1、一元二次方程 聚焦考点温习理解一、一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元 ） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax 2+bx+c=0(其中 a、b、c 为常数，a0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b 分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有 1 个 未知数；(3)所含未知数的最高次数是 2.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意 a0.因为当 a=0 时，不含有二次项，即不 是一元二次方程.4. 一元二次方程的解：使
2、方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程 ax2 bx c0( a0)：(1)b24 ac0方程有两个不相等的实数根；(2)b24 ac0方程有两个的实数根；(3)b24 ac0方程没有实数根四、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根分别为 x1，x 2，则有x1x 2 ba，x 1x2 五、一元二次方程的应用1. 列一元二次方
3、程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相 同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率 增 长 量基 础 量 100%；B.设 a 为原来量，m 为平均增长率,n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1+m)n=b;当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有 a(1-m)n=b.(2)利润等量关系:A.利润售价-成本；B.利润率利润成本100%.(3)面积问题名师点睛典例分类考向一：一元二次方程的解及解法典例 1：（2017广东）如果 2 是方程 0
4、32kx的一个根，则常数 k 的值为（ ）A1 B2 C1 D2典例 2：（2017泰安）一元二次方程 62配方后化为（ ）A 5)3(x B 3)(2x C 5)(2xD 3)(2x考向二：一元二次方程根的判别式典例 3：若关于 x 的一元二次方程12x22 mx4 m10 有两个相等的实数根，则( m2)22 m(m1)的值为_考向三：一元二次方程根与系数关系典例 4：（2018烟台）已知关于 x 的一元二次方程 x24 xm1=10 的实数根 x1，x 2 满足 3x1x2x 1x 22，则 m 的取值范围是_考向四：列一元二次方程解决实际问题 典例 5：（2017襄阳）受益于国家支持新
5、能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014 年利润为 2 亿元，2016 年利润为 2.88 亿元（1 ）求该企业从 2014 年到 2016 年利润的年平均增长率；（2 ）若 2017 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2017 年的利润能否超过 3.4亿元？课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 (2018盐城）已知一元二次方程 x2kx3 0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ）A2 B2 C 4 D42 (2018临沂)一元二次方程2y配方后可化为( )A21yB21C2134yD
6、2134y3 （ 2017通辽 )若关于 x 的一元二次方程 0)()(2kxxk 有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A B C D 4 （ 2018泰安）一元二次方程 (x+1)(x3)2x5 根的情况是（ ）A无实数根 B有一个正根，一个负根 C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根 大于 35 （ 2017兰州 )下表是一组二次函数 532xy的自变量 x 与函数值 y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y 1 来源:Z|xx|k.Com 0.49 0.04 0.59 1.16那么方程 0532x的一个近似根是( )A1 B1.1 C1.2 D1
7、.3 来 6 （2018福建）已知一元二次方程2()(1)axba有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ).A1 一定不是方程 x2bxa0 的根 B0 一定不是方程 x2bxa 0 的根C 1 和1 都是方程 x2bxa0 的根 D1 和1 不都是方程 x2bxa0 的根.7 （ 2018舟山） 欧几里得的原本记载形如 2b的方程的图解法是：画RtABC，使ACB90， 2aBC，AC b，再在斜边 AB 上截取 2aBD则该方程的一个正根是（ ）b a2DA BCAAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长二、填空题（共 3 题，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2018安
8、顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27 x10 0 的两根，则该等腰三角形的周长是 9 （ 2018扬州）关于 x的方程 032xm有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是 解析：10 （2018江西）一元二次方程 x24x20 的两根为 x1，x 2则 x 4x 12x 1x2的值为21_三、解答题（共 6 题，每 题 10 分；共 60 分） 11 （ 2018玉林）已知关于 x 的一元二次方程： 20xk有两个不相等的实数根（1 ）求 k 的取值范围；（2 ）给 k 取一个负整数值，解这个方程 12 （2018仙桃)已知关于 x 的一元二次方程 22(1)xmx0（1 ）若该
9、方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；（2 ）若方程的两个实数根为 x1，x 2，且 21()21，求 m 的值13 （ 2017北京)关于 x 的一元二次方程 03kx(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围14 （ 2018宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理 ”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升 级” （下称乙方案）进行治理，若江 水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工） ，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算，第一
10、年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12经过三年治理，境内长江水质明显改善（1 ）求 n 的值；（2 ）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m,三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3 ）该市生活污水用甲方案治理 ，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加一个相同的数值 a在（2）的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等、第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值 来源:Z#xx
11、#k.Com15 【新闻片段链接】 【1】习近平总书记 2016 年 1 月 5 日在重庆召开推动长江经济带发展座谈会，强调当前和今后相当长一个时期，要把修复长江生态环境摆在压倒性位置，共抓大保护，不搞大开发。【2】2018 年 4 月 24 日上午，习近平从北京直飞湖北宜昌。一下飞机便前往长江沿岸考察调研长江生态环境修复工作，把脉长江经济带建设。宜昌兴发集团新材料产业园位于长江岸边，习近平看厂区、听介绍，了解这家化工企业保护生态、转型发展的情况，并对该企业节能（技术革新）和减排（控制污染物排放总量）的重要举措表示高度肯定。【题目】我市某化工企业积极响应习近平总书记的号召，采取积极措施走企业绿
12、色发展之路。从 2016 年开始，该企业将当年产品利润的增加部分全部作为新增投资，用于技术革新和控制污染物排放总量，这样也带来生产成本的降低并使得企业产品利润逐年稳步增加。该企业 2017 年的产品利润达到了 14400 万元，经测算比企业 2015 年的总利润和 2016年新增投资之和还多 2400 万元。已知该企业产品利润年平均增长率是污染物排放总量年平均降低百分数的 2 倍，且年污染物排放总量每降低 1%，当年将获得国家专项奖励性补贴200 万元.（总利润=产品利润+国家专项奖励性补贴新增投资）（1）求该企业污染物排放总量年平均降低的百分数.（2）求该企业 2018 年的总利润.16 2
13、016 年秋，某村贫困户张某利用政府划拨的精准扶贫资金和自筹资金（两者之比为3：5）盖起了一个大棚种植草莓，所种草莓全部供乡村游的游客采摘，以期通过销售草莓来增加收入脱贫致富。2017 年 1 月该农户种植的草莓开始受益，1 月草莓采摘价格为 60 元/kg，采摘销量为 100kg。天气渐暖，以后四个月草莓采摘价格都按每月 10 元/kg 递减。3月的草莓采摘销量增加到 400kg，预计 4 月草莓采摘销量增加的百分数与 5 月草莓采摘销量减少的百分数相同，这样该农户 4 月草莓采摘销售收入将比投入资金总额(精准扶贫资金和自筹资金之和）少 1000 元，5 月草莓采摘销售收入将是 4 月的一半
14、。（1）4 月草莓采摘的单价是多少？（2 ）若该农户 1 至 3 月草莓采摘销量的月平均增长率为 a ，求 a.（3）政府划拨给该贫困户的精准扶贫资金是多少？一元二次方程 聚焦考点温习理解一、一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方 程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax 2+bx+c=0(其中 a、b、c 为常数，a0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b 分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有 1 个未知数；(3)所含未
15、知数的最高次数是 2.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意 a0.因为当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判 别式对于一元二次方程 ax2 bx c0( a0)：(1)b24 ac0方程有两个不相等的实数根；(2)b24 ac0方程有两个的实数根；(3)b24 ac0方程没有实数根四、一元二次方程
16、的根与系数的关系若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根分别为 x1，x 2，则有x1x 2 ba，x 1x2 五、一元二次方程的应用1. 列一元二次方 程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率 增 长 量基 础 量 100%；来源:Zxxk.ComB.设 a 为原来量，m 为平均增长率,n 为增长次数，b 为增长后的量，则 a(1+m)n=b;当 m 为平均下降率，n 为下降次数，b 为下降后的量时，则有 a(1-m)n=
17、b.(2)利润等量关系:A.利润售价-成本；B.利润率利润成本100%.(3)面积问题名师点睛典例分类考向一：一元二次方程的解及解法典例 1：（2017广东）如果 2 是方程 032kx的一个根，则常数 k 的值为（ ）A1 B2 C1 D2典例 2：（2017泰安）一元二次方程 062x配方后化为（ ）A 15)3(x B 3)(2x C 15)(2D 3)(2x【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可 求出解【解答】解：方程整理得： ,62配方得： 962x，即 15)(2，故选 A.考向二：一元二次方程根的判别式典例 3：若关于 x 的一元二次方程12x22 mx4 m10 有两个
18、相等的实数根，则( m2)22 m(m1)的值为_【分析】根据方程的系数结合 根的判别式，即可得出644q0，解之即可得出 q 的取值范围考向三：一元二次方程根与系数关系典例 4：（2018烟台）已知关于 x 的一元二次方程 x24 xm1=10 的实数根 x1，x 2 满足 3x1x2x 1x 22，则 m 的取值范围是_【分析】先利用根与系数的关系得到 x1x2520 ，x1x2120，然后利用有理数的性质可判定两根的符合【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系，得 x1x2=m11，x 1+x2=4代入 3x1x2x 1x 22，得 3（m11）42解得 m13又 64()0，m15.1
19、3m15.答案：13m15考向四：列一元二次方程解决实际问题 典例 5：（2017襄阳）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014 年利润为 2 亿元，2016 年利润为 2.88 亿元（1 ）求该企业从 2014 年到 2016 年利润的年平均增长率；（2 ）若 2017 年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业 2017 年的利润能否超过 3.4亿元？【分析】 考查利用一元二次方程解决平均增长率问题【答案】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为 x根据题意得 8.2)1(x解得 2.,.0x（不合题意，舍
20、去） 答：这两年该企业年利润平均增长率为 20%（2 ）如果 2017 年仍保持相同的年平均增长率，那么 2017 年该企业年利润为：2.88(120%) 3.456，3.4563.4答：该企业 2017 年的利润能超过 3.4 亿元课时作业能力提升一、单选题（共 7 题，每题 4 分；共 28 分）1 (2018盐城）已知一元二次方程 x2kx3 0 有一个根为 1，则 k 的值为（ ）A2 B2 C 4 D4【分析】由方程解的意义把 1 代入或利用根与系数关系求解即可【解答】解：把 x=1 代入方程得:1+k-3=0,得 k=2故选 B2 (2018临沂)一元二次方程2304y配方后可化为
21、( )A21yB21C2134yD2134y【分析】利用配方法即可得解【解答】解：由 y2y 43=0 得 y2y= 43，配方得 y2y 41=3 ， (y 21)2=1.故 选 B3 （ 2017通辽 )若关于 x 的一元二次方程 0)1()(2kxxk 有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A B C D 来源:ZXXK4 （ 2018泰安）一元二次方程 (x+1)(x3)2x5 根的情况是（ ）A无实数根 B有一个正根，一个负根 C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根大于 3【分析】直接解方程,求出两根再进行比较即可5 （ 2017兰州 )下表是一组二次函数
22、532xy的自变量 x 与函数值 y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y 1 0.49 0.04 0.59 1.16那么方程 0532x的一个近似根是( )A1 B1.1 C1.2 D1.3【分析】观察表格可得 0.04 更接近于 0，得到所求方程的近似根即可【解答】解：观察表格得：方程 532x的一个近似根为 1.2，故选 C6 （ 2018福建）已知一元二次方程 2(1)(1)0axba有两个相等的实数根，则下面选项正确的是( ).A1 一定不是方程 x2bxa0 的根 B0 一定不是方程 x2bxa0 的根C 1 和1 都是方程 x2bxa0 的根 D1 和1 不都是方程
23、 x2bxa0 的根.【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出结论【解答】解:由已知， 2410ab， a1b，或 a1b ，即 1ba 0，或 1b a 0 ，1 或1 是方程 x2bx a 0 的根，当 1 和1 都是方程 x2bx a 0 的根时，有a1b0， a1，不满足原方程为一元二次方程.所以 1 或1 中仅有一个是方程x2bxa 0 的根，故选 D7 （ 2018舟山） 欧几里得的原本记载形如 22bax的方程的图解法是：画RtABC，使ACB90， 2aBC，AC b，再在斜边 AB 上截取BD则该方程的一个正根是（ ）b a
24、2DA BCAAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长【分析】利用配方法和勾股定理求出 AB,BD 再利用线段和差即可【解答】解：利用配方法解方程 x2+axb 2，得到22()4axb，解得：24axb，根据勾股定理知道24AB，BD ，所以根据图形知道ADABBD ，即 AD 的长是方程的一个正根，故答案:B二、填空题（共 3 题 ，每题 4 分；共 12 分）8 （ 2018安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x27 x10 0 的两根，则该等腰三角形的周长是 【分析】解出这个方程后,再分情况计算9 （ 2018扬州）关于 x的方程 032xm有两个不相等的实数根，那么
25、 m 的取值范围是 解析：【分析】由方程有两个不相等的实数根可知,它是一元二次方程,再根据一元二次方程有实数根可得 k10 ，且 0可求得【解答】解：关于 x 的方程有两个不相等的实数根，b 24ac 0，且 a0，即( 2)243 m0， m0，解得：m13且 m0答案：m13且 m0，10 （2018江西）一元二次方程 x24x20 的两根为 x1，x 2则 x 4x 12x 1x2的值为21_【分析】显然判别式大于 0,则可以由一元二次方程根与系数关系求解即可【解答】解：因为 12,x是方程的两根，所以 12x2， 142=0x，所以 214x2222故答案为：2三、解答题（共 6 题，
26、每题 10 分；共 60 分） 11 （ 2018玉林）已知关于 x 的一元二次方程： 20xk有两个不相等的实数根（1 ）求 k 的取值范围；（2 ）给 k 取一个负整数值，解这个方程 【分析】：（1）由一元二次方程根的判别式建立不等式，解不等式，求出 k 的取值范围；（2 ）在 k 的取值范围内取一个负整数值，代入原方程，再解这个得到的方程12 （2018仙桃)已知关于 x 的一元二次方程 22(1)xmx0 来源:（1 ）若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；（2 ）若方程的两个实数根为 x1，x 2，且 21()21，求 m 的值【分析】(1) 根据方程根的判别式求出 m 的范围
27、；(2) 先根据根与系数的关系得到 x1x 22（2 m1） ，x 1x2m 22，然后解方程即可【解答】解：（1）关于 x 的一元二次方程 2()0 有实数根，来源:b 24ac （ 2m1） 24 （m 22 ）4m90，m9，m 的最小整数值是2 ；（2 ）根据题意得：x1x 22（2m1） ，x 1x2m 22，（x 1x 2） 2 m221即（x 1x 2） 2 4x1x2 m221， 1)()( ，整理得： 02，m 12 ，m 26，m 49，故 m 的值为 213 （ 2017北京)关于 x 的一元二次方程 02)3(2kx(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一根小于
28、 1，求 k 的取值范围【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得确定判别式的符号，由此可证出方程总有两个实数根；(2)利用分解因式法解一元二次方程，从而求出根，再根据方程有一根小于 1，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围14 （ 2018宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理 ”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级” （下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工） ，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算，
29、第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12经过三年治理，境内长江水质明显改善（1 ）求 n 的值；（2 ）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m,三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3 ）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加一个相同的数值 a在（2）的情况下， 第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等、第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值【分析】：（1
30、）40 n12 ，即求得 n；（2 ）第一年 40 家，第二年 40（1m） ，第三年 40（1 m） 2，合计为 190（3 ）根据第三年甲方案使 Q 值降低 39.5，来列方程；15 【新闻片段链接】 【1】习近平总书记 2016 年 1 月 5 日在重庆召开推动长江经济带发展座谈会，强调当前和今后相当长一个时期，要把修复长江生态环境摆在压倒性位置，共抓大保护，不搞大开发。【2】2018 年 4 月 24 日上午，习近平从北京直飞湖北宜昌。一下飞机便前往长江沿岸考察调研长江生态环境修复工作，把脉长江经济带建设。宜昌兴发集团新材料产业园位于长江岸边，习近平看厂区、听介绍，了解这家化工企业保护
31、生态、转型发展的情况，并对该企业节能（技术革新）和减排（控制污染物排放总量）的重要举措表示高度肯定。【题目】我市某化工企业积极响应习近平总书记的号召，采取积极措施走企业绿色发展之路。从 2016 年开始，该企业将当年产品利润的增加部分全部作为新增投资，用于技术革新和控制污染物排放总量，这样也带来生产成本的降低并使得企业产品利润逐年稳步增加。该企业 2017 年的产品利润达到了 14400 万元，经测算比企业 2015 年的总利润和 2016年新增投资之和还多 2400 万元。已知该企业产品利润年平均增长率是污染物排放总量年平均降低百分数的 2 倍，且年污染物排放总量每降低 1%，当年将获得国家
32、专项奖励性补贴200 万元.（总利润=产品利润+国家专项奖励性补贴新增投资）（1）求该企业污染物排放总量年平均降低的百分数.（2）求该企业 2018 年的总利润.【分析】设 2015 年该企业产品利润为 a 万元，污染物排放总量年平均降低的百分数为 x，分别表示出 2016 年产品利润和新增投资分别为 a(1+2x),2ax;2017 年产品利润和新增投资分别为 2)1(xa, )42x,利用该企业 2017 年的产品利润=14400 万元，和 2017 年的产品利润 14000 万元=2015 年的总利润+ 2016 年新增投资+2400 万元。16 2016 年秋，某村贫困户张某利用政府划
33、拨的精准扶贫资金和自筹资金（两者之比为3：5）盖起了一个大棚种植草莓，所种草莓全部供乡村游的游客采摘，以期通过销售草莓来增加收入脱贫致富。201 7 年 1 月该农户种植的草莓开始受益，1 月草莓采摘价格为 60元/kg，采摘销量为 100kg。天气渐暖，以后四个月草莓采摘价格都按每月 10 元/kg 递减。3 月的草莓采摘销量增加到 400kg，预计 4 月草莓采摘销量增加的百分数与 5 月草莓采摘销量减少的百分数相同，这样该农户 4 月草莓采摘销售收入将比投入资金总额(精准扶贫资金和自筹资金之和）少 1000 元，5 月草莓采摘销售收入将是 4 月的一半。（1）4 月草莓采摘的单价是多少？
34、（2）若该农户 1 至 3 月草莓采摘销量的月平均增长率为 a ，求 a.（3）政府划拨给该贫困户的精准扶贫资金是多少？【分析】设政府划拨给该户的精准扶贫资金为 3x 元，自筹资金为 5x 元。设 4 月草莓采摘销量增长的百分数分别为 m.那么 5 月草莓采摘销量减少的百分数也是 m，利用该农户 4 月草莓采摘销售收入=投入资金总额(精准扶贫资金和自筹资金之和）-1000 元，5 月草莓采摘销售收入=4 月的一半这两个等量关系列出方程组即可求解【解答】解:（1）60-10 （4-1）=30 元/kg答：4 月草莓采摘的销售单价是 30 元/kg。（2）100（1+a） 2=400， 解得 a1=100%,a2=-3(舍去)答：a=100%.
