1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第八讲 曲线与方程(理) 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系： 那么，这个方程叫做_的方程；这条曲线叫做_的曲线. 这个方程 曲线上 曲线 方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x,y 所求方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
2、 第八章 解析几何 1“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是 方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 2求轨迹问题常用的数学（新高考）思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质) 表示为动点坐标x，y的方程及函数关系 (2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形” 的有机结合 (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决 问题时又需要相互转化 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括
3、号中打“”或“”) (1)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线 ( ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2. ( ) (3)ykx 与 x1 ky 表示同一直线 ( ) (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D 解析 由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是 以点F为焦点，直线l为准线的抛物线 题组二 走进教材 2(必修 2P37T3)已知点 F 1 4，0 ，直线 l：x 1 4，点 B 是 l 上的动 点， 若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点
4、M， 则点 M 的轨迹是 ( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3(选修21P37T1改编)已知A(2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴 上，且满足APOBPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是 _ x2y24x0(y0) 解析 设 P(x，y)，APOBPO， |PA| |PB| |OA| |OB|2，即|PA|2|PB|， (x2)2y24(x1)2y2，(y0) 化简整理得 P 的轨迹方程为 x2y24x0(y0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 ACD 题组三 走向高考 4(多选题)(20
5、20 山东)已知曲线 C：mx2ny21 ( ) A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 ym n x D若 m0，n0，则 C 是两条直线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 A若 mn0，则 1 m 1 n，则根据椭圆定义，知 x2 1 m y 2 1 n 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 A 正确；B若 mn0，则方程为 x2y2 1 n，表示半径为 1 n的圆，故 B 错误；C若 m0，n0，则方程为 x2 1 m y2 1 n 1，表示焦点在 y 轴的双
6、曲线，故此时渐近线方程为 ym n x， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 若 m0，n0，则方程为x 2 1 m y 2 1 n 1，表示焦点在 x 轴的双曲线，故 此时渐近线方程为 ym n x，故 C 正确；D当 m0，n0 时，则 方程为 y 1 n表示两条直线，故 D 正确；故选 ACD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C 5(2019 北京卷)数学中有许多形状优美、寓意 美好的曲线，曲线 C：x2y21|x|y 就是其中之一 (如图)给出下列三个结论： 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、 纵坐标均为 整数的点)； 曲线 C
7、上任意一点到原点的距离都不超过 2； 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中，所有正确结论的序号是 ( ) A B C D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 将 x 换成x 方程不变，所以图形关于 y 轴对称， 当 x0 时，代入得 y21， y1，即曲线经过(0,1)，(0，1)； 当 x0 时，方程变为 y2xyx210， 所以 x24(x21)0，解得 x 0，2 3 3 ， 所以 x 只能取整数 1，当 x1 时，y2y0， 解得 y0 或 y1，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何
8、根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)， 故曲线一共经过 6 个整点，故正确 当 x0 时，由 x2y21xy 得 x2y21xyx 2y2 2 ，(当 xy 时取等)， x2y22， x2y2 2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过 2， 根据对称性可得： 曲线 C 上任意一点到原点的 距离都不超过 2；故正确 在 x 轴上图形面积大于矩形面积122，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 1 2 211，因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 213，故 错误故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导
9、航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 曲线与方程自主练透 例 1 (多选题)关于 x， y 的方程 x2 m22 y2 3m221， 其中m22 3 对 应的曲线可能是 ( ) A焦点在 x 轴上的椭圆 B焦点在 y 轴上的椭圆 C焦点在 x 轴上的双曲线 D圆 ABCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由题，若 m223m22，解得 2m 2，3m220， 解得 m 6 3 或 m 6 3 ，则当 x 2， 6 3 6 3 ， 2 时，曲线是焦 点在 x 轴上的椭圆， A 正确； 若 3m22m22， 解得 m 2或 m 2， 此时曲
10、线是焦点在 y 轴上的椭圆，B 正确；若 3m220，解得 6 3 m 6 3 ，此时曲线是焦点在 x 轴上的双曲线，C 正确；当 m22 时，方程 为 x2y24，所以 D 正确故选 ABCD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (多选题)(2021 山东青岛一中期末)已知点 F(1,0)为曲线 C 的焦点，则 曲线 C 的方程可能为 ( ) Ay24x Bx24y C x2 cos2 y2 sin21 0 2 D x2 cos2 y2 sin21 0 2 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 y24x 的焦点坐标为(1
11、,0)；x24y 的焦点坐标为(0,1)；当 4时，sin 2cos21 2， x2 cos2 y2 sin21 表示圆；双曲线 x2 cos2 y2 sin2 1 0 2 的焦点在 x 轴上， 且 c cos2sin21， 其焦点坐标为(1,0)， (1,0)，故选 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 定义法求轨迹方程自主练透 (1)(2021 长春模拟)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周 上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 例 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
12、解析几何 A (2)(2021 福州模拟)已知圆 M：(x 5)2y236，定点 N( 5，0)，点 P 为圆 M 上的动点， 点 Q 在 NP 上， 点 G 在线段 MP 上， 且满足NP 2NQ ， GQ NP 0，则点 G 的轨迹方程是 ( ) Ax 2 9 y 2 4 1 B x2 36 y2 311 Cx 2 9 y 2 4 1 D x2 36 y2 311 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D (3)(2021 江苏南京二十九中调研)已知两圆 C1：(x3)2y21，C2： (x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1和圆 C2外切，则动圆圆心 M 的轨迹
13、方程为 ( ) Ax2y 2 8 1 Bx 2 8 y21 Cx2y 2 8 1(x1) Dx2y 2 8 1(x1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知，|EA|EO|EB|EO|r(r 为圆的半径)且 r |OA|，故 E 的轨迹为以 O，A 为焦点的椭圆，故选 B (2)由NP 2NQ ， GQ NP 0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线， 连接 GN，|GN|GP|，|GM|GN|MP|62 5，点 G 的轨迹 是以 M，N 为焦点的椭圆，其中 2a6,2c2 5，b24，点 G 的轨 迹方程为x 2 9 y 2 4 1，故选 A 返回导
14、航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)设动圆 M 的半径为 r， 则|C1M|r1， |C2M|3r， |C2M|C1M| 26|C1C2|动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2为焦点的双曲线左支， 且 c3，a1，b2c2a28，其轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1)故 选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 x2 4 y 2 5 1(x2) x2 4 y 2 5 1(x2) x2y 2 8 1(x1) x2 4 y 2 5 1 引申1本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆 心 M的轨迹方程为_ 引申2本例(3)中，若动圆
15、M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆 心 M的轨迹方程为_ 引申3本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的 轨迹方程为_ 引申4本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 定义法求轨迹方程及其注意点 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种 圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、 双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限 制 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解
16、析几何 B 变式训练 2 (1)动圆 M 经过双曲线 x2y 2 3 1 的左焦点且与直线 x2 相切，则圆 心 M 的轨迹方程是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(多选题)(2021 湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两 根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端 仰角相等的点P的轨迹可能是 ( ) A直线 B圆 C椭圆 D抛物线 AB 解析 (1)双曲线 x2y 2 3 1 的左焦点为 F(2,0)，由题意可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点、原点为顶点、对称轴为 x 轴的抛
17、物线，故其方程 为 y28x故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)如图两根电杆 AB，CD， 当|AB|CD|时， BPADPC，|PA|PC|， P 的轨迹是 AC 的中垂线， 当|AB|CD|(1，0)时， 由BPADPC 知 RtABPRtCDP， |AP| |CP| |AB| |CD|， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 以 AC 所在直线为 x 轴，线段 AC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标 系， 记 A(1,0)，C(1,0)，P(x，y)， 则 x12y2 x12y2， 即 x 21 21 2y2 2 21 2，
18、 轨迹为圆，故选 AB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 直接法求轨迹方程师生共研 (1)(2021 四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A(0,2)且与直线y2相切，则圆心C的轨迹方程为 ( ) Ax24y Bx28y Cx24y Dx28y 例 3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦 MN的长为8 求动圆圆心的轨迹C的方程； 已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点 P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l
19、过定点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设圆心 C(x，y)， 由题意知 x2y22|y2|， 化简得 x28y，故选 B (2)设动圆圆心 P(x，y)，线段 MN 的中点为 E， 则|PA|2|PE|242， 即(x4)2y2x216，化简得 y28x， 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设直线 l 的方程为 ykxb， 联立 y28x， ykxb， 得 k2x22kbxb28x， k2x2(82kb)xb20(其中 0)， 设 P(x1，kx1b)，Q(x2，kx2b)， 则 x1x
20、282kb k2 ，x1x2b 2 k2， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 若 x 轴是PBQ 的角平分线， 则 kPBkQBkx 1b x11 kx 2b x21 kx 1bx21kx2bx11 x11x21 2kx 1x2kbx1x22b x11x21 8kb k2x11x210，即 kb 故直线 l 的方程为 yk(x1)，直线 l 过定点(1,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合适的直角坐标系 (2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为 代数方程 (3)化简整理这个方程
21、，检验并说明所求方程就是曲线的方程直接 法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方 程，要注意“翻译”的等价性 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的 同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练3 (1)已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则动点 P的轨迹是 ( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线
22、B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)(2021 湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 Q(1,0)， 直线 l：x2若动点 P 在直线 l 上的射影为 R，且|PR | 2|PQ |，设点 P 的轨迹为 C 求 C 的轨迹方程； 设直线 yxn 与曲线 C 相交于 A、B 两点，试探究曲线 C 上是 否存在点 M，使得四边形 MAOB 为平行四边形，若存在，求出点 M 的坐 标；若不存在，请说明理由 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设 P(x，y)， 则 x22y22 x12y2， 化简得 x2y24x0，
23、即(x2)2y24， 其表示以(2,0)为圆心，4 为半径的圆，故选 B (2)设 P(x，y)，由|PR | 2|PQ |， 得|2x| 2 x12y2， 平方化简得 C 的轨迹方程为x 2 2 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)， 联立 yxn x2 2 y21，得 x 22(xn)220， 即 3x24nx2n220， 所以 x1x24n 3 ，y1y2x1x22n2n 3 假设存在点 M 使得四边形 MAOB 为平行四边形， 则OM OA OB ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
24、 解析几何 所以(x3，y3)(x1，y1)(x2，y2)， 所以 x3x1x24n 3 ，y3y1y22n 3 由点 M 在曲线 C 上得x 2 3 2 y2 31， 代入得8n 2 9 4n 2 9 1， 解得 n23 4，n 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以当 n 3 2 时， 曲线 C 上存在点 M 使得四边形 MAOB 为平行四 边形， 此时点 M 的坐标为 2 3 3 ， 3 3 或者 M 2 3 3 ， 3 3 ， 当 n 3 2 ， 曲线 C上不存在点 M使得四边形 MAOB为平行四边形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
25、解析几何 考点四 代入法(相关点法)求轨迹方程师生共研 例 4 (2021 河南新乡模拟)在直角坐标系 xOy 中，点 M(2,0)，N 是曲线 x1 4y 22 上的任意一点，动点 C 满足MC NC 0 (1)求点 C 的轨迹方程； (2)经过点 P(1,0)的动直线 l 与点 C 的轨迹交于 A，B 两点，在 x 轴上 是否存在定点 D(异于点 P)，使得ADPBDP？若存在，求出 D 的坐 标；若不存在，请说明理由 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设 C(x，y)，N(x0，y0)， 则MC (x2，y)，NC (xx0，yy0)， MC NC
26、(2xx02,2yy0) 又MC NC 0，则 2xx020， 2yy00， 即 x02x2， y02y. 因为点 N 为曲线 x1 4y 22 上的任意一点，所以 x 01 4y 2 02， 所以 2x21 4(2y) 22， 整理得 y22x，故点 C 的轨迹方程为 y22x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设存在点 D(t,0)，使得ADPBDP， 所以 kDAkDB0 由题易知，直线 l 的倾斜角不可能为 0 ， 故设直线 l 的方程为 xmy1， 将 xmy1 代入 y22x，得 y22my20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析
27、几何 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22m，y1y22 因为 kDAkDB y1 x1t y2 x2t y1 my11t y2 my21t0， 所以 2my1y2(1t)(y1y2)0， 即4m2m (1t)0，所以 t1 故存在点 D(1,0)，使得ADPBDP 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 代入法(相关点法)求轨迹方程 (1)当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其 轨迹方程： 某个动点P在已知方程的曲线上移动； 另一个动点M随P的变化而变化； 在变化过程中P和M满足一定的规律 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八
28、章 解析几何 (2)代入法(相关点法)的基本步骤 设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)； 求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 x1fx，y， y1gx，y； 代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨 迹方程； 检验：注意检验所求方程是否符合题意 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D 变式训练 4 (2021 河北石家庄模拟)已知点 Q 在椭圆 C： x2 16 y2 101 上，点 P 满 足OQ 1 2(OF1 OP )(其中 O 为坐标原点，F1为椭圆 C 的左焦点)，则点 P 的轨迹为 ( ) A圆 B抛物线 C双曲线
29、D椭圆 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设 P(x，y)，Q(x0，y0)，椭圆 C 的左焦点 F1(2,0)， 由题意知 x 0 x2 2 ， y0y 2 又 x2 0 16 y2 0 101， x22 64 y2 401，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点五 参数法求轨迹方程师生共研 (2021 河北衡水中学调研)已知 圆C1：x2y22，圆C2：x2y24，如图， C1，C2分别交x轴正半轴于点E，A射线OD 分别交C1，C2于点B，D，动点P满足直线BP 与y轴垂直，直线DP与x轴垂直 例 5 返回导航 高考一轮
30、总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 E 作直线 l 交曲线 C 与点 M，N，射线 OHl 于点 H，且交 曲线 C 于点 Q问： 1 |MN| 1 |OQ|2的值是否是定值？如果是定值，请求出 该定值；如果不是定值，请说明理由 分析 显然点P(x，y)的变动由AOD的大小(或kOD)决定，故可 通过(或kOD)建立x，y间的关系，即点P的轨迹方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)解法一：如图设BOE， 则 B( 2cos ， 2sin )，D(2cos ，2sin )， 所以 xP2cos ，y
31、P 2sin 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：当射线 OD 的斜率存在时，设斜率为 k，OD 方程为 ykx， 由 ykx x2y22得 y 2 P 2k2 1k2， 同理得 x2 P 4 1k2， 所以 x2 P2y 2 P4 即有动点 P 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1 当射线 OD 的斜率不存在时，点(0， 2)也满足 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由(1)可知 E 为 C 的焦点， 设直线 l 的方程为 xmy 2(斜率不为 0 时)且设
32、点 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 由 xmy 2 x22y24 ，得(m22)y22 2my20， 所以 y 1y2 2 2m m22 y1y2 2 m22 ，所以 1 |MN| 1 1m2|y1y2| m22 4m21， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又射线 OQ 方程为 ymx， 代入椭圆 C 的方程得 x22(mx)24， 即 x2 Q 4 12m2，y 2 Q 4m2 12m2， 1 |OQ|2 12m2 4m21， 所以 1 |MN| 1 |OQ|2 m22 4m21 12m2 4m21 3 4， 又当直线 l 的斜率为 0 时，也符合条件
33、 综上， 1 |MN| 1 |OQ|2为定值，且为 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)在选择参数时，参数可以具有某种物理或几何意义，如时间、速 度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的 意义，但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 (2)参数法求轨迹方程的适用条件 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关 点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某 两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练5 若过点P(1,1)且互
34、相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A、B 两点，则AB中点M的轨迹方程为_ xy10 解析 当直线 l1的斜率存在时，l2的斜率也存在，设直线 l1的方程 是 y1k(x1)，则直线 l2的方程是 y11 k(x1)，所以直线 l1 与 x 轴的交点为 A 11 k，0 ，l2 与 y 轴的交点为 B 0，11 k ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 AB 的中点 M 的坐标为(x，y)，则有 x1 2 11 k ， y1 2 11 k ， 两式相加消去 k， 得 xy1 x1 2 ，即 xy10(x1 2)，所以 AB 中点 M 的轨迹方程为 x
35、y10 x1 2 当直线 l1(或 l2)的斜率不存在时，点 M 的坐标为 1 2， 1 2 ，此点在直线 xy10 上 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 综上，AB 中点 M 的轨迹方程为 xy10 另解：由题意易知|MP|MO|， M 的轨迹为线段 OP 的中垂线， 其方程为 y1 2 x1 2 ， 即 xy10 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 6 高考中的轨迹问题 (2019 课标)已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x，y)满足直 线 AM 与 BM 的斜率之积为1 2记 M 的轨迹为曲
36、线 C (1)求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连接 QE 并延长交 C 于点 G 证明：PQG 是直角三角形； 求PQG 面积的最大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解题思路 (1) 由题直译 得关系 化简，观察方程 形式得结论 (2)设直线PQ：ykx 与C的方程联立得 P，Q两点坐标 得直线QG 的方程 与C的方程联立 得G的坐标 求PG的 斜率 得结论 利用公式 求面积 得关于k 的函数 判断单调 性求最值 得结论 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
37、第八章 解析几何 解析 (1)由题设得 y x2 y x2 1 2，化简得 x2 4 y 2 2 1(|x|2)， 所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点 (2)证明：设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx(k0)， 由 ykx， x2 4 y 2 2 1得 x 2 12k2 记 u 2 12k2，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 于是直线 QG 的斜率为k 2，方程为 y k 2(xu) 由 yk 2xu x2 4 y 2 2 1 ， 得(2k2)x22uk2xk2u280 返回导航
38、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 G(xG，yG)，则u 和 xG是方程的解， 故 xGu3k 22 2k2 ，由此得 yG uk3 2k2 从而直线 PG 的斜率为 uk3 2k2uk u3k22 2k2 u 1 k 所以 PQPG，即PQG 是直角三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由得|PQ|2u 1k2，|PG|2uk k 21 2k2 ， 所以PQG 的面积 S1 2|PQ|PG| 8k1k2 12k22k2 8 1 kk 12 1 kk 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 tk1 k，则由 k0
39、得 t2，当且仅当 k1 时取等号， 因为 S 8t 12t2在2，)单调递减，所以当 t2， 即 k1 时，S 取得最大值，最大值为16 9 因此，PQG 面积的最大值为16 9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解题关键 利用方程思想得出点P、Q的坐标，进而利用换元法 及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键；正确利用基本不 等式及函数单调性是求解PQG面积最值的关键 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 变式训练 6 (2020 新课标)在平面内，A，B 是两个定点 C 是动点，若OC BC 1，则点 C 的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 不妨以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为原点， 建立平面直 角坐标系， 设 C(x，y)，A(c,0)，B(c,0)，c0， 则AC (xc，y)，BC (xc，y)， 由AC BC 1，得(xc)(xc)y y1， 即 x2y2c210， 点 C 的轨迹为圆故选 A 谢谢观看
