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中考数学培优(含解析)之与圆有关的概念

1、与圆有关的概念聚焦考点温习理解1、圆的定义在一个个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径。2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (如图中的 AB)3.直径经过圆心的弦叫做直径。 (如图中的 CD)直径等于半径的 2 倍。4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“”表示,以 A,B 为端点的弧记作“ ”,读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示) ;小于半圆的弧叫做劣弧

2、(多用两个字母表示)5、垂径定理及其推论垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。推论 1:(1 )平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 。(2 ) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3 ) 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 。6、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。名师点睛典例分类考向一:圆的相关概念和性质典例 1:(2018 舟山) 如图,量

3、角器的 O 度刻度线为 AB将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点 C,直尺另一边交量角器于点 A、D,量得 AD10cm,点 D 在量角器上的读数为 60则该直尺的宽度为 cmDBOAC10203405607807615013021 102304506708 7160510312010 9018 8考向二:垂径定理及运用典例 2:(2017十堰)如图, ABC 内接于O, ACB90,ACB 的角平分线交O 于D若 AC6 ,BD 25,求 BC 的长 考向三:圆周角定理及运用典例 3:(2018龙东)如图, AC 为O 的直径,点 B 在圆上,ODAC 交O 于点 D,连

4、接 BD, BD O15 ,则ACB_典例 4:(2015安徽)在 O 中,直径 AB=6,BC 是弦,ABC=30 ,点 P 在 BC 上,点 Q在O 上,且 OPPQ(1 )如图 1,当 PQAB 时,求 PQ 的长度;(2 )如图 2,当点 P 在 BC 上移动时,求 PQ 长的最大值考向四:圆心角、弧、弦之间的关系 典例 4:(2017东营)如图, AB 是半圆直径,半径 OCAB 于点 O,D 为半圆上一点,ACOD,AD 与 OC 交于点 E,连结 CD、BD ,给出以下三个结论:OD 平分COB;BD=CD;CD2=CECO,其中正确结论的序号是 典例 5:(2015雅安)如图所

5、示, MN 是O 的直径,作 ABMN,垂足为点 D,连接AM, AN,点 C 为 上一点,且 = ,连接 CM,交 AB 于点 E,交 AN 于点 F,现给出以下结论:AD=BD; MAN=90; = ;ACM+ANM= MOB;AE= 21MF 其中正确结论的个数是( )A2 B3 C4 D5考向五:圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用典例 6:(2016武汉)如图,点 C 在以 AB 为直径的O 上,AD 与过点 C 的切线垂直,垂足为点 D,AD 交O 于点 E(1) 求证:AC 平分DAB;(2) 连接 BE 交 AC 于点 F,若 cosCAD 54,求 FA的值课时作业能力提升

6、一选择题1 (2018 咸宁)如图,已知 O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是AOB,COD,若AOB 与 COD 互补,弦 CD6,则弦 AB 的长为( )A6 B8 C5 D52 32 ( 2018菏泽)如图,在 O 中,OCAB ,ADC 32,则OBA 的度数是( ) A64 B58 C32 D263 (2018湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣;将半径为 r 的 O 六等分,依次得到 A,B,C,D,E,F 六个分点; 分别以点 A,D 为圆心,AC 长为半径画弧,G 是两弧的一个交点;连接 OG.问:OG 的长是多少?大

7、臣给出的正确答案应是( )OABCDEFGA 3r B (12)r C(132)r D 2r4 (2017阿坝州)如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O,则折痕AB 的长为( )A2cm B 3cm C 52cm D 32cm5 ( 2018烟台)如图,四边形 ABCD 内接于O ,点 I 是ABC 的内心,AIC=124,点E 在 AD 的延长线上,则CDE 的度数为( )A56 B62 C68 D78 DOCBA EIA B C D O 6 ( 2018枣庄)如图,AB 是O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP2,BP 6, APC30,则 CD 的长为 (

8、)A 15 B2 5 C2 15 D87 (2018荆州)如图,平面直角坐标系中,P 经过三点 A(8,0 ) ,O(0,0) ,B(0,6) ,点 D 是P 上一动点.当点 D 到弦 OB 的距离最大时, tanBOD 的值是( )A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题8 (2018临沂)如图,在ABC 中,A60,BC5 cm.能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 cmCBA9 ( 2017海南)如图,AB 是 O 的弦,AB 5,点 C 是 O 上的一个动点,且 ACB45,若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点,则 MN 长的最大值是 10 ( 2018益阳)如图,在ABC

9、中,AB=5,AC=4,BC=3, 按以下步骤作图:以 A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB,AC 于点 M,N;分别以 M,N 为圆心,以大于 21MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 E; 作射线 AE;以同样的方法作射线 BF.AE 交 BF 于点 O,连接 OC,则 OC= ABO xPyOFENMCBA三、解答题 11 (2018定西)如图,点 O 是ABC 的边 AB 上一点,O 与边 AC 相切于点 E,与边BC, AB 分别相交于点 D,F,且 DEEF(1 )求证:C90 ;(2 )当 BC3,sinA 5时,求 AF 的长12 ( 2018昆明)如图,AB 是O 的直径

10、,ED 切O 于点 C,AD 交O 于点 F,AC 平分BAD,连接 BF (1 )求证: ADED;(2 )若 CD4 ,AF2 ,求O 的半径 FOABCDE13 ( 2017台州)如图,已知等腰直角三角形 ABC,点 P 是斜边 BC 上一点(不与 B,C重合) ,PE 是ABP 的外接圆O 的直径(1 )求证:APE 是等腰直角三角形;(2 )若O 的直径为 2,求 2PBC的值14 ( 2018福建)如图 1,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形,AC 为直径,DE AB ,垂足为 E,交O 于点 F(1)延长 DE 交 O 于点 F, 、延长 DC、FB 交于点 P,求证:PBP

11、C;(2) 如图 2,过点 B 作 BG AD,垂足为 G,BG 交 DE 于点 H且点 O 和点 A 都在 DE 的左侧,若 AB 3,DH1,OHD80,求BDE 的大小15 ( 2017深圳)如图,线段 AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 H,点 M 是 ACBD上任意一点,AH=2,CH=4(1 )求O 的半径 r 的长度;(2 )求 sinCMD;(3 )直线 BM 交直线 CD 于点 E,直线 MH 交 O 于点 N,连接 BN 交 CE 于点 F,求 HEHF的值16 ( 2018哈尔滨)已知:O 是正方形 ABCD 的外接圆,点 E 在弧 AB 上,连接 BE、DE,点 F

12、 在弧 AD 上,连接 BF、DF、BF 与 DE、DA 分别交于点 G、点 H,且 DA 平分EDF(1)如图 1,求证:CBEDHG;(2)如图 2,在线段 AH 上取一点 N(点 N 不与点 A、点 H 重合),连接 BN 交 DE 于点 L,过点 H 作 HK/BN 交 DE 于点 K,过点 E 作 EPBN,垂足为点 P,当 BPHF 时,求证:BEHK ;(3)如图 3,在(2) 的条件下,当 3HF2DF 时,延长 EP 交 O 于点 R,连接 BR,若BER 的面积与DHK 的面积的差为 47,求线段 BR 的长图 1 图 2 图 3与圆有关的概念聚焦考点温习理解1、圆的定义在

13、一个个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径。2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。 (如图中的 AB)3.直径经过圆心的弦叫做直径。 (如图中的 CD)直径等于半径的 2 倍。4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。弧用符号“”表示,以 A,B 为端点的弧记作“ ”,读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示) ;小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)5、垂径定理及其推论垂径

14、定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。推论 1:(1 )平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 。(2 ) 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3 ) 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 。6、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。名师点睛典例分类考向一:圆的相关概念和性质典例 1:(2018 舟山) 如图,量角器的 O 度刻度线为 AB将一矩形直尺与量

15、角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点 C,直尺另一边交量角器于点 A、D,量得 AD10cm,点 D 在量角器上的读数为 60则该直尺的宽度为 cmDBOAC10203405607807615013021 102304506708 7160510312010 9018 8【分析】 根据题意,抽象出数学图形,由圆的相关概念和性质即可作答 【解答】解:根据题意可知:AD10,AOD120,由 OAOD ,DAO30,设OEx,则 OA2 x,OEAD,AEDE5 ,在 RtAOE 中,x 2+52(2x) 2,解得:53,CEOE3EC DOA B故答案:53考向二:垂径定理及运用典例 2:(

16、2017十堰)如图, ABC 内接于O, ACB90,ACB 的角平分线交O 于D若 AC6 ,BD 25,求 BC 的长 【分析】考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键连接BD,根据 CD 是 ACB 的平分线可知ACDBCD45,故可得出 ADBD,再由 AB 是O 的直径可知ABD 是等腰直角三角形,利用勾股定理求出 AB 的长,在 RtABC 中,利用勾股定理可得出 BC 的长【解答】解:连接 BD,ACB90 ,AB 是 O 的直径 ACB 的角平分线交 O 于 D,ACDBCD 45 , ADBD 25AB 是 O 的直径,ABD 是等腰直角三角形,AB 1

17、02BDAAC6,BC86102C考向三:圆周角定理及运用典例 3:(2018龙东)如图, AC 为O 的直径,点 B 在圆上,ODAC 交O 于点 D,连接 BD, BD O15 ,则ACB_【分析】连接 AD,利用圆周角定理和等腰直角三角形性质即可解决【解答】解:连接 ADAC 为O 的直径,点 D 在圆上,OD AC ,AOD 是等腰直角三角形,ADO 45,又BDO15,ADB 60,ACB 与ADB 所对的弧都是 AB 弧,ACB ADB 60故答案:60典例 4:(2015安徽)在 O 中,直径 AB=6,BC 是弦,ABC=30 ,点 P 在 BC 上,点 Q在O 上,且 OPP

18、Q(1 )如图 1,当 PQAB 时,求 PQ 的长度;(2 )如图 2,当点 P 在 BC 上移动时,求 PQ 长的最大值【分析】考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,考查了勾股定理和解直角三角形, (1)连结 OQ,如图 1,由PQAB,OPPQ 得到 OPAB,在 RtOBP 中,利用正切定义可计算出 OP,然后在 RtOPQ 中利用勾股定理可计算出 PQ;(2 )连结 OQ,如图 2,在 RtOPQ 中,根据勾股定理得到 PQ 关于 OP 的函数关系式,则当 OP 的长最小时,PQ 的长最大,根据垂线段最短得到 OPBC,从而得出

19、 PQ 长的最大值【解答】解:(1)连结 OQ,如图 1,PQAB,OPPQ,OPAB,在 RtOBP 中,tanB= OBP,OP=3tan30= 3,在 RtOPQ 中,OP= 3,OQ=3 ,PQ=62Q;(2 )连结 OQ,如图 2,在 Rt OPQ 中,PQ= 229OPQ,当 OP 的长最小时,PQ 的长最大,此时 OPBC,则 OP= 1OB= 3,PQ 长的最大值为 239考向四:圆心角、弧、弦之间的关系 典例 4:(2017东营)如图, AB 是半圆直径,半径 OCAB 于点 O,D 为半圆上一点,ACOD,AD 与 OC 交于点 E,连结 CD、BD ,给出以下三个结论:O

20、D 平分COB;BD=CD;CD2=CECO,其中正确结论的序号是 【分析】考查了圆周角定理,平行线的性质,圆的性质,圆心角与弦的关系定理的运用,相似三角形的判定及性质;由 OCAB 就可以得出 BOC=AOC=90,再由 OC=OA 就可以得出OCA= OAC=45,由 ACOD 就可以得出BOD=45 ,进而得出 DOC=45,从而得出结论;由 BOD=COD 即可得出 BD=CD;由 AOC=90就可以得出CDA=45,得出DOC= CDA,就可以得出 DOCEDC进而得出 DCOE,得出 COE2【解答】解:OCAB,BOC=AOC=90 OC=OA, OCA=OAC=45ACOD,

21、BOD=CAO=45, DOC=45, BOD=DOC,OD 平分COB故正确;BOD=DOC,BD=CD故 正确;AOC=90,CDA=45,DOC=CDA OCD=OCD,DOCEDC, DCOE, COE2故 正确故答案:典例 5:(2015雅安)如图所示, MN 是O 的直径,作 ABMN,垂足为点 D,连接AM, AN,点 C 为 上一点,且 = ,连接 CM,交 AB 于点 E,交 AN 于点 F,现给出以下结论:AD=BD; MAN=90; = ;ACM+ANM= MOB;AE= 21MF 其中正确结论的个数是( )A2 B3 C4 D5【分析】根据 ABMN,垂径定理得出 正确

22、,利用 MN 是直径得出正确, = =,得出正确,结合得出正确即可【解答】解:MN 是O 的直径,ABMN ,AD=BD, = ,MAN=90 (正确) = , = = ,ACM+ANM= MOB(正确)MAE=AME,AE=ME,EAF=AFM,AE=EF,AE= 21MF(正确) 正确的结论共 5 个故答案:D考向五:圆的有关性质与三角形、四边形等综合运用典例 6:(2016武汉)如图,点 C 在以 AB 为直径的O 上,AD 与过点 C 的切线垂直,垂足为点 D,AD 交O 于点 E(1) 求证:AC 平分DAB;(2) 连接 BE 交 AC 于点 F,若 cosCAD 54,求 FCA

23、的值【分析】考查切线的性质、平行线的性质和判定,勾股定理,圆周角定理及圆心角,弧,弦之间的关系的应用【解答】解:(1)证明:连接 OC,则 OCCD,又ADCD,ADOC,CADOCA ,又OAOC, OCA OAC,CADCAO,AC 平分DAB (2 )解:连接 BE 交 OC 于点 H,易证 OCBE,可知OCACAD,COSHCF 54,设HC 4,FC5,则 FH3又 AEFCHF,设 EF3x,则 AF5x,AE 4x,OH2x BHHE 3x3 OBOC2x4 在OBH 中, 2223xx化简得: 0729x,解得: 971x, 1(舍去) 975FCA课时作业能力提升一选择题1

24、 (2018 咸宁)如图,已知 O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是AOB,COD,若AOB 与 COD 互补,弦 CD6,则弦 AB 的长为( )A6 B8 C5 D52 3【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角及圆的旋转不变性【解答】解:将COD 绕点 O 顺时针旋转,使 OC 与 OB 重合,AOB 与COD 互补,A、O、D 三点共线,即 AD 是直径,ABD90 ,AB 8,AD BD 10 6DCOAB故答案:B2 ( 2018菏泽)如图,在 O 中,OCAB ,ADC 32,则OBA 的度数是( ) A64 B58 C32 D26【分析】由垂径定理,得,然后根

25、据同弧所对的圆心角与圆周角之间关系即可得到结论【解答】解:OCAB,由垂径定理,得,O2D64 ,OBA 906426故答案:D3 (2018湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣;将半径为 r 的 O 六等分,依次得到 A,B,C,D,E,F 六个分点; 分别以点 A,D 为圆心,AC 长为半径画弧,G 是两弧的一个交点;连接 OG.问:OG 的长是多少?大臣给出的正确答案应是( )A B C D O OABCDEFGA 3r B (12)r C(132)r D 2r【分析】.由题意可知 OG 是 AD 的垂直平分线,再由圆周角定理及勾股定理可求【答

26、案】解:如图,连接 AD,AC、AG、CD.由题意可知 OG 是 AD 的垂直平分线,AOG是直角三角形.在ACD 中,易知ACD90,ADC 60,ACsinADCAD3r,AG 3r.在 RtAOG 中,OG 2AGO 23r r.OABCDEFG故答案:D4 (2017阿坝州)如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O,则折痕AB 的长为( )A2cm B 3cm C 52cm D 32cm【分析】通过作辅助线,过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D,根据折叠的性质可知 OA=2OD,根据勾股定理可将 AD 的长求出,通过垂径定理可求出 AB 的长【解答】解:过点

27、O 作 ODAB 交 AB 于点 D,连接 OA,OA=2OD=2cm,AD= 3122DA (cm), ODAB,AB=2AD=2 3cm故答案:D5 ( 2018烟台)如图,四边形 ABCD 内接于O ,点 I 是ABC 的内心,AIC=124,点E 在 AD 的延长线上,则CDE 的度数为( )A56 B62 C68 D78 DOCBA EI【分析】考查了圆内接四边形性质及三角形内心性质【解答】解:由AIC=124,知IAC+ICA=180 AIC=180124=56 又点 I 是ABC的内心,点 I 是ABC 三个内角角平分线的交点BAC+BCA =562=112B =180(BAC+

28、BCA)=180112=68四边形 ABCD 内接于O,CDE =B =68故答案:C6 ( 2018枣庄)如图,AB 是O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 P,AP2,BP 6, APC30,则 CD 的长为 ( )A 15 B2 5 C2 15 D8【分析】作 OHCD 于 H,连结 OC 先根据垂径定理和勾股定理即可得出结论【解答】解:作 OHCD 于 H,连结 OC,如图,OH CD,HCHD,AP2,BP 6,AB8 , OA4 ,OP OAAP2,在RtOPH 中,OPH30 , POH60 ,OH 12OP1,在 RtOHC 中,OC 4,OH1 ,CH 2OCH5,CD2CH

29、2 15 故答案:C7 (2018荆州)如图,平面直角坐标系中,P 经过三点 A(8,0 ) ,O(0,0) ,B(0,6) ,点 D 是P 上一动点.当点 D 到弦 OB 的距离最大时, tanBOD 的值是( )A.2 B.3 C.4 D.5【分析】考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数连结 AB,过点 P 作 PEOB 于点 E,反向延长 PE 交 P 于点 D,则此时点 D 到弦 OB 的距离最大【解答】解如图,连结 AB,过点 P 作 PEOB 于点 E,反向延长 PE 交P 于点 D,则此时点 D 到弦 OB 的距离最大,由题意得: AB 是P 的直径,AB 10 ,PB 5,由垂径

30、定理可知:BEOE 21OB3,在 RtPEB 中,由勾股定理得PE 4,DEPDPE 5 49 ,taN BOD OED 393.故答案:B二、填空题8 (2018临沂)如图,在ABC 中,A60,BC5 cm.能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 cmCBAABO xPyDEABO xPy【分析】能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片是如图所示的ABC 外接圆O,考查了过不在同一直线上的三点确定一个圆及垂径定理【解答】解:能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片是如图所示的ABC 外接圆O,连接OB,OC,则BOC=2 BAC=120,过点 D 作 ODBC 于点 D,BOD= 21BOC=6

31、0,由垂径定理得 BD= 21BC=5cm,OB=35260sinB, 能够将ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是 30故答案: 3109 ( 2017海南)如图,AB 是 O 的弦,AB 5,点 C 是 O 上的一个动点,且 ACB45,若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点,则 MN 长的最大值是 【分析】考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理,根据中位线定理得到 MN 的最大时, BC 最大,当 BC 最大时是直径,从而求得直径后就可以求得最大值【解答】解:如图,点 M,N 分别是 AB,AC 的中点,MN 21BC, 当 BC 取得最大值时,MN 就取得最大值,当

32、 BC 是直径时,BC 最大,连接 BO 并延长交O 于点 C,连接AC, BC是O 的直径,BAC90 ACB45,AB5,ACB45 , BC254sinAB,MN 最大 2510 ( 2018益阳)如图,在ABC 中,AB=5,AC=4,BC=3, 按以下步骤作图:以 A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB,AC 于点 M,N;分别以 M,N 为圆心,以大于 21MN 的长为半径作弧,两弧相交于点 E; 作射线 AE;以同样的方法作射线 BF.AE 交 BF 于点 O,连接 OC,则 OC= OFENMCBA【分析】考查基本作图及内心的概念【解答】解:AB=5,AC=4,BC=3,A

33、C 2+BC2=42+32=25=AB2,ABC 是直角三角形,由作法可知 AO,BO 分别是 BAC, ABC 的角平分线,点 O 是ABC 内切圆的圆心,其内切圆半径为 2543-=1,由勾股定理得 OC= 212.故答案: 三、解答题 11 (2018定西)如图,点 O 是ABC 的边 AB 上一点,O 与边 AC 相切于点 E,与边BC, AB 分别相交于点 D,F,且 DEEF(1 )求证:C90 ;(2 )当 BC3,sinA 5时,求 AF 的长【分析】 (1)连接 OE,BE,因为 DEEF,所以 ,从而易证 OEBDBE,所以OEBC,从可证明 BCAC ;(2)设O 的半径

34、为 r,则 AO5r,在 RtAOE 中,sinArOAE53,从而可求出 r 的值【解答】解:(1)连接 OE,BE,DEEF, OBEDBEOEOB,OEBOBEOEB DBE,OEBCO 与边 AC 相切于点 E,OEACBC AC C90(2 )在ABC,C90 ,BC3,sinA 53AB 5,设O 的半径为 r,则 AO5r,在 Rt AOE 中,sinA rOAE r 81AF52 81 412 ( 2018昆明)如图,AB 是O 的直径,ED 切O 于点 C,AD 交O 于点 F,AC 平分BAD,连接 BF (1 )求证: ADED;(2 )若 CD4 ,AF2 ,求O 的半

35、径 FOABCDE【分析】 (1)将圆心 O 与切点 C 连接起来,利用切线的性质可得 OCED ,再通过证明OC AD,得到DOCE90解决 (2)取 OC 与 BF 的交点为 G,证明四边形 GFDC 是矩形后,得 GFCD 4,并产生垂径定理的应用条件 OCBF ,于是求出 BF2GF8 ,最后在 RtAFB 中,运用勾股定理计算即可求出半径【解答】解:(1)证明:连接 OC,ED 切O 于点 C,OC ED OCE90OC OA, OACOCA又AC 平分BAD,OACDACOCADACOC ADDOCE90ADED(2 )取 OC 与 BF 的交点为 G,AB 是O 的直径,AFB9

36、0又D 90,AFBDBFED而 GCFD,四边形 GFDC 是平行四边形又D90,四边形 GFDC 是矩形GFCD4 ,FGC90 OCBFBF2GF8在 Rt AFB 中, AF 2BF 2AB 2,AB 2AFB 22 17O 的半径是 17 GEDCBAOF13 ( 2017台州)如图,已知等腰直角三角形 ABC,点 P 是斜边 BC 上一点(不与 B,C重合) ,PE 是ABP 的外接圆O 的直径(1 )求证:APE 是等腰直角三角形;(2 )若O 的直径为 2,求 2PBC的值【分析】考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识, (1)只要证明

37、AEP=ABP=45,PAB=90 即可解决问题;(2 )作 PMAC 于 M,PNAB 于 N,则四边形 PMAN 是矩形,可得 PM=AN,由 PCM,PNB 都是等腰直角三角形,推出 PC= 2PM,PB= PN,可得 422)()(22 PEAPNAPMPBC ;【解答】解:(1)证明: AB=AC,BAC=90,C=ABC=45,AEP= ABP=45, PE是直径,PAB=90,APE=AEP=45,AP=AE ,PAE 是等腰直角三角形(2 )作 PMAC 于 M,PNAB 于 N,则四边形 PMAN 是矩形, PM=AN,PCM,PNB都是等腰直角三角形,PC= 2PM,PB=

38、 PN,则有: 422)()(222 PEAPAPPBC14 ( 2018福建)如图 1,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形,AC 为直径,DE AB ,垂足为 E,交O 于点 F(1)延长 DE 交 O 于点 F, 、延长 DC、FB 交于点 P,求证:PBPC;(2) 如图 2,过点 B 作 BG AD,垂足为 G,BG 交 DE 于点 H且点 O 和点 A 都在 DE 的左侧,若 AB 3,DH1,OHD80,求BDE 的大小【分析】:(1)易得 DFBC,只需证明PCBPDFPFDPBC 即可.(2)不难得出四边形 DHBC 由平行四边形,从而 tanADBtanACBAB:BC

39、3,所以ADBACB 60,连接 OD 可得ODH20,由ODADACDBCEDB可得答案.【解答】解:(1)AC 为直径,ABCADC90 ,又 DFAB,ADE ABC90,DFBC,PCBPDF,PBC PFD,DFAB,AEFABFDFB90,ADCADFCDF90, A=F,ADFABF,PDFPFD,PCBPBC,PBPC.(2)连接 OD,BGAD,BGDADC 90,BGDADC180,BGCD,四边形 DHBC 为平行四边形, DHBC 1,在 RtABC 中,tanACB3=1BCA,ACB 60,CAB30,BC DH 2,DOHD,DOHDHO80,ODH20,EDBD

40、BC, A=DC,DACDBC,又 ODOA ,ODAOAD,ADOBDH, A=B,ADBACB 60, ADOODH BDE 60,ADOBDH 20,即EDB20.15 ( 2017深圳)如图,线段 AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 H,点 M 是 ACBD上任意一点,AH=2,CH=4(1 )求O 的半径 r 的长度;(2 )求 sinCMD;(3 )直线 BM 交直线 CD 于点 E,直线 MH 交 O 于点 N,连接 BN 交 CE 于点 F,求 HEHF的值【分析】考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识, (1)在 RtCO

41、H 中,利用勾股定理即可解决问题;( 2)只要证明CMD=COA,求出 sinCOA 即可;(3)由 EHMNHF,推出 HFMNE,推出HEHF=HMHN,又 HMHN=AHHB,推出 HEHF=AHHB,由此即可解决问题【解答】解:(1)如图 1 中,连接 OCAB CD,CHO=90 ,在 RtCOH 中,OC=r,OH=r 2,CH=4, 22)(4rr,r=5(2 )如图 1 中,连接 ODABCD ,AB 是直径, AD= C=A2,AOC= 21COD,CMD= 21COD, CMD=COA, sinCMD=sinCOA= 54OH(3 )如图 2 中,连接 AM AB 是直径,

42、 AMB=90,MAB+ABM=90 ,E+ABM=90,E= MAB, MAB=MNB=E, EHM=NHFM,EHMNHF,HFMNE,HEHF=HMHN, HMHN=AHHB,HEHF=AHHB=2(102)=16 16 ( 2018哈尔滨)已知:O 是正方形 ABCD 的外接圆,点 E 在弧 AB 上,连接 BE、DE,点 F 在弧 AD 上,连接 BF、DF、BF 与 DE、DA 分别交于点 G、点 H,且 DA 平分EDF(1)如图 1,求证:CBEDHG;(2)如图 2,在线段 AH 上取一点 N(点 N 不与点 A、点 H 重合),连接 BN 交 DE 于点 L,过点 H 作 HK/BN 交 DE 于点 K,过点 E 作 EPBN,垂足为点 P,当 BPHF 时,求证:BEHK ;(3)如图 3,在(2)