1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第九讲 圆锥曲线的综合问题 第三课时 定点、定值、探索性问题 返回导航 考点突破互动探究 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 圆锥曲线的定值问题自主练透 例 1 (2018 北京高考)已知抛物线 C：y22px(p0)经过点 P(1,2)过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 O 为原点，QM QO ，QN QO ，求证：1 1 为定值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析
2、(1)因为抛物线y22px过点(1,2)， 所以2p4，即p2 故抛物线C的方程为y24x， 由题意知，直线l的斜率存在且不为0 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 y24x， ykx1得 k 2x2(2k4)x10 依题意 (2k4)24k210，解得 k0 或 0k1 又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2) 从而 k3 所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1) 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由(1)知 x1x22k4 k2 ，
3、x1x2 1 k2 直线 PA 的方程为 y2y 12 x11(x1) 令 x0，得点 M 的纵坐标为 yMy 12 x11 2kx 11 x11 2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 同理得点 N 的纵坐标为 yNkx 21 x21 2 由QM QO ，QN QO 得 1yM，1yN 所以1 1 1 1yM 1 1yN x11 k1x1 x21 k1x2 1 k1 2x1x2x1x2 x1x2 1 k1 2 k2 2k4 k2 1 k2 2 所以1 1 为定值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求解定值问题常用的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与
4、变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定 值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (2021 河南八市重点高中联盟联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0) 的左右焦点分别是 F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 与直线 y 2x3 相切，点 P 在椭圆 C 上，|PF1|2，F1PF260 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l： ykxm 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点， 且 kOA kOBb 2 a2， AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 高考一轮总复习 数学（新高
5、考） 第八章 解析几何 解析 (1)依题意有 b 3 21 3，b 23， 由|PF1|2 及椭圆的定义得|PF2|2a2， 由余弦定理得 |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|cosF1PF2|F1F2|2， 即 a23a3c2，又 a2c2b23，a2， 故椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)联立可得 x2 4 y 2 3 1 ykxm ， (34k2)x28kmx4m2120， 则 34k2m20， 又 x1x2 8km 34k2，x1x2 4m23 34k2 ， y1 y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x
6、1x2)m23m 24k2 34k2 ， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由 kOA kOBb 2 a2，可得 y1 y2 x1 x2 3 4， y1 y23 4x1x2， 3m24k2 34k2 3 4 4m23 34k2 ， 2m24k23，满足， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 |AB| 1k2x1x224x1 x2 1k2 8km 34k2 244m 212 34k2 2 3 1k 2 |m| ， SOAB1 2 d |AB| 1 2 |m| 1k2 2 3 1k2 |m| 3为定值 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 圆锥曲线
7、中的定点问题师生共研 例 2 (2021 广东广州三校联考)如图，已知椭圆 C： x2 a2y 2 1 的 上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：x2y26x2y70 相切， 其中 a1 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)求椭圆的方程； (2)不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且APAQ，证 明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题可知，A(0,1)，F(c,0)， 则直线 AF 的方程为x cy1，即 xcyc0， 因为直线 AF 与圆 M：x2y26x2y70 相切， 该圆的圆心为
8、 M(3,1)，r 3， 则 3 3 1c2，c 22，a23， 故椭圆的标准方程为x 2 3 y21 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)解法一：依题得直线 l 的斜率必存在， 设 l：ykxm，设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 ykxm x2 3 y21，消去 y 并整理得 (3k21)x26kmx3m230， 36k2m24 (3k21) (3m23)0， 即 m23k21， 且 x1x2 6km 3k21，x1x2 3m23 3k21 ， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 AP AQ (x1，y11) (x2，y21)x1x2y1y2
9、(y1y2)1 (k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)2 (k21) 3m23 3k21 k(m1) 6km 3k21 (m1)2 4m 22m2 3k21 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 APAQ，AP AQ 0，即4m 22m2 3k21 0， m1 或 m1 2 当 m1 时，直线 l：ykx1，恒过点(0,1)，不满足题意，舍去； 当 m1 2时， 直线 l： ykx 1 2， 恒过点 0，1 2 ， 故直线恒过定点 0，1 2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：因为不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 PQ 两点，且 AP
10、AQ，即直线 AP 与坐标轴不垂直也不平行， 由 A(0,1)，可设直线 AP 的方程为 ykx1， 则直线 AQ 的方程为 y1 kx1， 联立 x2 3 y21 ykx1 ，消去 y 并整理得 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (13k2)x26kx0，解得 x0 或 6k 13k2， 因此点 P 的坐标为 6k 13k2， 6k2 13k21 ， 即 P 6k 13k2， 13k2 13k2 ， 将上式中的 k 换成1 k，得点 Q 6k 3k2， k23 3k2 ， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以直线 l 的斜率为 k23 3k2 13k2 13
11、k2 6k 3k2 6k 13k2 k 21 4k ， 即直线 l 的方程 yk 21 4k x 6k 3k2 k 23 3k2， 化简并整理得 yk 21 4k x1 2，故直线 l 恒过定点 0，1 2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化 为有方向、有目标的一般性证明 (2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再 根据参数的任意性得到定点坐标 (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程yy0k(x x0)来证明 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析
12、几何 变式训练2 (2021 安徽蚌埠质检)已知抛物线C：y22px(p0)，直线yx1与 C相交所得的弦长为8 (1)求p的值； (2)已知点O为坐标原点，一条动直线l与抛物线C交于O，M两点，直 线l与直线x2交于H点，过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点，求证： 直线MN过定点 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设直线与抛物线的两交点坐标分别为：(x1，y1)，(x2，y2)， 由 yx1 y22px 得，消 x 可得 y22py2p0， y1y22p，y1y22p 弦长为 112 y1y224y1y2 2 4p28p8， 解得 p2 或 p4(舍去)，p2 高
13、考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由(1)可得 y24x，设 M 1 4y 2 0，y0 ， 直线 OM 的方程 y 4 y0 x， 当 x2 时，yH 8 y0， 代入抛物线方程 y24x，可得 xN16 y2 0 ， N 16 y2 0 ， 8 y0 ， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线 MN 的斜率 k y0 8 y0 y2 0 4 16 y2 0 4y0 y2 08， 直线 MN 的方程为 yy0 4y0 y2 08 x1 4y 2 0 ， 整理可得 y 4y0 y2 08(x2)，故直线 MN 过点(2,0) 高考一轮总复习 数学（新高考）
14、第八章 解析几何 考点三 圆锥曲线中的探索性问题师生共研 例 3 (2021 河南名校联盟联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0) 的左、右顶点分别为 A1，A2，上、下顶点分别为 B1，B2，四边形 A1B1A2B2 的面积为 4 3，坐标原点 O 到直线 A1B1的距离为2 21 7 (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆 C 上一点 P 作两条直线分别与椭圆 C 相交于点 A，B(异于 点 P)，试判断以 OP 和 AB 为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出直 线 AB 的方程；若不能，请说明理由 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)直线 A
15、1B1的方程为x a y b1 由题意可得 2ab4 3， 1 1 a2 1 b2 2 21 7 ，解得 a2， b 3. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)当直线 AB 的斜率不存在时，若平行四边形 OAPB 为菱形，则 P 为左顶点或右顶点 此时直线 AB 的方程为 x1， 当直线 AB 的斜率为 0 时，若四边形 OAPB 为菱形， 则点 P 为上顶点或下顶点， 此时 AB 的方程为 y 3 2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 当直线 AB 的斜率存在时， 设 AB：ykxm(k0)， A(x1，y
16、1)，B(x2，y2)， 联立 x2 4 y 2 3 1， ykxm， 可得(4k23)x28kmx4m2120， 则 48(4k2m23)0， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以 x1x2 8km 4k23，x1x2 4m212 4k23 ， y1y2k(x1x2)2m 6m 4k23 若四边形 OAPB 为菱形， 所以OA OB OP ， 所以点 P 8km 4k23， 6m 4k23 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以直线 OP 的斜率 kOP 3 4k 所以 k 3 4k 3 41， 这与 kAB kOP1 矛盾 所以四边形 OAPB 不能是菱形
17、 综上，四边形 OAPB 能为菱形， 此时直线 AB 的方程为 x1，或 y 3 2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 圆锥曲线中的探索性问题 1圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种， 若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存 在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达 式解析讨论，往往涉及对参数的讨论 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 2圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是 否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通 常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明
18、朗化其步骤为假设满足条 件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于 待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参 数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法 也是求解探索性问题常用的方法 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3解决探索性问题的答题模板 假设假设存在符合题意的元素点、直线、曲线或参数. 推理 以存在为条件，用待定系数法设出，列出关于参数的方 程组，确定其解的情况. 判断 若能推出合理结果，经验证成立即可确定元素存在； 否则不存在. 反思查看关键点、易错点，解题的规范性，并得出结论. 高考一轮总复习 数学（
19、新高考） 第八章 解析几何 变式训练 3 (2021 陕西西安八校联考)已知 F 为抛物线 C：x22py(p0)的焦点， 点 M(m,1)在抛物线上，且|MF|9 8直线 l：ykx2 与抛物线 C 交于 A、 B 两点 (1)求抛物线 C 的方程； (2)设 O 为坐标原点，y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变化时，总有 OPAOPB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)根据抛物线的定义，得 1p 2 9 8， 解得 p1 4 抛物线 C 的方程为 x21 2y 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何
20、(2)在 y 轴上存在点 P，使得当 k 变化时，总有OPAOPB理由 如下： 设 P(0，b)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 ykx2， x21 2y， 消去 y，得 2x2kx20且 k2160 恒成立 x1x2k 2，x1x21y12x 2 1，y22x 2 2 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 OPAOPB 时，直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，故其斜率 互为相反数 kPAkPBy 1b x1 y 2b x2 x 2 y1bx1 y2b x1x2 0， x2 2x2 1bx2x1 2x 2 2bx10， 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 即 2x1x2b x2x10， 2b k 20，得 b2， 即点 P 的坐标为(0，2) 所以，y 轴上存在点 P(0，2)，使得当 k 变化时，总有OPA OPB 谢谢观看
