1、三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段（1 ）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2 ）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3 ）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 。2、三角形的三边关系定理及推论（1 ）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2 ）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角
2、形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1 ）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ）（2 ）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ）（3 ）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。直角三角形全等的
3、判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用于证明同一个
4、三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛典例分类考向一：与三角形有关的角、线段、边的计算典例 1：（2017枣庄） 如图，在 RtABC 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 21MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 A
5、P 交边 BC 于点 D，若 CD4 ，AB15，则ABD 的面积是（ ）A15 B30 C45 D60典例 2：（2018宜昌）如图，在 RtABC 中，ACB90，A 40 ，ABC 的外角CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E（1 ）求CBE 的度数；（2 ）过点 D 作 DFBE，交 AC 的延长线于点 F，求F 的度数FECABD考向二：三角形三边关系应用典例 3：(2018常德)已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ）A1 B2 C8 D11考向三：三角形中点相关问题典例 4(2018武汉)如图，在ABC 中，ACB 60，AC1，D 是边
6、 AB 的中点，E 是边 BC上一点若 DE 平分ABC 的周长，则 DE 的长是_.EDBAC典例 5(2017达州）ABC 中，AB=5，AC=3 ，AD 是ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范围是 考向四：与多边形有关的计算 典例 6：（2018 宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 课时作业能力提升一、单选题1 （ 2018河北） 如图点 I 为 ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将 ACB平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A.4.5 B.4 C.3 D.2ICBA2 (2018吉林)如图，将ABC 折叠，使
7、点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN若AB9， BC6，则DNB 的周长为( )A12 B13 C14 D153 （ 2017深圳）如图，已知线段 AB，分别以 A、B 为圆心，大于 21AB 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 l，在直线 l 上取一点 C，使得CAB=25，延长 AC 至 M，求BCM 的度数为（ ）A40 B50 C60 D704 (2018，福建)如图，等边三角形 ABC 中，ADBC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，EBC 45，则ACE 等于（ ）A15 B30 C45 D605 （ 2017巴中）若 a、b、c 为三角形的三边，且 a、b 满足 0
8、)2(9b，第三边 c 为奇数，则 c=（ ） A 7 B 9 C 10 D 116 （ 2018济宁）如图，在五边形 ABCDE 中，A BE 300，DP、CP 分别平分EDC、 BCD，则P 的度数（ ）A50 B55 C60 D65 7 （ 2018淄博）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 与点 M，过点 M 作 MNBC交 AC 于点 N，且 AN 平分AMC.若 AN1 ，则 BC 的长为（ ）A4 B6 C4 D83 NMAB C二、填空题8 (2018南京)如图，五边形 ABCDE 是正五边形，若 l1 l2，则1 2 CDEAP9 （ 2018 贵阳）如图，
9、在 ABC 中，BC 6，BC 边上的高为 4，在ABC 的内部作一个矩形 EFGH，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB、AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为 .10 （ 2018长春）如图，在 ABC 中，ABAC以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点 D，连结 BD若A32，则CDB 的大小为 度三、解答题 11 (2018，福建)如图，在 RtABC 中，C 90 ，AB 10,AC8，线段 AD 由线段 AB 绕点A 按逆时针方向旋转 90得到， EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D（1 ）求BDF 的大小；（2
10、 ）求 CG 的长12 （ 2018深圳）在 RtABC 中，C 90，AD 平分ABC ，BE 平分ABC，AD、BE相交于点 F，且 AF4， EF ，求 AC213（ 2018哈尔滨）已知:在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，且 ACBD，作BFCD，垂足为点 F，BF 与 AC 交于点 G，BGEADE(1)如图 1，求证:ADCD;(2)如图 2，BH 是ABE 的中线，若 AE2 DE，DEEG ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于ADE 面积的 2 倍(图 1) (图 2)14 （ 2017呼和浩特）如
11、图，等腰三角形 ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线（1 ）求证：BD=CE；（2 ）设 BD 与 CE 相交于点 O，点 M，N 分别为线段 BO 和 CO 的中点，当 ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN 的形状，无需说明理由15（ 2018河北）如图 13，A =B=50，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点，连接 MP，并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N，设 BPN=a.(1)求证:APM BPN；(2)当 MN=2BN 时，求 a的度数；(3)若 BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出 a的取值范
12、围. 16 （ 2017鄂州）如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，AB BCAD，DAC 45，E 为 CD 上一点，且BAE 45若 CD4，求ABE 的面积为三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段（1 ）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2 ）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3 ）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高） 。2、三角形的三边关系定理及推论（1 ）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的
13、两边之差小于第三边。（2 ）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1 ）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS” ）（2 ）角边角定理：有两角和
14、它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA” ）（3 ）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL” ）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都
15、相等，并且每个角都等于 60。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛典例分类考向一：与三角形有关的角、线段、边的计算典例 1：（2017枣庄） 如图，在 RtAB
16、C 中，C90，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 21MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD4 ，AB15，则ABD 的面积是（ ）A15 B30 C45 D60【分析】判断出 AP 是BAC 的平分线，过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DECD ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解【解答】解：由题意得 AP 是BAC 的平分线，过点 D 作 DEAB 于 E，又C90 ，DECD，ABD 的面积 21ABDE 15430故答案：B典
17、例 2：（2018宜昌）如图，在 RtABC 中，ACB90，A 40 ，ABC 的外角CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E（1 ）求CBE 的度数；（2 ）过点 D 作 DFBE，交 AC 的延长线于点 F，求F 的度数FECABD【分析】 （1）根据外角定理知 CBDAACB，再根据 EB 是CBD 的角分线即可求得；（2 ）在 RtCBE 中，根据（1）中求得的CBE 的度数求得CBE，再根据两直线平行，同位角相等即可求得F【解答】解：（1）在 RtABC 中，ACB 90, A40，ABC ACBA 50， CBD130 ， BE 是CBD 的平分线，CBE 2CBD65
18、(2)ACB 90， CEB906525， DF BE， FCEB25考向二：三角形三边关系应用典例 3：(2018常德)已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ）A1 B2 C8 D11【分析】已知三角形的两边长分别为 2 和 7，根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知第三边长4 x10，所以第三边长可能是 10 ，故答案：C考向三：三角形中点相关问题典例 4(2018武汉)如图，在ABC 中，ACB 60，AC1，D 是边 AB 的中点，E
19、 是边 BC上一点若 DE 平分ABC 的周长，则 DE 的长是_.EDBAC【分析】延长 BC 至点 F，使 CFAC 或者作 BC 的中点 F，连接 DF，过点 F 作 FGDE 于 G构成中位线进行解答【解答】解：延长 BC 至点 F，使 CFAC，DE 平分 ABC 的周长，ADBC，ACCEBE ，BECFCEEF ，DEAF，DE12AF，又ACF 120 ，ACCF ，AF 3 AC ，32DE.法二： 作 BC 的中点 F，连接 DF，过点 F 作 FGDE 于 G，设 CEx ，则BE 1x，BE1x ，BC1 2x ，CF 12x，EFCFCE12，而DF 2AC ，且C6
20、0，DFE120 ，FEG30，GF EF 4 ，EG34， DE2EG3.FEDC BA GA BCDEF故答案：32典例 5(2017达州）ABC 中，AB=5，AC=3 ，AD 是ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范围是 【分析】作辅助线，构建AEC，根据三角形三边关系得：ECACAEAC+EC，即532m5+3 ，所以 1m4【解答】解：延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 CE，则 AE=2m， AD 是ABC 的中线，BD=CD，在 ADB 和EDC 中，ADEBC， ADBEDC， EC=AB=5，在AEC 中，ECACAEAC+EC，即 532m5+3，1m
21、4，故答案：1m4考向四：与多边形有关的计算 典例 6：（2018 宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 【分析】根据多边形的内角和，可得答案【解答】解：(n2)1803360，解得 n8 故答案：8课时作业能力提升一、单选题1 （ 2018河北） 如图点 I 为 ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将 ACB平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A.4.5 B.4 C.3 D.2ICBA【分析】考查三角形内心,利用平移和三角形内心的性质可求解【解答】解：设 CA、CB 平移后的线段分别交 AB 于点 M,N,连接 AI、BI,AI、BI
22、 分别为CAB、 CBA 的平分线,CAI=BAI,CBI= ABI ，由平移可得,CAI= AIM, CBI=BIN, 故BAI= AIM, ABI=BIN, AM=MI,BN=NI.MNI 的周长为MI+NI+MN=AM+BN+MN=AB=4，故答案：B 2 (2018吉林)如图，将ABC 折叠，使点 A 与 BC 边中点 D 重合，折痕为 MN若AB9， BC6，则DNB 的周长为( )A12 B13 C14 D15【分析】根据线段垂直平分线的性质及翻折变换性质解答【解答】解：由折叠得，ANDN，而 D 是 BC 的中点，DB BC，所以DNB 的周长为12DNNBDBANNBDB AB
23、 BC9 612 12 12故答案：A3 （ 2017深圳）如图，已知线段 AB，分别以 A、B 为圆心，大于 21AB 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 l，在直线 l 上取一点 C，使得CAB=25，延长 AC 至 M，求BCM 的度数为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】根据作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，故可得出 AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论【解答】解：由作法可知直线 l 是线段 AB 的垂直平分线， AC=BC，CAB=CBA=25，BCM=CAB+CBA=25+25=50故答案：B4 (2018，福建)如图，等边三角形 ABC 中，ADBC，垂
24、足为 D，点 E 在线段 AD 上，EBC 45，则ACE 等于（ ）A15 B30 C45 D60【分析】根据三角形内角和定理可求【解答】解：ABC 是等边三角形，ABC 60，EBC45， ACEABCEBC15 ，故答案：A5 （ 2017巴中）若 a、b、c 为三角形的三边，且 a、b 满足 0)2(9b，第三边 c 为奇数，则 c=（ ） A 7 B 9 C 10 D 11【分析】先根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据三角形三边关系求出 c 的取值范围，进而求出 c 的值【解答】解：a、b 满足 0)2(9，a=9，b=2，a、b、c 为三角形的三边，7 c11 ，第三边
25、c 为奇数， c=9 ，故答案：B6 （ 2018济宁）如图，在五边形 ABCDE 中，A BE 300，DP、CP 分别平分EDC、 BCD，则P 的度数（ ）A50 B55 C60 D65 【分析】由角平分线定义及多边形内角和及三角形内角和可求解【解答】解：五边形 ABCDE 中，ABBCDCDEE (52)180540又AB E300 ，BCDCDE240DP、CP 分别平分CDAPEDC、 BCD，PCD 12BCD ，PDC12CDE，PCD PDC12(BCDCDE)12240120在PCD 中，PCDPDCP 180，P180(PCDPDC)180120 60故答案：C7 （ 2
26、018淄博）如图，在 RtABC 中，CM 平分ACB 交 AB 与点 M，过点 M 作 MNBC交 AC 于点 N，且 AN 平分AMC.若 AN1 ，则 BC 的长为（ ）A4 B6 C4 D83 NMAB C【分析】由平行线和角平分线导角求出B30, 再利用直角三角形性质可求【解答】解：MNBC ，AMNNMC NCMBCM.又A90 ，AMNB30.MN2AN2NC.BC2AC6.故答案：B二、填空题8 (2018南京)如图，五边形 ABCDE 是正五边形，若 l1 l2，则1 2 【分析】直接利用多边形内角和及平行线性质可求【解答】解：过点 B 作 BF l1，则 BFl 1l 2，
27、ABF2，CBF1180五边形 ABCDE 是正五边形，ABC108 ，ABFCBF12 180 ，12 18010872故答案：729 （ 2018 贵阳）如图，在 ABC 中，BC 6，BC 边上的高为 4，在ABC 的内部作一个矩形 EFGH，使 EF 在 BC 边上，另外两个顶点分别在 AB、AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为 .【分析】根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：过点 A 作 AM DG 于 M，交 BC 于 N.由题意知，要使矩形 EFGD 的对角线最小，则该矩形为正方形.DG/ BC，ADGABC.设正方形 EFGD 边长为 x，MDGNBC，即 4x6 .解
28、之，x 125.在 RtEFG 中，根据勾股定理知，对角线EF 125.故答案为： 12510 （ 2018长春）如图，在 ABC 中，ABAC以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点 D，连结 BD若A32，则CDB 的大小为 度【分析】由等边对等角及三角形内角和定理可求【解答】解：ABAC， A32，ACB12（180A）12（180 32）74由已知得 CBCD，CBDCDBACB 是CBD 的一个外角，ACB CBDCDB，CDB12ACB 7437三、解答题 11 (2018，福建)如图，在 RtABC 中，C 90 ，AB 10,AC8，线段 AD 由线段
29、AB 绕点A 按逆时针方向旋转 90得到， EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D（1 ）求BDF 的大小；（2 ）求 CG 的长【分析】 （1）依据旋转的性质可知 ADAB，又DAB 90 ，可得ABD 是等腰直角三角形，依据平移的性质可得 ABEF，结合平行线的性质可求出BDF 的度数；（2）依据平移的性质可知ADEACB，DEAABC，可得ADE ACB ，然后利用相似三角形性质ADECB求出 AE 的长即可求解【解答】解：（1）线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按点 A 逆时针方向旋转 90得到，DAB90， ADAB10 ,ABD45，EFG 由 ABC
30、沿 CB 方向平移得到，AB EF，BDFABD45（2 ）由平移的性质可得：AECG，ABEF，DEA DFC ABC ，ADE+ DAB180 ，DAB90，ADE 90，ACB90，ADEACB，ADE ACB，ADECB,AC8，ABAD 10，AE25由平移的性质可得：CGAE2512 （ 2018深圳）在 RtABC 中，C 90，AD 平分ABC ，BE 平分ABC，AD、BE相交于点 F，且 AF4，EF ，求 AC2【分析】由三角形角平分线交于一点导出 45 度, 过 C 作 AD 的垂线,构成母子相似三角形,列式计算即可【解答】解：如图，AD 平分BAC，BE 平分ABC
31、，C90AFB90 C135 ，AFE45，过点 E 作 EGAD 于点 G，EF ，EGFG1，又12 2AF4，AG3，AE ，连接 CF，则 CF 平分 ACB，ACF4510=AFE，AEFAFC ，AC AEAF AFAC AF2AE13（ 2018哈尔滨）已知:在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，且 ACBD，作BFCD，垂足为点 F，BF 与 AC 交于点 G，BGEADE(1)如图 1，求证:ADCD;(2)如图 2，BH 是ABE 的中线，若 AE2 DE，DEEG ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都
32、等于ADE 面积的 2 倍(图 1) (图 2)【分析】 （1）问由两个垂直可知 BGE BDC，又因为 BGEADE，所以BDC ADE，之后易证DACDCA，所以 ADC D（2 ）问根据比例解设边长，即可求出ADE 面积的 2 倍的三角形【解答】解:(1)证明:AC BDAEDDECBEG90BGEEBG90BFCD BFD90 BDFEBC90BCE BDFBGEADEADEBDFDE DEADECDEADCD(2)ACD，ABE，BCE，GBH14 （ 2017呼和浩特）如图，等腰三角形 ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线（1 ）求证：BD=CE；（2 ）设 BD 与 CE
33、 相交于点 O，点 M，N 分别为线段 BO 和 CO 的中点，当 ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等时，判断四边形 DEMN 的形状，无需说明理由【分析】 （1）根据已知条件得到 AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2 ）根据三角形中位线的性质得到 EDBC，ED= 21BC，MN BC，MN= 21BC，等量代换得到 EDMN，ED=MN，推出四边形 EDNM 是平行四边形，由（1）知 BD=CE，求得 DM=EN，得到四边形 EDNM 是矩形，根据全等三角形的性质得到 OB=OC，由三角形的重心的性质得到 O 到 BC 的距离= 21BC，根据直角三角形的判定得到
34、BDCE，于是得到结论【解答】 （1）解：由题意得， AB=AC，BD，CE 分别是两腰上的中线，AD= 2AC，AE= AB，AD=AE，在ABD 和ACE 中ABCDE，ABDACE（ASA） BD=CE；（2 ）四边形 DEMN 是正方形，证明：E、D 分别是 AB、AC 的中点，AE= 1AB，AD= 2AC，ED 是 ABC 的中位线，EDBC，ED= BC，点 M、 N 分别为线段 BO 和 CO 中点，OM=BM，ON=CN，MN 是OBC 的中位线，MNBC，MN= 21BC，EDMN，ED=MN，四边形 EDNM 是平行四边形，由（1）知 BD=CE，又 OE=ON，OD=O
35、M，OM=BM ，ON=CN，DM=EN，四边形 EDNM 是矩形，在BDC 与CEB 中，BECD，BDCCEB ，BCE=CBD，OB=OC，ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长相等，O 到 BC 的距离= 21BC，BDCE，四边形 DEMN 是正方形15（ 2018河北）如图 13，A =B=50，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点，连接 MP，并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N，设 BPN=a.(1)求证:APM BPN；(2)当 MN=2BN 时，求 a的度数；(3)若 BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出 a的取值范围. 【
36、分析】 （1）已知A= B=50，和 P 为 AB 中点，然后根据对顶角相等可以得出APM=BPN，根据 ASA 证全等；（2 ）根据（1）中的结论可得：MP=NP=BN，则BPN=a=B=50；（3 ）三角形的外心是三角形外接圆的圆心,是三角形三边中垂线的交点。外心所在的位置与三角形的形状有关,锐角三角形的外心在三角形内部,直角三角形的外心在斜边中点处,钝角三角形的外心在三角形的外部。该三角形外心在内部，则它是锐角三角形，因此 a40，所以 40a90.【解答】解:(1) P 为 AB 中点， AP=BP,在 APM 和BPN 中：AB50PMNAPMBPN (ASA)(2) APMBPN,
37、 MP=NP,又 MN=2BN, MP=NP=BN。又 A=B=50， a=B=50；(3)40 90。16 （ 2017鄂州）如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，AB BCAD，DAC 45，E 为 CD 上一点，且BAE 45若 CD4，求ABE 的面积为【分析】如图取 CD 的中点 F，连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G，作 FHAB 于H，EKAB 于 K作 BTAD 于 T由BCF GDF，推出 BCDG ，BFFG，由FBC FBH，FAHFAD，推出 BCBH，ADAB ，由题意 ADDC4 ，设BC TDBHx ，在 RtABT 中， ，推出 x1 ，
38、推出 BCBH TD1，AB5 ，设AKEKy ，DEz ，由勾股定理得出方程组即可解决问题【解答】解：如图取 CD 的中点 F，连接 BF 延长 BF 交 AD 的延长线于 G，作 FHAB 于H，EKAB 于 K作 BTAD 于 TBC AG，BCF FDG，BFC DFG，FCDF，BCF GDF，BC DG，BFFG，AB BCAD，AGADDGADBC，AB AG，BFFG，BFBG，ABFGCBF，FH BA，FC BC ，FH FC，易证FBCFBH，FAHFAD，BC BH，ADAB，由题意 ADDC4，设 BCTDBHx，在 Rt ABT 中，AB 2BT 2 AT2，（x4） 24 2（4x） 2，x1，BC BHTD1，AB5，设 AKEKy ，DE z ，AE 2AK 2EK 2AD 2DE 2，BE 2BK 2KE 2BC 2EC 2，4 2z 2y 2 ，（5 y） 2y 2 12（4z） 2由可得 y 70，S ABE 25 ，
