1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第二讲 两条直线的位置关系 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括_三种情况 (1)两条直线平行 对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2，且 b1b2 对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20， l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10(或A1C2A2C10) 平行、相交、重合 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
2、 解析几何 (2)两条直线垂直 对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1 k21 对 于 直 线 l1： A1x B1y C1 0 ， l2： A2x B2y C2 0 ， l1l2_ A1A2B1B20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 两条直线的交点 直 线 l1和 l2的 交 点 坐 标 即 为 两 直 线 方 程 组 成 的 方 程 组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解 相交方程组有_； 平行方程组_； 重合方程组有_ 唯一解 无解 无数个解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点三 三种
3、距离公式 (1)平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2| x1x22y1y22 特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP| x2y2 (2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 (3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离为 d |C1C2| A2B2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1求解距离问题的规律 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平 行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形 式 返回导航
4、高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 2对称问题的求解规律 (1)中心对称：转化为中点问题处理 (2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理特殊地：点P(a，b)关于直 线xym0对称的点坐标为(bm，am)，点P(a，b)关于直线x ym0对称的点坐标为(bm，am) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然 ( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于1 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (
5、3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1， A2，B2，C2为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20 ( ) (4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx 0b| 1k2 ( ) (5)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等 于1 k，且线段 AB 的中点在直线 l 上 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(课本习题改编)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程 是 ( ) Ax2y10 Bx2y10 C2xy20 Dx2y10 3(
6、必修 2P110B 组 T2)已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距 离为 1，则 a 等于 ( ) A 2 B2 2 C 21 D 21 A C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由题意得|a23| 11 1 解得 a1 2或 a1 2 a0，a1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组三 走向高考 4(2020 高考全国)点(0，1)到直线 yk(x1)距离的最大值为 ( ) A1 B 2 C 3 D2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 解法一：由 yk(x1)可知直线过定点 P(
7、1,0)，设 A(0， 1)，当直线 yk(x1)与 AP 垂直时，点 A 到直线 yk(x1)距离最大， 即为|AP| 2，故选 B 解法二：因为点(0，1)到直线 yk(x1)距离 d |1k| k21 k22k1 k21 1 2k k21；要求距离的最大值，故需 k0；可得 d 1 2 k1 k 2，当且仅当 k1 时取等号，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 5(2018 全国)坐标原点关于直线xy60的对称点的坐标为 _ (6，6) 解析 设坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为(a，b)， 则 b a11 a 2 b 260 ，解得 a6，b
8、6，坐标原点关于直线 xy60 的对称点的坐标为(6，6) 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 两条直线平行、垂直的关系自主练透 (1)(2021 高安期中)经过抛物线y22x的焦点且平行于直线 3x2y50的直线l的方程是 ( ) A6x4y30 B3x2y30 C2x3y20 D2x3y10 (2)“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y75m0与直线l2： (m3)x2y50垂直”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 例 1 A A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
9、） 第八章 解析几何 (3)(2021 青岛调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平 行，则m ( ) A2 B3 C2或3 D2或3 (4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在 直线的方程为y2x，则另外两边所在直线的方程为 ( ) A3xy140 Bx2y20 Cx3y20 Dx2y140 C CD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)因为抛物线 y22x 的焦点坐标为 1 2，0 ，直线 3x2y5 0 的斜率为3 2，所以所求直线 l 的方程为 y 3 2 x1 2 ，化为一般式，得 6x4y30 (2)由 l1l
10、2，得 2(m1)(m3)2(m3)0，m3 或 m2， m3 是 l1l2的充分不必要条件 (3)由题意知 mm16， 4m4， 解得 m2 或3故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)设斜边所在直线的斜率为 k，由题意知 tan 4 2k 12k1， k1 3， 斜边所在直线方程为 y21 3(x4)， 即 x3y20， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由 y2x x3y20可知 A 2 5， 4 5 ， A 关于 M 的对称点 B 38 5 ，16 5 ， 另一条直角边的方程为 y16 5 1 2 x38 5 ， 即 x2y
11、140，故选 C、D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅 要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同 时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间 的关系得出结论 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 1 (1)(2021 吉林长春模拟)曲线 f(x)2sin x 在 x 3处的切线与直线 ax y10 垂直，则 a_ (2)(2012 浙江)设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y0
12、与直线 l2：x(a1)y40 平行的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 1 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题得 f(x)2cos x，kf 3 1所以 1(a) 1，a1 (2)l1l2a2a20a1 或2，a1 是 l1l2的充分不必要 条件故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 两直线的交点、距离问题师生共研 (1)两条垂直直线l1：2xy10与l2：ax4y60的交 点到原点的距离为_ (2)已知点P(2，1) 求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程
13、； 求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程； 若不存在，请说明理由 例 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)(2020 上海)已知直线l1：xay1，l2：axy1，若l1l2，则l1 与l2的距离为_ 2 解析 (1)kl12，kl2a 4 ，由 l1l2知2 a 4 1，a 2，l2：x2y30，由 2xy10 x2y30得交点 A(1，1)，|AO| 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的
14、坐标为(2，1)， 显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2 若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)， 即 kxy2k10 由已知得|2k1| k21 2，解得 k3 4 此时 l 的方程为 3x4y100 综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的 直线，如图 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 由 lOP，得 klkOP1， 所以 kl 1 kOP2 由直线方程的点斜式，得
15、 y12(x2)，即 2xy50 所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最 大距离为|5| 5 5 由可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存 在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)直线 l1：xay1，l2：axy1， 当 l1l2时，a210，解得 a1； 当 a1 时 l1与 l2重合，不满足题意； 当 a1 时 l1l2， 此时 l1：xy10，l2：xy10； 则 l1与 l2的距离为 d |11| 1212 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几
16、何 距离的求法 (1)点到直线的距离： 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须 为一般式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)两平行直线间的距离： 利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一 点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式 提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般 形式，且使x、y的系数分别相等 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 2 (1)(2021 西南名校联盟联考)设直线 l1： 3xy10 与直线 l2： x2y 50 的交点为 A，则 A 到直线 l：
17、xby2b0 的距离的最大值为 ( ) A4 B 10 C3 2 D 11 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 AC (2)(多选题)已知两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 距离相 等，则 m 的值可以为 ( ) A6 B1 2 C1 2 D1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C (3)(2021 绵阳模拟)若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y5 0 上任意一点，则|PQ|的最小值为 ( ) A9 5 B18 5 C29 10 D29 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析
18、(1)解法一：显然 l1与 l2的交点 A(1,2)，又直线 l 过点 B(2， 1)，所求最大距离为|AB|3 2，故选 C 解法二：显然 l1与 l2的交点为 A(1,2)，则 A 到直线 l 的距离 d |12b2b| 1b2 3 1b22b 1b2 31 2b 1b23 2(当且仅当 b1 时取 等号)，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)直线 mxy30 与直线 AB 平行或过 AB 中点，m 42 13 1 2，即 m 1 2；AB 中点(1,3)，m330 即 m6，故选 A、C (3)因为3 6 4 8 12 5 ，所以两直线平行，由题意
19、可知|PQ|的最小值为 这两条平行直线间的距离，即|245| 6282 29 10，所以|PQ|的最小值为 29 10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 对称问题多维探究 角度1 线关于点的对称 (2021 河北五校联考)直线axy3a10恒过定点M，则 直线2x3y60关于M点对称的直线方程为 ( ) A2x3y120 B2x3y120 C2x3y120 D2x3y120 例 3 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由 axy3a10， 可得 y1a(x3)， 所以 M(3,1)， M 不在直线 2x3y60 上，设直线 2
20、x3y60 关于 M 点对称的直 线方程为 2x3yc0(c6)，则|636| 49 |63c| 49 ，解得 c 12 或 c6(舍去)，所以所求方程为 2x3y120，故选 D 另解：在直线 2x3y60 上取点 A(0,2)、B(3,0)，则 A、B 关于 M 的对称点分别为 A(6,0)，B(9,2)，又 kAB 20 96 2 3， 故所求直线方程为 y2 3(x6)，即 2x3y120故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 角度2 点关于线的对称 (2021 长沙一模)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：x y30反射，反射光线经过点N(2,6)
21、，则反射光线所在直线的方程为 _ 例 4 6xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设点 M(3,4)关于直线 l：xy30 的对称点为 M(a， b)，则反射光线所在直线过点 M，所以 b4 a31， 3a 2 b4 2 30， 解得 a 1，b0又反射光线经过点 N(2，6)，所以所求直线的方程为y0 60 x1 21，即 6xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (代入法)当 x3 时，由 xy30 得 y0， 当 y4 时，由 xy30 得 x1 M(3,4)关于直线 l 的对称点为 M(1,0) 又 kNM60 216
22、， 所求直线方程为 y6(x1)，即 6xy60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申本例中入射光线所在直线的方程为_ x6y270 解析 N(2,6)关于直线 l 的对称点 N(3,5)， 又 kMN 54 33 1 6， 所求直线方程为 y41 6(x3)，即 x6y270 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 角度3 线关于线的对称 (2021 合肥模拟)已知直线l：xy10，l1：2xy2 0若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是 ( ) Ax2y10 Bx2y10 Cxy10 Dx2y10 例 5 B 返回导航 高考一轮总复习 数
23、学（新高考） 第八章 解析几何 解析 解法一：因为 l1与 l2关于 l 对称，所以 l1上任一点关于 l 的 对称点都在 l2上，故 l 与 l1的交点(1,0)在 l2上又易知(0，2)为 l1上一 点， 设它关于 l 的对称点为(x， y)， 则 x0 2 y2 2 10， y2 x 11， 解得 x1， y1， 即(1,0)，(1，1)为 l2上两点，可得 l2的方程为 x2y10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：在 l1上取两点 A(0，2)，B(1,0)，则 A、B 关于 l 的对称点 分别为 A(1，1)，B(1,0)，kAB01 11 1 2
24、l2 的方程为 y01 2(x1)，即 x2y10故选 B 解法三：设 P(x，y)是直线 l2上任一点，则 P 关于直线 l 的对称点为 P(y1，x1)，又 Pl1，2(y1)(x1)20，即直线 l2的方 程为 x2y10故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 对称问题的解法 以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于 对称问题，一般常见的有： (1)中心对称 点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足 x2ax， y2by. 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
25、 解析几何 (2)轴对称 点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m，n)，则 有 nb ma A B1， A am 2 B bn 2 C0. 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 特别地，当对称轴的斜率为1 时，可类比关于 yx 的对称问题采 用代入法，如(1,3)关于 yx1 的对称点为(31，11)，即(2,2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练3 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求： (1)(角度2)点A关于直线l的对称点A的坐标； (2)(角度3)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程； (3)
26、(角度1)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设 A(x，y)，由已知条件得 y2 x1 2 31， 2x1 2 3y2 2 10， 解得 x33 13， y 4 13. A 33 13， 4 13 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)在直线 m 上取一点， 如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M 必在直线 m上 设对称点 M(a，b)，则 2a2 2 3b0 2 10， b0 a2 2 31， 得 M 6 13， 30 13 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
27、高考） 第八章 解析几何 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由 2x3y10， 3x2y60，得 N(4,3) 又m经过点 N(4,3)， 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)设 P(x，y)在 l上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)， 点 P在直线 l 上， 2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m21 0(其中mR)
28、恒过定点，并求出定点坐标； (2)求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直 线l3：3x4y50垂直的直线l的方程 解析 (1)证明：解法一：令m0，则直线方程为 3xy10 再令m1时，直线方程为6xy40 例 6 巧用直线系求直线方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 和联立方程组 3xy10， 6xy40，得 x1， y2. 将点 A(1,2)的坐标代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m2 10 中， (m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(2 2)m2130， 故动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 恒过定
29、点 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(xy3)m(2x y)3xy10， 不论 m 为何实数，式恒为零， 有 xy30， 2xy0， 3xy10， 解得 x1， y2. 故动直线恒过点 A(1,2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)解法一：解方程组 x2y40， xy20， 得 P(0,2) 因为 l3的斜率为3 4，且 ll3，所以直线 l 的斜率为 4 3， 由斜截式可知 l 的方程为 y4 3x2， 即 4x3y60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几
30、何 解法二：设所求直线方程为4x3ym0， 将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m6， 故所求直线方程为4x3y60 解法三：设直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420 又ll3，3(1)(4)(2)0， 解得11 直线l的方程为4x3y60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l的方程为 _ 3x4y80 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1确定方程含参数的直线所过定点的方法： (1)将直线方程写成点斜式yy0f()(xx0)，从而确定定点(x0， y0) (2)
31、将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项 为0确定定点 (3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定 点坐标 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 2直线系的主要应用 (1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2y C20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中 A1B2A2B10，待定系数R在这个方程中，无论取什么实数，都 得不到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2 (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(k为参数)及xx0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
32、高考） 第八章 解析几何 (3)平行直线系方程：与直线ykxb平行的直线系方程为ykx m(m为参数且mb)；与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy 0(C，是参数) (4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A0，B0)垂直的直线 系方程是BxAy0(为参数) 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定 时，那么可选用直线系方程来求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 4 (1)(2021 启东模拟)不论 m 为何值时， 直线(m1)x(2m1)ym5 恒过定点 ( ) A 1，1 2 B(2,0) C(2,3) D(9，4) (2)与
33、直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程是 _ D 5x12y320或5x12y200 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)解法一：由(m1)x(2m1)ym5，得(x2y1)m (xy5)0，由 x2y10， xy50， 得定点坐标为(9，4)，故选 D 解法二：令 m1，则 y4；令 m1 2，则 1 2x 9 2，即 x9， 直线过定点(9，4)，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法三：将直线方程化为(2m1)(ya)(1m)(xb)，则 ab5 2ab1，即 a4 b9，y4 1m 2m1(x9)，故直线过点(9，4)， 故选 D (2)设所求直线的方程为 5x12yc0， 则 |c6| 521222， 解得 c32 或20，故所求直线的方程为 5x12y320 或 5x12y200 谢谢观看
