1、图形的轴对称 聚焦考点温习理解1如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点2图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线对应线段、对应角相等3由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；连
2、接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成4. 轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系名师点睛典例分类典题 1(正方形内” 十字结构): 如图，正方形 ABCD 中，点 P 为 CD 上一点，线段 AP 的垂直平分线 MN 交 BD 于点
3、N，点 M 为垂足，交两边于点 E、F，连接 PN，求证： （1）DNP=DAP；（2 ）PC= 2BN；（3 ） DNC为常数；（4）MN=MF+NE(5)若正方形的边长为 6，求线段 DM 长度的最小值典题 2(一线三等角) ( 2017 岳阳)问题背景：已知EDF 的顶点 D 在ABC 的边 AB 所在直线上(不与 A，B 重合)，DE 交 AC 所在直线于点 M，DF 交 BC 所在直线于点 N，记ADM 的面积为 S1，BND 的面积为 S2(1)初步尝试：如图，当ABC 是等边三角形，AB=6，EDF=A，且 DEBC，AD=2 时，则S1S2= ；(2)类比探究：在(1) 的条件
4、下，先将点 D 沿 AB 平移，使 AD=4，再将 EDF 绕点 D 旋转至如图所示位置，求 S1S2 的值；(3)延伸拓展：当ABC 是等腰三角形时，设B= A=EDF=()如图，当点 D 在线段 AB 上运动时，设 AD=a，BD=b，求 S1S2 的表达式(结果用a， b 和 的三角函数表示 )()如图，当点 D 在 BA 的延长线上运动时，设 AD=a，BD=b，直接写出 S1S2 的表达式，不必写出解答过程典题 3(角含半角) (2017 烟台) 【操作发现】(1) 如图 1， ABC 为等边三角形，现将三角板中的 60角与ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转( 旋转角
5、大于 0且小于 30)，旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CFCD ，线段 AB上取点 E，使DCE30 ，连接 AF，EF 求 EAF 的度数； DE 与 EF 相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图 2，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，先将三角板的 90角与ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转( 旋转角大于 0且小于 45)，旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CFCD ，线段 AB 上取点 E，使DCE45 ，连接 AF，EF ，请直接写出探究结果： 求EAF 的度数；线段AE，E
6、D，DB 之间的数量关系典题 4(中心对称型) (2017 黑龙江)已知： AOB 和COD 均为等腰直角三角形，AOB=COD=90连接 AD，BC，点 H 为 BC 中点，连接 OH(1)如图 1 所示，易证：OH=21AD 且 OHAD(不需证明)(2)将 COD 绕点 O 旋转到图 2，图 3 所示位置时，线段 OH 与 AD 又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论典例 5(对角互补) (2018自贡) 如图，已知AOB 60，在 AOB 的平分线 OM 上有一点C，将一个 120角的顶点与点 C 重合，它的两边分别与直线 OA、OB 相交于点 D、E （1 ）当DCE 绕点 C
7、旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1)，请猜想 OEOD 与 OC 的数量关系，并说明理由；（2 ）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直，到达如图 2 的位置时， （1 ）中的结论是否成立？并说明理由；（3 ）当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3 中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD、OE 与 OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明课时作业能力提升1（ 2018广西） 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是A（1 ，1 ）B（4，1）C（3 ，3）.（1 ）将ABC 向下
8、平移 5 个单位后得到A 1B1C1，请画出A 1B1C1；（2）将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后得到A 2B2C2，请画出A2B2C2；（3 ）判断以 O，A 1，B 1 为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）2（ 2018福建）如图，在 RtABC 中，C90，AB10 ，AC8. 线段 AD 由 AB 绕点 A按逆时针方向旋转 90得到，EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 经过点 D， （1）求BDF 的大小；（2）求 CG 的长3 将一副三角尺按图 1 摆放，等腰直角三角尺的直角边 DF 恰好垂直平分 AB，与 AC 相交于点 G，BC=2cm.（1 ）求
9、GC 的长；（2 ）如图 2，将DEF 绕点 D 顺时针旋转，使直角边 DF 经过点 C，另一直角边 DE 与 AC相交于点 H，分别过 H、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 M、 N.通过观察，猜想 MD 与 ND 的数量关系，并验证你的猜想；（3 ）在（2 ）的条件下，将DEF 沿 DB 方向平移得到DEF ，当 DE恰好经过（1）中的点 G 时，请直接写出 DD的长度.4（ 2018无锡）如图，矩形 ABCD 中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转（00， n0， 5（ 2018岳阳）已知在 RtABC 中，BAC90，CD 为ACB 的平分线，将ACB 沿CD 所在的
10、直线对折，使点 B 落在点 B处，连接 AB，BB，延长 CD 交 BB于点 E，设ABC 2(045 ）.(1)如图 1，若 ABAC，求证：CD2BE ；(2)如图 2,若 ABAC ，试求 CD 与 BE 的数量关系（用 的式子表示） ；(3)如图 3，将(2) 中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角(45)，得到线段 FC，连接 EF 交 BC于点 O,设COE 的面积为 S1，COF 的面积为 S2，求 (用含 的式子表示）.【解答】解：(1)证明：连接 BC，BB关于 CE 对称，CE 垂直平分 BB，BEBE BB，CBCB， CEBCEB90，CE CE ，CEBCEB，BCE
11、BCE ，CE 平分 ACB，ACEACE，A 在直线 CB上， BAC90，BAB90 ， BBABBABBAACE90，BBAACD，又AB AC，ABBACD，CD BB, CD 2BE.(2）由(1)知 B在 CA 延长线上，BB2BE ，ABBACD， ,，在 RtABC 中，tanABC tan2 ， tan2 ，CD2tan2 BE；(3)由(1)知，CEB90，ABC2 ，ACBN 902 ，又 EC 平分ACB， ECB45 ，由旋转知BCF 45 ，ECFECB BCF90，BECFCE180，CFBE，BEOCFO， ， ，在 RtBEC 中，sinECB ，又ECB45
12、 ，sin(45 ) ,设 C 到 EF 的距离为 h，则, sin(45 ).6（ 2017 抚顺）如图，OF 是MON 的平分线，点 A 在射线 OM 上，P，Q 是直线 ON 上的两动点，点 Q 在点 P 的右侧，且 PQOA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交直线 OF、ON交于点 B、点 C，连接 AB、PB （1 ）如图 1，当 P、Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系；（2 ）如图 2，当 P、Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时，线段 AB，PB 是否还存在（1 ）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3 ）如图
13、3，MON60 ，连接 AP，设 OQAPk，当 P 和 Q 两点都在射线 ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）连接：ABPB理由：如图 1 中，连接 BQBC 垂直平分OQ，BO BQ，BOQ BQO， OF 平分MON， AOBBQO ，OA PQ ，AOBPQB，ABPB （2 ）存在，理由：如图 2 中，连接 BQBC 垂直平分OQ，BO BQ，BOQ BQO， OF 平分MON，BOQ FON，AOFFONBQC，BQPAOB ，OA PQ ，AOB PQB，ABPB（3 ）连接 BQ易证ABOPBQ，OAB B
14、PQ，ABPB ，OPB+BPQ180，OAB+OPB 180，AOP+ABP180 ， MON60，ABP120，BABP，BAPBPA30，BOBQ， BOQ BQO30，ABPOBQ ，OQAPB，AOB30，当 BAOM 时， OBA的值最小，最小值为 0.5， k0.57（ 2018 宜昌调考）已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC、BD 相交于点O，M、N 分别为 AB、BC 上的动点，且MON=45，延长 OM、ON，分别交 AB，CB 的延长线于 F，E.(2) 求证： AOMCNO (2)在点 M、N 的运动过程中，DEF 的面积是否发生变化，不变，请求出其
15、面积；若变化，请说明理由。 （3）在点 M、N 的运动过程中，OEF 可能是等腰三角形吗？若能，请求出 AM 的长。【解答】解：（1）如图 1 正方形 ABCD,1= 2=45 ,在AOM 中，2+ 4+5=180 又3+4+ MON =180，MON=453= 5， AOM CNOFENOBDACM 12453 FENOBDACM图11243 FENOBDACM图2（5）如图 2 正方形 ABCD,3=45，又3 是EOD 的外角，3= 2 +4 =45，又1 +2 =45 1=4，又EDO=ODFEDOODF ODFE,ODEFA正方形 ABCD, ACBD,OA=OB=OC=OD DOC
16、 =90在 RTDOC 中，245CS， 822DFEO（3 ） OEF 是等腰三角形，OE=OF 或 EO=EF 或 FE=FO当 OE=OF 时，如图 3，EDOODF 1, OD=DE=DF 又OE=OF, OD 垂直平分 EF，DOE=DOF 在DOM 和DON 中NDOMFEDOMDON, DM=DN, AM=CN,AOMCNO CA,82OCANM, 82, .当 EO=EF 时，如图 4，则EOF=EFO=45，OEF=90,在 RTDOC 中，245OFECSEDOODF, 2OFED， 2OFED,DE=2,DF=4在 RTMEF 中，EDMF,由射影定理得， MA, 24A
17、MD=1, AM=4-1=3. 当 FE=FO 时，如图 5，则EOF=OEF=45，OFE=90,在 RTDOC 中，245OEFCSEDOODF, 2OFED2OFED,DE=4,DF=2在 RTMEF 中，EDMF,由射影定理得， NA, 24AND=1, CN=4-1=3. AOMCNO CNAM, 8C,. 3M综上： 2A或 3 或8.8（ 2017 赤峰）OPA 和 OQB 分别是以 OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点 C、D、E分别是 OA、OB、AB 的中点 （1 ）当 AOB=90时如图 1，连接 PE、QE，直接写出 EP 与 EQ的大小关系；（2）将OQB 绕点
18、O 逆时针方向旋转，当 AOB 是锐角时如图 2， （1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明 （3）仍将 OQB 绕点 O 旋转，当AOB 为钝角时，延长 PC、QD 交于点 G，使 ABG 为等边三角形如图 3，求 AOB的度数【解答】解：（1）如图 1，延长 PE，QB 交于点 F，APO 和BQO 是等腰直角三角形，APO=BQO=90，AOP=BOQ=45，AOB=90 ，AOP+AOB+ BOQ=180， 点P，O，Q 在同一条直线上，APO=BQO=90，APBQ，PAE= FBE，点 E 是 AB 中点，AE=BE，AEP= BEF，APEBFE，PE=E
19、F， 点 E 是 RtPQF 的斜边 PF 的中点，EP=EQ；（2 ）成立，证明： 点 C，E 分别是 OA，AB 的中点，CE OB，CE= 1OB，DOC=ECA，点 D 是 RtOQB 斜边中点，DQ= 21OB，CE=DQ ，同理：PC=DE，DOC=BDE ，ECA=BDE， PCE=EDQ，EPC QED，EP=EQ；（3 ）如图 2 连接 GO，点 D，C 分别是 OB，OA 的中点， APO 与QBO 都是等腰直角三角形，CQ，GP 分别是 OB， OA 的垂直平分线，FENOBDACM图3图4图5GB=GO=GA， GBO=GOB，GOA= GAO，设 GOB=x， GOA
20、=y，x+x+y+y+60=360x+y=150， AOB=1509（ 2017 襄阳）如图，在ABC 中，ACB90，CD 是中线，AC BC，一个以点 D 为顶点的 45角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC、BC 的延长线相交，交点分别为点 E，F ，DF与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N （1 ）如图 1，若 CECF ，求证：DEDF；（2 ）如图2，在EDF 绕点 D 旋转的过程中：探究三条线段 AB， CE，CF 之间的数量关系，并说明理由；若 CE4，CF 2，求 DN 的长【解答】解：（1）证明： ACB90，ACBC ，AD BD，BCDACD45，BCEA
21、CF 90，DCEDCF135，在DCE 与DCF 中，CDFE，DCE DCF ，DE DF；（2 ）解：DCFDCE135，CDFF180135 45，CDFCDE45 ，FCDE，CDFCED， CDFE，即CD2CECF，ACB90，ACBC，ADBD，CD 21AB，AB 24CECF；如图，过 D 作 DGBC 于 G，则DGNECN90， CGDG，当 CE4，CF2 时，由 CD2 CECF 得 CD2 ，在 RtDCG 中，CGDG CD sinDCG2 sin452 ， ECNDGN，ENCDNG，CEN GDN， DGCEN2，GN31CG 2，DN 3102312DGN
22、10 （2018江西）在菱形 ABCD 中，ABC 60，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP 为边向右侧作等边APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而化 （1）如图 1，当点 E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接 CE，BP 与 CE 的数量关系是_ ，CE 与 AD 的位置关系是_；2 ）当点 E 在菱形 ABCD 外部时， （1 ）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图 2，图 3 中的一种情况予以证明或说理) （3 ）如图 4，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE，若 AB2，BE2，求正边形 ADPE 的面积【解答】解：（1）如图
23、 1 中，结论：PBEC，CEAD理由：连接 AC四边形 ABCD是菱形，ABC60 ，ABC，ACD 都是等边三角形， ABDCBD30 ，APE是等边三角形，ABAC，APAE，BAC PAE60，BAPCAE， BPCE，BAPACE 30，延长 CE 交 AD 于 H，CAH60，CAHACH90，AHC90，即 CEAD故答案为 PBEC，CEAD（2）结论仍然成立理由：选图 2，连接 AC 交 BD 于 O，设 CE 交 AD 于 H四边形ABCD 是菱形，ABC60 ，ABC，ACD 都是等边三角形，ABDCBD30 ，APE 是等边三角形，ABAC，APAE，BAC PAE60
24、，BAPCAE， BPCE，BAPACE 30，CAH60， CAHACH90，AHC90，即 CEAD图 3，连接 AC 交 BD 于 O，设 CE 交 AD 于 H四边形 ABCD 是菱形，ABC60，ABC， ACD 都是等边三角形，ABD CBD 30 ，APE 是等边三角形，AB AC，APAE ，BAC PAE60，BAPCAE， BPCE，BAPACE 30，CAH60， CAHACH90，AHC90，即 CEAD（3 ） BAPCAE，由（2）可知 ECAD，CEBP，在菱形 ABCD 中，ADBC，ECBC，BC AB2 ，BE2 ，在 RtBCE 中，EC 8 ，BPCE8，AC 与 BD 是菱形的对角线，ABD ABC 30， ACBDBD 2BO2ABcos306 ，OA AB ，DPBPBD8 62，OP ODDP5，在 Rt AOP 中，AP 2 ，S 四边形 ADPES ADP S AEP 2 (2 )28
