 2018哈尔滨）已知:O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 在弧 AB 上，连接 BE、DE，点 F 在弧 AD 上，连接 BF、DF、BF 与 DE、DA 分别交于点 G、点 H，且 DA 平分EDF(1)如图 1，求证:CBEDHG;(2)如图 2，在线段 AH 上取一点 N(点 N 不与点 A、点 H 重合)，连接 BN 交 DE 于点 L，过点 H 作 HK/BN 交 DE 于点 K，过点 E 作 EPBN，垂足为点 P，当 BPHF 时，求证:BEHK ;(3)如图 3，在(2)
