中考数学培优(含解析)之三角形

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1、三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段(1 )三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。(2 )在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。(3 )从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高) 。2、三角形的三边关系定理及推论(1 )三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。推论:三角形的两边之差小于第三边。(2 )三角形三边关系定理及推论的作用:判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时,可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角

2、形的内角和定理:三角形三个内角和等于 180。推论:直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理:(1 )边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS” )(2 )角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA” )(3 )边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。直角三角形全等的

3、判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL 定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL” )2.全等三角形的性质:三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论:定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)推论 1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于 60。2、等腰三角形的判定定理及推论:定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边) 。这个判定定理常用于证明同一个

4、三角形中的边相等。推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2:有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。名师点睛典例分类考向一:与三角形有关的角、线段、边的计算典例 1:(2017枣庄) 如图,在 RtABC 中,C90,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心,大于 21MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 A

5、P 交边 BC 于点 D,若 CD4 ,AB15,则ABD 的面积是( )A15 B30 C45 D60典例 2:(2018宜昌)如图,在 RtABC 中,ACB90,A 40 ,ABC 的外角CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E(1 )求CBE 的度数;(2 )过点 D 作 DFBE,交 AC 的延长线于点 F,求F 的度数FECABD考向二:三角形三边关系应用典例 3:(2018常德)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( )A1 B2 C8 D11考向三:三角形中点相关问题典例 4(2018武汉)如图,在ABC 中,ACB 60,AC1,D 是边

6、 AB 的中点,E 是边 BC上一点若 DE 平分ABC 的周长,则 DE 的长是_.EDBAC典例 5(2017达州)ABC 中,AB=5,AC=3 ,AD 是ABC 的中线,设 AD 长为 m,则 m 的取值范围是 考向四:与多边形有关的计算 典例 6:(2018 宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍,则这个多边形的边数是 课时作业能力提升一、单选题1 ( 2018河北) 如图点 I 为 ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将 ACB平移使其顶点与 I 重合,则图中阴影部分的周长为( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2ICBA2 (2018吉林)如图,将ABC 折叠,使

7、点 A 与 BC 边中点 D 重合,折痕为 MN若AB9, BC6,则DNB 的周长为( )A12 B13 C14 D153 ( 2017深圳)如图,已知线段 AB,分别以 A、B 为圆心,大于 21AB 为半径作弧,连接弧的交点得到直线 l,在直线 l 上取一点 C,使得CAB=25,延长 AC 至 M,求BCM 的度数为( )A40 B50 C60 D704 (2018,福建)如图,等边三角形 ABC 中,ADBC,垂足为 D,点 E 在线段 AD 上,EBC 45,则ACE 等于( )A15 B30 C45 D605 ( 2017巴中)若 a、b、c 为三角形的三边,且 a、b 满足 0

8、)2(9b,第三边 c 为奇数,则 c=( ) A 7 B 9 C 10 D 116 ( 2018济宁)如图,在五边形 ABCDE 中,A BE 300,DP、CP 分别平分EDC、 BCD,则P 的度数( )A50 B55 C60 D65 7 ( 2018淄博)如图,在 RtABC 中,CM 平分ACB 交 AB 与点 M,过点 M 作 MNBC交 AC 于点 N,且 AN 平分AMC.若 AN1 ,则 BC 的长为( )A4 B6 C4 D83 NMAB C二、填空题8 (2018南京)如图,五边形 ABCDE 是正五边形,若 l1 l2,则1 2 CDEAP9 ( 2018 贵阳)如图,

9、在 ABC 中,BC 6,BC 边上的高为 4,在ABC 的内部作一个矩形 EFGH,使 EF 在 BC 边上,另外两个顶点分别在 AB、AC 边上,则对角线 EG 长的最小值为 .10 ( 2018长春)如图,在 ABC 中,ABAC以点 C 为圆心,以 CB 长为半径作圆弧,交AC 的延长线于点 D,连结 BD若A32,则CDB 的大小为 度三、解答题 11 (2018,福建)如图,在 RtABC 中,C 90 ,AB 10,AC8,线段 AD 由线段 AB 绕点A 按逆时针方向旋转 90得到, EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到,且直线 EF 过点 D(1 )求BDF 的大小;(2

10、 )求 CG 的长12 ( 2018深圳)在 RtABC 中,C 90,AD 平分ABC ,BE 平分ABC,AD、BE相交于点 F,且 AF4, EF ,求 AC213( 2018哈尔滨)已知:在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E,且 ACBD,作BFCD,垂足为点 F,BF 与 AC 交于点 G,BGEADE(1)如图 1,求证:ADCD;(2)如图 2,BH 是ABE 的中线,若 AE2 DE,DEEG ,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2 中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于ADE 面积的 2 倍(图 1) (图 2)14 ( 2017呼和浩特)如

11、图,等腰三角形 ABC 中,BD ,CE 分别是两腰上的中线(1 )求证:BD=CE;(2 )设 BD 与 CE 相交于点 O,点 M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点,当 ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时,判断四边形 DEMN 的形状,无需说明理由15( 2018河北)如图 13,A =B=50,P 为 AB 中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点,连接 MP,并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N,设 BPN=a.(1)求证:APM BPN;(2)当 MN=2BN 时,求 a的度数;(3)若 BPN 的外心在该三角形的内部,直接写出 a的取值范

12、围. 16 ( 2017鄂州)如图四边形 ABCD 中,ADBC,BCD90,AB BCAD,DAC 45,E 为 CD 上一点,且BAE 45若 CD4,求ABE 的面积为三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段(1 )三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。(2 )在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。(3 )从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高) 。2、三角形的三边关系定理及推论(1 )三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。推论:三角形的

13、两边之差小于第三边。(2 )三角形三边关系定理及推论的作用:判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时,可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于 180。推论:直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理:(1 )边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS” )(2 )角边角定理:有两角和

14、它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA” )(3 )边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS ”)。直角三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有 HL 定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL” )2.全等三角形的性质:三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论:定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)推论 1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2:等边三角形的各个角都

15、相等,并且每个角都等于 60。2、等腰三角形的判定定理及推论:定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边) 。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2:有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。名师点睛典例分类考向一:与三角形有关的角、线段、边的计算典例 1:(2017枣庄) 如图,在 RtAB

16、C 中,C90,以顶点 A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 AC,AB 于点 M,N,再分别以点 M,N 为圆心,大于 21MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作射线 AP 交边 BC 于点 D,若 CD4 ,AB15,则ABD 的面积是( )A15 B30 C45 D60【分析】判断出 AP 是BAC 的平分线,过点 D 作 DEAB 于 E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DECD ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解【解答】解:由题意得 AP 是BAC 的平分线,过点 D 作 DEAB 于 E,又C90 ,DECD,ABD 的面积 21ABDE 15430故答案:B典

17、例 2:(2018宜昌)如图,在 RtABC 中,ACB90,A 40 ,ABC 的外角CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E(1 )求CBE 的度数;(2 )过点 D 作 DFBE,交 AC 的延长线于点 F,求F 的度数FECABD【分析】 (1)根据外角定理知 CBDAACB,再根据 EB 是CBD 的角分线即可求得;(2 )在 RtCBE 中,根据(1)中求得的CBE 的度数求得CBE,再根据两直线平行,同位角相等即可求得F【解答】解:(1)在 RtABC 中,ACB 90, A40,ABC ACBA 50, CBD130 , BE 是CBD 的平分线,CBE 2CBD65

18、(2)ACB 90, CEB906525, DF BE, FCEB25考向二:三角形三边关系应用典例 3:(2018常德)已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是( )A1 B2 C8 D11【分析】已知三角形的两边长分别为 2 和 7,根据在三角形中任意两边之和第三边,任意两边之差第三边;即可求第三边长的范围,再结合选项选择符合条件的【解答】解:根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边知第三边长4 x10,所以第三边长可能是 10 ,故答案:C考向三:三角形中点相关问题典例 4(2018武汉)如图,在ABC 中,ACB 60,AC1,D 是边 AB 的中点,E

19、 是边 BC上一点若 DE 平分ABC 的周长,则 DE 的长是_.EDBAC【分析】延长 BC 至点 F,使 CFAC 或者作 BC 的中点 F,连接 DF,过点 F 作 FGDE 于 G构成中位线进行解答【解答】解:延长 BC 至点 F,使 CFAC,DE 平分 ABC 的周长,ADBC,ACCEBE ,BECFCEEF ,DEAF,DE12AF,又ACF 120 ,ACCF ,AF 3 AC ,32DE.法二: 作 BC 的中点 F,连接 DF,过点 F 作 FGDE 于 G,设 CEx ,则BE 1x,BE1x ,BC1 2x ,CF 12x,EFCFCE12,而DF 2AC ,且C6

20、0,DFE120 ,FEG30,GF EF 4 ,EG34, DE2EG3.FEDC BA GA BCDEF故答案:32典例 5(2017达州)ABC 中,AB=5,AC=3 ,AD 是ABC 的中线,设 AD 长为 m,则 m 的取值范围是 【分析】作辅助线,构建AEC,根据三角形三边关系得:ECACAEAC+EC,即532m5+3 ,所以 1m4【解答】解:延长 AD 至 E,使 AD=DE,连接 CE,则 AE=2m, AD 是ABC 的中线,BD=CD,在 ADB 和EDC 中,ADEBC, ADBEDC, EC=AB=5,在AEC 中,ECACAEAC+EC,即 532m5+3,1m

21、4,故答案:1m4考向四:与多边形有关的计算 典例 6:(2018 宿迁)一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍,则这个多边形的边数是 【分析】根据多边形的内角和,可得答案【解答】解:(n2)1803360,解得 n8 故答案:8课时作业能力提升一、单选题1 ( 2018河北) 如图点 I 为 ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将 ACB平移使其顶点与 I 重合,则图中阴影部分的周长为( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2ICBA【分析】考查三角形内心,利用平移和三角形内心的性质可求解【解答】解:设 CA、CB 平移后的线段分别交 AB 于点 M,N,连接 AI、BI,AI、BI

22、 分别为CAB、 CBA 的平分线,CAI=BAI,CBI= ABI ,由平移可得,CAI= AIM, CBI=BIN, 故BAI= AIM, ABI=BIN, AM=MI,BN=NI.MNI 的周长为MI+NI+MN=AM+BN+MN=AB=4,故答案:B 2 (2018吉林)如图,将ABC 折叠,使点 A 与 BC 边中点 D 重合,折痕为 MN若AB9, BC6,则DNB 的周长为( )A12 B13 C14 D15【分析】根据线段垂直平分线的性质及翻折变换性质解答【解答】解:由折叠得,ANDN,而 D 是 BC 的中点,DB BC,所以DNB 的周长为12DNNBDBANNBDB AB

23、 BC9 612 12 12故答案:A3 ( 2017深圳)如图,已知线段 AB,分别以 A、B 为圆心,大于 21AB 为半径作弧,连接弧的交点得到直线 l,在直线 l 上取一点 C,使得CAB=25,延长 AC 至 M,求BCM 的度数为( )A40 B50 C60 D70【分析】根据作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,故可得出 AC=BC,再由三角形外角的性质即可得出结论【解答】解:由作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线, AC=BC,CAB=CBA=25,BCM=CAB+CBA=25+25=50故答案:B4 (2018,福建)如图,等边三角形 ABC 中,ADBC,垂

24、足为 D,点 E 在线段 AD 上,EBC 45,则ACE 等于( )A15 B30 C45 D60【分析】根据三角形内角和定理可求【解答】解:ABC 是等边三角形,ABC 60,EBC45, ACEABCEBC15 ,故答案:A5 ( 2017巴中)若 a、b、c 为三角形的三边,且 a、b 满足 0)2(9b,第三边 c 为奇数,则 c=( ) A 7 B 9 C 10 D 11【分析】先根据非负数的性质求出 a 和 b 的值,再根据三角形三边关系求出 c 的取值范围,进而求出 c 的值【解答】解:a、b 满足 0)2(9,a=9,b=2,a、b、c 为三角形的三边,7 c11 ,第三边

25、c 为奇数, c=9 ,故答案:B6 ( 2018济宁)如图,在五边形 ABCDE 中,A BE 300,DP、CP 分别平分EDC、 BCD,则P 的度数( )A50 B55 C60 D65 【分析】由角平分线定义及多边形内角和及三角形内角和可求解【解答】解:五边形 ABCDE 中,ABBCDCDEE (52)180540又AB E300 ,BCDCDE240DP、CP 分别平分CDAPEDC、 BCD,PCD 12BCD ,PDC12CDE,PCD PDC12(BCDCDE)12240120在PCD 中,PCDPDCP 180,P180(PCDPDC)180120 60故答案:C7 ( 2

26、018淄博)如图,在 RtABC 中,CM 平分ACB 交 AB 与点 M,过点 M 作 MNBC交 AC 于点 N,且 AN 平分AMC.若 AN1 ,则 BC 的长为( )A4 B6 C4 D83 NMAB C【分析】由平行线和角平分线导角求出B30, 再利用直角三角形性质可求【解答】解:MNBC ,AMNNMC NCMBCM.又A90 ,AMNB30.MN2AN2NC.BC2AC6.故答案:B二、填空题8 (2018南京)如图,五边形 ABCDE 是正五边形,若 l1 l2,则1 2 【分析】直接利用多边形内角和及平行线性质可求【解答】解:过点 B 作 BF l1,则 BFl 1l 2,

27、ABF2,CBF1180五边形 ABCDE 是正五边形,ABC108 ,ABFCBF12 180 ,12 18010872故答案:729 ( 2018 贵阳)如图,在 ABC 中,BC 6,BC 边上的高为 4,在ABC 的内部作一个矩形 EFGH,使 EF 在 BC 边上,另外两个顶点分别在 AB、AC 边上,则对角线 EG 长的最小值为 .【分析】根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解:过点 A 作 AM DG 于 M,交 BC 于 N.由题意知,要使矩形 EFGD 的对角线最小,则该矩形为正方形.DG/ BC,ADGABC.设正方形 EFGD 边长为 x,MDGNBC,即 4x6 .解

28、之,x 125.在 RtEFG 中,根据勾股定理知,对角线EF 125.故答案为: 12510 ( 2018长春)如图,在 ABC 中,ABAC以点 C 为圆心,以 CB 长为半径作圆弧,交AC 的延长线于点 D,连结 BD若A32,则CDB 的大小为 度【分析】由等边对等角及三角形内角和定理可求【解答】解:ABAC, A32,ACB12(180A)12(180 32)74由已知得 CBCD,CBDCDBACB 是CBD 的一个外角,ACB CBDCDB,CDB12ACB 7437三、解答题 11 (2018,福建)如图,在 RtABC 中,C 90 ,AB 10,AC8,线段 AD 由线段

29、AB 绕点A 按逆时针方向旋转 90得到, EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到,且直线 EF 过点 D(1 )求BDF 的大小;(2 )求 CG 的长【分析】 (1)依据旋转的性质可知 ADAB,又DAB 90 ,可得ABD 是等腰直角三角形,依据平移的性质可得 ABEF,结合平行线的性质可求出BDF 的度数;(2)依据平移的性质可知ADEACB,DEAABC,可得ADE ACB ,然后利用相似三角形性质ADECB求出 AE 的长即可求解【解答】解:(1)线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按点 A 逆时针方向旋转 90得到,DAB90, ADAB10 ,ABD45,EFG 由 ABC

30、沿 CB 方向平移得到,AB EF,BDFABD45(2 )由平移的性质可得:AECG,ABEF,DEA DFC ABC ,ADE+ DAB180 ,DAB90,ADE 90,ACB90,ADEACB,ADE ACB,ADECB,AC8,ABAD 10,AE25由平移的性质可得:CGAE2512 ( 2018深圳)在 RtABC 中,C 90,AD 平分ABC ,BE 平分ABC,AD、BE相交于点 F,且 AF4,EF ,求 AC2【分析】由三角形角平分线交于一点导出 45 度, 过 C 作 AD 的垂线,构成母子相似三角形,列式计算即可【解答】解:如图,AD 平分BAC,BE 平分ABC

31、,C90AFB90 C135 ,AFE45,过点 E 作 EGAD 于点 G,EF ,EGFG1,又12 2AF4,AG3,AE ,连接 CF,则 CF 平分 ACB,ACF4510=AFE,AEFAFC ,AC AEAF AFAC AF2AE13( 2018哈尔滨)已知:在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 E,且 ACBD,作BFCD,垂足为点 F,BF 与 AC 交于点 G,BGEADE(1)如图 1,求证:ADCD;(2)如图 2,BH 是ABE 的中线,若 AE2 DE,DEEG ,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图 2 中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都

32、等于ADE 面积的 2 倍(图 1) (图 2)【分析】 (1)问由两个垂直可知 BGE BDC,又因为 BGEADE,所以BDC ADE,之后易证DACDCA,所以 ADC D(2 )问根据比例解设边长,即可求出ADE 面积的 2 倍的三角形【解答】解:(1)证明:AC BDAEDDECBEG90BGEEBG90BFCD BFD90 BDFEBC90BCE BDFBGEADEADEBDFDE DEADECDEADCD(2)ACD,ABE,BCE,GBH14 ( 2017呼和浩特)如图,等腰三角形 ABC 中,BD ,CE 分别是两腰上的中线(1 )求证:BD=CE;(2 )设 BD 与 CE

33、 相交于点 O,点 M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点,当 ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时,判断四边形 DEMN 的形状,无需说明理由【分析】 (1)根据已知条件得到 AD=AE,根据全等三角形的性质即可得到结论;(2 )根据三角形中位线的性质得到 EDBC,ED= 21BC,MN BC,MN= 21BC,等量代换得到 EDMN,ED=MN,推出四边形 EDNM 是平行四边形,由(1)知 BD=CE,求得 DM=EN,得到四边形 EDNM 是矩形,根据全等三角形的性质得到 OB=OC,由三角形的重心的性质得到 O 到 BC 的距离= 21BC,根据直角三角形的判定得到

34、BDCE,于是得到结论【解答】 (1)解:由题意得, AB=AC,BD,CE 分别是两腰上的中线,AD= 2AC,AE= AB,AD=AE,在ABD 和ACE 中ABCDE,ABDACE(ASA) BD=CE;(2 )四边形 DEMN 是正方形,证明:E、D 分别是 AB、AC 的中点,AE= 1AB,AD= 2AC,ED 是 ABC 的中位线,EDBC,ED= BC,点 M、 N 分别为线段 BO 和 CO 中点,OM=BM,ON=CN,MN 是OBC 的中位线,MNBC,MN= 21BC,EDMN,ED=MN,四边形 EDNM 是平行四边形,由(1)知 BD=CE,又 OE=ON,OD=O

35、M,OM=BM ,ON=CN,DM=EN,四边形 EDNM 是矩形,在BDC 与CEB 中,BECD,BDCCEB ,BCE=CBD,OB=OC,ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等,O 到 BC 的距离= 21BC,BDCE,四边形 DEMN 是正方形15( 2018河北)如图 13,A =B=50,P 为 AB 中点,点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点,连接 MP,并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N,设 BPN=a.(1)求证:APM BPN;(2)当 MN=2BN 时,求 a的度数;(3)若 BPN 的外心在该三角形的内部,直接写出 a的取值范围. 【

36、分析】 (1)已知A= B=50,和 P 为 AB 中点,然后根据对顶角相等可以得出APM=BPN,根据 ASA 证全等;(2 )根据(1)中的结论可得:MP=NP=BN,则BPN=a=B=50;(3 )三角形的外心是三角形外接圆的圆心,是三角形三边中垂线的交点。外心所在的位置与三角形的形状有关,锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心在斜边中点处,钝角三角形的外心在三角形的外部。该三角形外心在内部,则它是锐角三角形,因此 a40,所以 40a90.【解答】解:(1) P 为 AB 中点, AP=BP,在 APM 和BPN 中:AB50PMNAPMBPN (ASA)(2) APMBPN,

37、 MP=NP,又 MN=2BN, MP=NP=BN。又 A=B=50, a=B=50;(3)40 90。16 ( 2017鄂州)如图四边形 ABCD 中,ADBC,BCD90,AB BCAD,DAC 45,E 为 CD 上一点,且BAE 45若 CD4,求ABE 的面积为【分析】如图取 CD 的中点 F,连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G,作 FHAB 于H,EKAB 于 K作 BTAD 于 T由BCF GDF,推出 BCDG ,BFFG,由FBC FBH,FAHFAD,推出 BCBH,ADAB ,由题意 ADDC4 ,设BC TDBHx ,在 RtABT 中, ,推出 x1 ,

38、推出 BCBH TD1,AB5 ,设AKEKy ,DEz ,由勾股定理得出方程组即可解决问题【解答】解:如图取 CD 的中点 F,连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G,作 FHAB 于H,EKAB 于 K作 BTAD 于 TBC AG,BCF FDG,BFC DFG,FCDF,BCF GDF,BC DG,BFFG,AB BCAD,AGADDGADBC,AB AG,BFFG,BFBG,ABFGCBF,FH BA,FC BC ,FH FC,易证FBCFBH,FAHFAD,BC BH,ADAB,由题意 ADDC4,设 BCTDBHx,在 Rt ABT 中,AB 2BT 2 AT2,(x4) 24 2(4x) 2,x1,BC BHTD1,AB5,设 AKEKy ,DE z ,AE 2AK 2EK 2AD 2DE 2,BE 2BK 2KE 2BC 2EC 2,4 2z 2y 2 ,(5 y) 2y 2 12(4z) 2由可得 y 70,S ABE 25 ,

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