2022版新高考数学人教版一轮课件:第8章 第7讲 抛物线
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1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第七讲 抛物线 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件: (1)在平面内; (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_; (3)定点F与定直线l的关系为_ 相等 点Fl 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义:焦点 F
2、到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 标准 方程 p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 焦点 F_ F_ F_ F_ 离心率 e_ 准线 方程 _ _ _ _ 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR p 2,0 p 2,0 0,p 2 0,p 2 1 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0)
3、 x22py(p0) 标准 方程 p的几何意义:焦点F到准线l的距离 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0, y0) |PF|_ |PF|_ |PF|_ |PF|_ x0p 2 x0p 2 y0p 2 y0p 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 抛物线焦点弦的处理规律 直线AB过抛物线y22px(p0)的焦点F,交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,如图 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)y1y2p2,x1x2p 2 4 (2)|AB|x1x2p,x1x22 x1x2p,即当 x1x2时,弦长最短
4、为 2p (3) 1 |AF| 1 |BF| 2 p 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (4)弦长 AB 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (5)以 AB 为直径的圆与准线相切 (6)焦点 F 对 A,B 在准线上射影的张角为 90 (7)A、O、D 三点共线;B、O、C 三点共线 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线 ( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,
5、 且其焦点 坐标是 a 4,0 ,准线方程是 x a 4 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形 ( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F p 2,0 的弦,若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 x1x2p 2 4 ,y1y2p2,弦长|AB|x1x2p ( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段 叫做抛物线的通径,那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(必修2P69
6、例4)(2021 甘肃张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l 交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1x26,则|PQ|等于( ) A9 B8 C7 D6 解析 抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1根据题 意可得,|PQ|PF|QF|x11x21x1x228 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B 3 (2021 河南郑州名校调研)抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距 离为 1,则点 M 的纵坐标是 ( ) A17 16 B15 16 C 7 16 D15 16 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析
7、由抛物线的方程 y4x2,可得标准方程为 x21 4y,则焦 点坐标为 F 0, 1 16 ,准线方程为 y 1 16,设 M(x0,y0),则由抛物线的定 义可得y0 1 161,解得 y0 15 16故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 D 题组三 走向高考 4 (2019 课标全国)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆 x2 3p y2 p 1 的一个焦点,则 p ( ) A2 B3 C4 D8 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为 p 2,0 , 椭圆 x2 3p y2 p 1 的一
8、个焦点为 p 2,0 , 3ppp 2 4 ,p8故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 5(2020 新课标)已知A为抛物线C:y22px(p0)上一点,点A到 C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p ( ) A2 B3 C6 D9 C 解析 A 为抛物线 C:y22px(p0)上一点,点 A 到 C 的焦点的距 离为 12,到 y 轴的距离为 9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线 的距离相等,故有:9p 212p6;故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 抛物线的定义及应用多维探究
9、 角度1 轨迹问题 (1)动圆与定圆A:(x2)2y21外切,且和直线x1相 切,则动圆圆心的轨迹是 ( ) A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 例 1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设动圆的圆心为C,则C到定圆A:(x2)2y21的圆心的 距离等于r1,而动圆的圆心到直线x1的距离等于r,所以动圆到直线 x2距离为r1,即动圆圆心到定点(2,0)和定直线x2的距离相等, 根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题 (2)(2021 河北保定
10、七校联考)已知M是抛物线x2 4y上一点,F为 其焦点,C为圆(x1)2(y2)2 1的圆心,则|MF|MC|的最小值为 ( ) A2 B3 C4 D5 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B (2021 山西运城联考)已知抛物线 C: x28y 的焦点为 F, O 为原点, 点 P 是抛物线 C 的准线上的一动点,点 A 在抛物线 C 上,且|AF|4,则 |PA|PO|的最小值为 ( ) A4 2 B2 13 C3 13 D4 6 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设抛物线 x24y 的准线方 程为 l: y1, C 为圆(x1)
11、2(y2)21 的圆心,所以 C 的坐标为(1,2),过 M 作 l 的垂线,垂足为 E,根据抛物线的定义可 知|MF|ME|,所以问题求|MF|MC|的最 小值, 就转化为求|ME|MC|的最小值, 由 平面几何的知识可知,当 C,M,E 在一条直线上时,此时 CEl,|ME| |MC|有最小值,最小值为|CE|2(1)3,故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由抛物线的定义知|AF|yAp 2yA2 4,yA2,代入 x28y,得 xA4,不妨取 A(4,2), 又 O 关于准线 y2 的对称点为 O(0, 4),|PA|PO|PA|PO|AO| 42)20
12、4)22 13, 当且仅当 A、 P、 O 共线时取等号,故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 引申本例(2)中,()|MC|MF|的最大值为_;最小值为 _;()若N为C上任一点,则|MF|MN|的最小值为_ 2 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 A 角度 3 到准线与到定点距离之和最小问题 (3)已知圆 C:x2y26x8y210,抛物线 y28x 的准线为 l,设 抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d,则 d|PC|的最小值为( ) A 41 B7 C6 D9 解析 由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24,圆心
13、 C 的坐标为 (3,4)由抛物线定义知,当 d|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间 的距离,即 d|PC| 32)24)2 41 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B 角度 4 到两定直线的距离之和最小问题 (4)(2021 北京人大附中测试)点 P 在曲线 y24x 上,过 P 分别作直线 x1 及 yx3 的垂线,垂足分别为 G,H,则|PG|PH|的最小值为 ( ) A3 2 2 B2 2 C3 2 2 1 D 22 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 由题可知 x1 是抛物线的准线, 焦点 F(1,0),由抛物线的性质可知|PG|
14、PF|, |PG|PH|PF|PH|FH|103| 2 2 2, 当且仅当 H、P、F 三点共线时取等号,|PG| |PH|的最小值为 2 2故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有 关的轨迹是否为抛物线 (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题 时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化 (3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关 问题的重要途径 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 x28y B 变
15、式训练 1 (1)(角度 1)到定点 A(0,2)的距离比到定直线 l:y1 大 1 的动点 P 的轨迹方程为_ (2)(角度 1)(2021 吉林省吉林市调研)已知抛物线 y24x 的焦点 F,点 A(4,3),P 为抛物线上一点,且 P 不在直线 AF 上,则PAF 周长取最小 值时,线段 PF 的长为 ( ) A1 B13 4 C5 D21 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)(角度 2)(2021 山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2, 0)及抛物线 yx 2 4 上一动点 P(x,y),则 y|PQ|的最小值是_ (4)(角度 3)(2021 上海虹
16、口区二模)已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2: x1, 抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和 l2的距离之和的最小值 为 ( ) A37 16 B11 5 C2 D7 4 2 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知 P 到 A 的距离等于其到直线 y2 的距离,故 P 的轨迹是以 A 为焦点, 直线 y2 为准线的抛物线, 所以其方程为 x28y (2)求PAF 周长的最小值,即求|PA|PF| 的最小值,设点 P 在准线上的射影为 D,根据 抛物线的定义, 可知|PF|PD|, 因此, |PA|PF| 的最小值,即|PA|PD|
17、的最小值根据平面几 何知识,可得当 D,P,A 三点共线时|PA|PD| 最小, 此时 P(9 4, 3), 且|PF| 9 41 13 4 , 故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)抛物线 yx 2 4 即 x24y,其焦点坐标为 F(0,1),准线方程为 y1因为点 Q 的坐标 为(2 2,0),所以|FQ| 2 2)2123过 点 P 作准线的垂线 PH,交 x 轴于点 D,如图 所示结合抛物线的定义,有 y|PQ|PD| |PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ| 1312,即 y|PQ|的最小值是 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考)
18、 第八章 解析几何 (4)直线 l2:x1 是抛物线 y24x 的准线,抛 物线 y24x 的焦点为 F(1,0),则点 P 到直线 l2:x 1 的距离等于 PF,过点 F 作直线 l1:4x3y6 0 的垂线,和抛物线的交点就是点 P,所以点 P 到直线 l1:4x3y60 的距离和到直线 l2:x 1 的距离之和的最小值就是点 F(1,0)到直线 l1:4x 3y60 的距离,所以最小值为|406| 3242 2,故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点二 抛物线的标准方程自主练透 (1)过点P(3,2)的抛物线的标准方程为_ (2)焦点在直线x2y40
19、上的抛物线的标准方程为_ _,准线方程为_ 例 2 y24 3x或x 29 2y y216x或 x2 8y x4或y2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 B (3)如图,过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准 线于点 A,B,C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则抛物线的方程为( ) Ay23 2x By23x Cy29 2x Dy29x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设所求抛物线的方程为y22px(p0)或x22py(p0) 过点(3,2),42p (3)或 92p 2 p2 3或 p 9 4 所
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