1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第九讲 圆锥曲线的综合问题 第二课时 最值、范围、证明问题 1 考点突破互动探究 2 名师讲坛素养提升 返回导航 1 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 圆锥曲线中的最值问题自主练透 例 1 (2021 广东调研)已知圆 x2y22 6x260 的圆心为 F1， 直线 l 过点 F2( 6，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 F1于 C，D 两点，过 F2作 F1C 的平行线，交 F1D 于点 E设点 E 的轨迹为 (1)求 的方程； (2)直线 l1与 相切于点 M，l1与两坐标轴的交点为 A 与 B，
2、直线 l2 经过点 M 且与 l1垂直，l2与 的另一个交点为 N当|AB|取得最小值时， 求ABN 的面积 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)因为 F1CEF2，所以F1CDEF2D 又 F1CF1D，所以F1CDF1DC， 则EDF2EF2D，所以|ED|EF2|， 从而|EF2|EF1|ED|EF1|DF1| x2y22 6x260 可化为(x 6)2y232， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以|EF2|EF1| 324 22 6 从而 E 的轨迹为以 F1( 6，0)，F2( 6，0)为焦点，长轴长为 4 2的 椭圆
3、(剔除左、右顶点) 所以 的方程为x 2 8 y 2 2 1(y0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)易知 l1的斜率存在，所以可设 l1的方程为 ykxm(k0)联立 ykxm， x2 8 y 2 2 1，消去 y， 得(14k2)x28kmx4m280 因为直线 l 与 相切，所以 (8km)24(14k2)(4m28)0 即 m28k22 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 l1在 x 轴、y 轴上的截距分别为m k ，m， 则|AB| m k 2m2 m2 1 k21 8k22 1 k21 8k2 2 k210 8103 2，
4、当且仅当 8k2 2 k2，即 k 2 2 时取等号 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以当 k21 2时，|AB|取得最小值，此时 m 26， 根据对称性，不妨取 k 2 2 ，m 6， 此时 2xM 8km 14k2 8 3 3 ， 即 xM4 3 3 ，从而 yM4 3 3 2 2 6 6 3 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 联立 y 6 3 2 x4 3 3 x2 8 y 2 2 1， 消去 y，得 9x216 3x160， 则 xMxN4 3 3 xN16 3 9 ，解得 xN4 3 9 ， 所以|MN| 12|xMxN|8
5、 3， 故ABN 的面积为1 2 8 33 24 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2021 四川省联合诊断)已知抛物线x28y，过点M(0,4)的直 线与抛物线交于A，B两点，又过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切 线交于P点 (1)证明：直线PA，PB的斜率之积为定值； (2)求PAB面积的最小值 例 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)证明：由题意设 l 的方程为 ykx4， 联立 ykx4 x28y ，得 x28kx320， 因为 (8k)24(32)0， 所以设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2
6、32， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2， 对 yx 2 8 ，求导得 yx 4， 所以 k1x1 4 ，k2x2 4 ， 所以，k1k2x1 4 x2 4 x1x2 44 32 16 2(定值) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)由(1)可得直线 PA 的方程为 yx 2 1 8 x1 4 (xx1) 直线 PB 的方程为 yx 2 2 8 x2 4 (xx2) 联立，得点 P 的坐标为 x1x2 2 ，x1x2 8 ， 由(1)得 x1x28k，x1x232， 所以 P(4k，4) 返回
7、导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 于是|AB|8 1k2k22， 点 P 到直线 AB 的距离 d4k 22 1k2 ， 所以 SPAB16 k22(k22)， 当 k20，即 k0 时，PAB 的面积取得最小值 32 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考 虑利用图形性质来解决，这就是几何法 (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先 建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方 法、判别式法、重要不等式法及函数的
8、单调性法等 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (2021 广东省佛山市质检)已知 F 为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左 焦点，过原点 O 的动直线 l 与 C 交于 A，B 两点当 A 的坐标为 1，2 5 5 时，|OB|BF| (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)延长 BF 交椭圆 C 于 Q，求QAB 的面积的最大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由 A 1，2 5 5 ，得 B 1，2 5 5 ， 而|OB|BF|F(2,0)，即 c2 由 1 a2 4 5b21 a2b24 ，解得
9、 a25，b21 椭圆 C 的标准方程为x 2 5 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)当直线 BF 斜率不存在时，BF：x2， 此时 B 2， 5 5 ，|BQ|2 5 5 ，A 2， 5 5 ， SQAB1 2 2 5 5 44 5 5 ； 当 BF 所在直线斜率存在时，设 BF：yk(x2)(k0)， 联立 ykx2 x2 5 y21 ，得(15k2)x220k2x20k250， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 B(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x220k 2 15k2，x1x2 20k25 125k2 则
10、|BQ| 1k2x1x224x1x2 1k2 20k2 15k2 280k 220 15k2 1k2 2 5 1k2 15k2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又 O 到 BQ 的距离 d |2k| 1k2， 则 A 到 BQ 的距离为 |4k| 1k2， SQAB4 5 k 4k2 15k2 令 15k2t(t1)， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 则 SQAB4 5 4 25 1 t 2 3 25 1 t 1 25 8 5 5 1 t 3 8 225 64 当1 t 3 8时，(SQAB)max 5 综上，QAB 的面积的最大值为 5
11、 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 圆锥曲线中的范围问题师生共研 例 3 (2021 西安模拟)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 为 F(1,0)，且点 P 1，3 2 在椭圆 C 上，O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B， 且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意，得 c1，所以 a2b21 因为点 P 1，3 2 在椭圆 C 上， 所以 1 a2 9 4
12、b21，所以 a 24，b23 则椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设直线 l 的方程为 ykx2，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 x2 4 y 2 3 1， ykx2 得(4k23)x216kx40 因为 48(4k21)0，所以 k21 4， 由根与系数的关系，得 x1x2 16k 4k23，x1x2 4 4k23 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 因为AOB 为锐角，所以OA OB 0，即 x1x2y1y20 所以 x1x2(kx12)(kx22)0， 即(1k2)x
13、1x22k(x1x2)40， 所以(1k2) 4 4k232k 16k 4k2340， 即12k 216 4k23 0，所以 k24 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 综上可知1 4k 24 3， 解得2 3 3 k1 2或 1 2k 2 3 3 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围为 2 3 3 ，1 2 1 2， 2 3 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申本例中，若OA OB 0，则 k_，若 O 在以 AB 为直径的圆内，则 k 的取值范围是_ 2 3 3 ，2 3 3 2 3 3 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
14、） 第八章 解析几何 求解范围问题的常见求法 (1)利用判别式来构造不等式关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在 两个参数之间建立等量关系 (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范 围 (4)利用基本不等式求出参数的取值范围 (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 2 (2021 广东省质检)已知椭圆 C 的两个焦点分别是(1,0)，(1,0)，并 且经过点 1， 2 2 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知点 Q(0,2)，若 C 上
15、总存在两个点 A、B 关于直线 yxm 对 称，且QA QB 4，求实数 m 的取值范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)因为椭圆 C 的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0) 由椭圆的定义得 2a112 2 2 0 2 112 2 2 0 22 2， 所以 a 2 因为 c1，所以 b2a2c21 因此，椭圆 C 的标准方程为x 2 2 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)根据题意可设直线 AB 的方程为 yxn， 联立 yxn x2 2 y21 ， 整理得 3x24nx2n2
16、20， 由 (4n)243(2n22)0，得 n23 设 A(x1，x1n)，B(x2，x2n)， 则 x1x24n 3 ，x1x22n 22 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又设 AB 的中点为 M(x0，x0n)，则 x0 x 1x2 2 2n 3 ，x0nn 3 由于点 M 在直线 yxm 上， 所以n 3 2n 3 m，得 n3m， 代入 n23，得 9m23，所以 3 3 m 3 3 因为QA (x1，x1n2)，QB (x2，x2n2)， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 所以OA OB 2x1x2(n2)(x1x2)(n2
17、)2 4n 24 3 4n 28n 3 3n 24n4 3 3n 24n8 3 由OA OB 4，得 3n24n812,3n24n40 得2 3n2，得 2 33m2，所以 2 3m 2 9 由得 3 3 m2 9， 故实数 m 的取值范围为 3 3 ，2 9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 圆锥曲线中的证明问题师生共研 例 4 (2018 课标卷)设椭圆 C：x 2 2 y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0) (1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； (2)设 O 为坐标原点，证明：
18、OMAOMB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x1， 由已知可得，点 A 的坐标为 1， 2 2 或 1， 2 2 所以 AM 的方程为 y 2 2 x 2或 y 2 2 x 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0 当 l 与 x 轴垂直时，直线 OM 为 AB 的垂直平分线 所以OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1 2，x2 2，直线 MA，M
19、B 的斜率之和为 kMAkMB y1 x12 y2 x22， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 将由 y1kx1k，y2kx2k 得 kMAkMB2kx 1x23kx1x24k x12x22 ， 将 yk(x1)代入x 2 2 y21 得(2k21)x24k2x2k220， 所以，x1x2 4k2 2k21，x1x2 2k22 2k21 则 2kx1x23k(x1x2)4k4k 34k12k38k34k 2k21 0， 从而 kMAkMB0，故 MA，MB 的倾斜角互补， 所以OMAOMB综上，OMAOMB 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何
20、圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、 垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等在熟悉圆 锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到 反证法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解决证明问题的答题模板 联立方程 直线方程与圆锥曲线方程联立，得一元二次方程，涉及中 点弦问题可用点差法. 坐标表示 借助根与系数的关系、点差法等把所涉及的量用动点坐标 表示出来. 证明结论根据条件及证明方向进行转化并运算，直到符合所证结论. | | 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 3 (2021 河北张家
21、口模拟)已知椭圆 E： x2 a2 y2 b21(ab0)的焦距为 4且过点 1， 14 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 A(0，b)，B(0，b)，C(a，b)，过 B 点且斜率为 k(k0)的直线 l交椭圆E于另一点M， 交x轴于点Q， 直线AM与直线xa相交于点P 证 明：PQOC(O 为坐标原点) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题可知，2c4，c2， 椭圆的左，右焦点分别为(2,0)，(2,0) 由椭圆的定义知 2a122 14 2 2 122 14 2 2 4 2，a2 2，b2a2c24， 椭圆 E 的方程为x 2 8 y 2
22、4 1 另解：由题可知 1 a2 7 2b21 a2b24 ，解得 b24 a28 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)证明：易得 A(0,2)，B(0，2)，C(2 2，2)， 直线 l：ykx2 与椭圆 x22y28 联立， 得(2k21)x28kx0， xM 8k 2k21， 从而 M 8k 2k21， 4k22 2k21 ，Q 2 k，0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线 AM 的斜率为 4k22 2k212 8k 2k21 1 2k， 直线 AM 的方程为 y 1 2kx2 令 x2 2得 P 2 2， 2 k 2 ， 返
23、回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 直线 PQ 的斜率 kPQ 2 k 2 2 22 k 22k 2 2k2 2 2k1 2 2k1 2 2 直线 OC 的斜率 kOC 2 2 2 2 2 ， kPQkOC，从而 PQOC 返回导航 2 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 5 圆锥曲线中的对称问题 试确定 m 的取值范围，使得椭圆x 2 4 y 2 3 1 上有不同两点关 于直线 y4xm 对称 解析 解法一：设椭圆上两点 A(x0u，y0v)，B(x0u，y0v)， AB 的中点为 C(x0，y0) A，B 关于 y4xm
24、对称， kABv u 1 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又 x0u2 4 y 0v 2 3 1， x0u2 4 y 0v 2 3 1， 两式相减，得v u 3x0 4y0，y03x0 而点 C 在直线 y4xm 上， x0m， y03m. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 点 C 在椭圆x 2 4 y 2 3 1 内， m 2 4 3m 2 3 1 m 2 13 13 ，2 13 13 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：设椭圆上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 y4xm 对称 设 AB
25、 的中点为 P(x0，y0)， 则 y1y2 x1x2 1 4， y04x0m. 又由 x2 1 4 y 2 1 3 1， x2 2 4 y 2 2 3 1， 得x 1x2x1x2 4 y 1y2y1y2 3 0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 x 1x2 4 y 1y2 3 1 4 0 y1y23(x1x2)，得 y03x0 代入 y04x0m，得 x0m，y03m 以下同解法一 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申(1)在例题中将椭圆x 2 4 y 2 3 1 换成抛物线 y22x，则相应 m 的 范围为_ (2)在例题中将直线改为
26、ymx 1 2 ，则相应的 m 的范围为 _ (，36) ，1 2 (2，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法是： 1设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由0建立 不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等 关系消参，由不等关系确定范围 2用参数表示中点坐标，利用中点在圆锥曲线内部建立关于参数 的不等式，解不等式得参数范围 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 a3 4 变式训练 4 若抛物线 yax21 上恒有关于直线 xy0 对称的相异两点 A，B， 则 a 的取值范围是_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设抛物线上的两点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程 为 yxb，代入抛物线方程 yax21，得 ax2x(b1)0，设直线 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0 1 2a，y0 x0b 1 2ab由于 M(x0，y0) 在直线 xy0 上，故 x0y00，由此解得 b1 a，此时 ax 2x(b 1)0 可变形为 ax2x 1 a1 0，由 14a 1 a1 0，解得 a 3 4 谢谢观看
