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2022版新高考数学人教版一轮课件:第8章 第8讲 曲线与方程

1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第八讲 曲线与方程(理) 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点一 曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)0的实数解建立如下的对应关系: 那么,这个方程叫做_的方程;这条曲线叫做_的曲线. 这个方程 曲线上 曲线 方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 知识点二 求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x,y 所求方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考)

2、 第八章 解析几何 1“曲线C是方程f(x,y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是 方程f(x,y)0的解”的充分不必要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 2求轨迹问题常用的数学(新高考)思想 (1)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质) 表示为动点坐标x,y的方程及函数关系 (2)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形” 的有机结合 (3)等价转化思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决 问题时又需要相互转化 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括

3、号中打“”或“”) (1)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线 ( ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2. ( ) (3)ykx 与 x1 ky 表示同一直线 ( ) (4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 D 解析 由已知|MF|MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是 以点F为焦点,直线l为准线的抛物线 题组二 走进教材 2(必修 2P37T3)已知点 F 1 4,0 ,直线 l:x 1 4,点 B 是 l 上的动 点, 若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点

4、M, 则点 M 的轨迹是 ( ) A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 3(选修21P37T1改编)已知A(2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴 上,且满足APOBPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是 _ x2y24x0(y0) 解析 设 P(x,y),APOBPO, |PA| |PB| |OA| |OB|2,即|PA|2|PB|, (x2)2y24(x1)2y2,(y0) 化简整理得 P 的轨迹方程为 x2y24x0(y0) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 ACD 题组三 走向高考 4(多选题)(20

5、20 山东)已知曲线 C:mx2ny21 ( ) A若 mn0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上 B若 mn0,则 C 是圆,其半径为 n C若 mn0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 ym n x D若 m0,n0,则 C 是两条直线 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 A若 mn0,则 1 m 1 n,则根据椭圆定义,知 x2 1 m y 2 1 n 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,故 A 正确;B若 mn0,则方程为 x2y2 1 n,表示半径为 1 n的圆,故 B 错误;C若 m0,n0,则方程为 x2 1 m y2 1 n 1,表示焦点在 y 轴的双

6、曲线,故此时渐近线方程为 ym n x, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 若 m0,n0,则方程为x 2 1 m y 2 1 n 1,表示焦点在 x 轴的双曲线,故 此时渐近线方程为 ym n x,故 C 正确;D当 m0,n0 时,则 方程为 y 1 n表示两条直线,故 D 正确;故选 ACD 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 C 5(2019 北京卷)数学中有许多形状优美、寓意 美好的曲线,曲线 C:x2y21|x|y 就是其中之一 (如图)给出下列三个结论: 曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、 纵坐标均为 整数的点); 曲线 C

7、上任意一点到原点的距离都不超过 2; 曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3 其中,所有正确结论的序号是 ( ) A B C D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 将 x 换成x 方程不变,所以图形关于 y 轴对称, 当 x0 时,代入得 y21, y1,即曲线经过(0,1),(0,1); 当 x0 时,方程变为 y2xyx210, 所以 x24(x21)0,解得 x 0,2 3 3 , 所以 x 只能取整数 1,当 x1 时,y2y0, 解得 y0 或 y1,即曲线经过(1,0),(1,1), 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何

8、根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1), 故曲线一共经过 6 个整点,故正确 当 x0 时,由 x2y21xy 得 x2y21xyx 2y2 2 ,(当 xy 时取等), x2y22, x2y2 2, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过 2, 根据对称性可得: 曲线 C 上任意一点到原点的 距离都不超过 2;故正确 在 x 轴上图形面积大于矩形面积122,x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 1 2 211,因此曲线 C 所围成的“心形”区域的面积大于 213,故 错误故选 C 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导

9、航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点一 曲线与方程自主练透 例 1 (多选题)关于 x, y 的方程 x2 m22 y2 3m221, 其中m22 3 对 应的曲线可能是 ( ) A焦点在 x 轴上的椭圆 B焦点在 y 轴上的椭圆 C焦点在 x 轴上的双曲线 D圆 ABCD 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 由题,若 m223m22,解得 2m 2,3m220, 解得 m 6 3 或 m 6 3 ,则当 x 2, 6 3 6 3 , 2 时,曲线是焦 点在 x 轴上的椭圆, A 正确; 若 3m22m22, 解得 m 2或 m 2, 此时曲

10、线是焦点在 y 轴上的椭圆,B 正确;若 3m220,解得 6 3 m 6 3 ,此时曲线是焦点在 x 轴上的双曲线,C 正确;当 m22 时,方程 为 x2y24,所以 D 正确故选 ABCD 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练 1 (多选题)(2021 山东青岛一中期末)已知点 F(1,0)为曲线 C 的焦点,则 曲线 C 的方程可能为 ( ) Ay24x Bx24y C x2 cos2 y2 sin21 0 2 D x2 cos2 y2 sin21 0 2 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 y24x 的焦点坐标为(1

11、,0);x24y 的焦点坐标为(0,1);当 4时,sin 2cos21 2, x2 cos2 y2 sin21 表示圆;双曲线 x2 cos2 y2 sin2 1 0 2 的焦点在 x 轴上, 且 c cos2sin21, 其焦点坐标为(1,0), (1,0),故选 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点二 定义法求轨迹方程自主练透 (1)(2021 长春模拟)如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周 上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于点E,则点E的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 例 2 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章

12、解析几何 A (2)(2021 福州模拟)已知圆 M:(x 5)2y236,定点 N( 5,0),点 P 为圆 M 上的动点, 点 Q 在 NP 上, 点 G 在线段 MP 上, 且满足NP 2NQ , GQ NP 0,则点 G 的轨迹方程是 ( ) Ax 2 9 y 2 4 1 B x2 36 y2 311 Cx 2 9 y 2 4 1 D x2 36 y2 311 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 D (3)(2021 江苏南京二十九中调研)已知两圆 C1:(x3)2y21,C2: (x3)2y29,动圆 M 同时与圆 C1和圆 C2外切,则动圆圆心 M 的轨迹

13、方程为 ( ) Ax2y 2 8 1 Bx 2 8 y21 Cx2y 2 8 1(x1) Dx2y 2 8 1(x1) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知,|EA|EO|EB|EO|r(r 为圆的半径)且 r |OA|,故 E 的轨迹为以 O,A 为焦点的椭圆,故选 B (2)由NP 2NQ , GQ NP 0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线, 连接 GN,|GN|GP|,|GM|GN|MP|62 5,点 G 的轨迹 是以 M,N 为焦点的椭圆,其中 2a6,2c2 5,b24,点 G 的轨 迹方程为x 2 9 y 2 4 1,故选 A 返回导

14、航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (3)设动圆 M 的半径为 r, 则|C1M|r1, |C2M|3r, |C2M|C1M| 26|C1C2|动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2为焦点的双曲线左支, 且 c3,a1,b2c2a28,其轨迹方程为 x2y 2 8 1(x1)故 选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 x2 4 y 2 5 1(x2) x2 4 y 2 5 1(x2) x2y 2 8 1(x1) x2 4 y 2 5 1 引申1本例(3)中,若动圆M与圆C1内切,与圆C2外切,则动圆圆 心 M的轨迹方程为_ 引申2本例(3)中,若动圆

15、M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆 心 M的轨迹方程为_ 引申3本例(3)中,若动圆M与圆C1、圆C2都内切,则动圆圆心M的 轨迹方程为_ 引申4本例3中,若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切,则 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 定义法求轨迹方程及其注意点 (1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种 圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程 (2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、 双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限 制 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解

16、析几何 B 变式训练 2 (1)动圆 M 经过双曲线 x2y 2 3 1 的左焦点且与直线 x2 相切,则圆 心 M 的轨迹方程是 ( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(多选题)(2021 湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两 根笔直的电线杆,假设它们都垂直于地面,则在水平地面上视它们上端 仰角相等的点P的轨迹可能是 ( ) A直线 B圆 C椭圆 D抛物线 AB 解析 (1)双曲线 x2y 2 3 1 的左焦点为 F(2,0),由题意可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点、原点为顶点、对称轴为 x 轴的抛

17、物线,故其方程 为 y28x故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)如图两根电杆 AB,CD, 当|AB|CD|时, BPADPC,|PA|PC|, P 的轨迹是 AC 的中垂线, 当|AB|CD|(1,0)时, 由BPADPC 知 RtABPRtCDP, |AP| |CP| |AB| |CD|, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 以 AC 所在直线为 x 轴,线段 AC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标 系, 记 A(1,0),C(1,0),P(x,y), 则 x12y2 x12y2, 即 x 21 21 2y2 2 21 2,

18、 轨迹为圆,故选 AB 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点三 直接法求轨迹方程师生共研 (1)(2021 四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C 过点A(0,2)且与直线y2相切,则圆心C的轨迹方程为 ( ) Ax24y Bx28y Cx24y Dx28y 例 3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(2021 山东菏泽模拟)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦 MN的长为8 求动圆圆心的轨迹C的方程; 已知点B(1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点 P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明:直线l

19、过定点 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设圆心 C(x,y), 由题意知 x2y22|y2|, 化简得 x28y,故选 B (2)设动圆圆心 P(x,y),线段 MN 的中点为 E, 则|PA|2|PE|242, 即(x4)2y2x216,化简得 y28x, 动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y28x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设直线 l 的方程为 ykxb, 联立 y28x, ykxb, 得 k2x22kbxb28x, k2x2(82kb)xb20(其中 0), 设 P(x1,kx1b),Q(x2,kx2b), 则 x1x

20、282kb k2 ,x1x2b 2 k2, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 若 x 轴是PBQ 的角平分线, 则 kPBkQBkx 1b x11 kx 2b x21 kx 1bx21kx2bx11 x11x21 2kx 1x2kbx1x22b x11x21 8kb k2x11x210,即 kb 故直线 l 的方程为 yk(x1),直线 l 过定点(1,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合适的直角坐标系 (2)设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系用坐标表示为 代数方程 (3)化简整理这个方程

21、,检验并说明所求方程就是曲线的方程直接 法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方 程,要注意“翻译”的等价性 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (4)运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的 同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练3 (1)已知两定点A(2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|2|PB|,则动点 P的轨迹是 ( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线

22、B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)(2021 湖南湘潭模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 Q(1,0), 直线 l:x2若动点 P 在直线 l 上的射影为 R,且|PR | 2|PQ |,设点 P 的轨迹为 C 求 C 的轨迹方程; 设直线 yxn 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试探究曲线 C 上是 否存在点 M,使得四边形 MAOB 为平行四边形,若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设 P(x,y), 则 x22y22 x12y2, 化简得 x2y24x0,

23、即(x2)2y24, 其表示以(2,0)为圆心,4 为半径的圆,故选 B (2)设 P(x,y),由|PR | 2|PQ |, 得|2x| 2 x12y2, 平方化简得 C 的轨迹方程为x 2 2 y21 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3), 联立 yxn x2 2 y21,得 x 22(xn)220, 即 3x24nx2n220, 所以 x1x24n 3 ,y1y2x1x22n2n 3 假设存在点 M 使得四边形 MAOB 为平行四边形, 则OM OA OB , 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章

24、 解析几何 所以(x3,y3)(x1,y1)(x2,y2), 所以 x3x1x24n 3 ,y3y1y22n 3 由点 M 在曲线 C 上得x 2 3 2 y2 31, 代入得8n 2 9 4n 2 9 1, 解得 n23 4,n 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 所以当 n 3 2 时, 曲线 C 上存在点 M 使得四边形 MAOB 为平行四 边形, 此时点 M 的坐标为 2 3 3 , 3 3 或者 M 2 3 3 , 3 3 , 当 n 3 2 , 曲线 C上不存在点 M使得四边形 MAOB为平行四边形 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章

25、解析几何 考点四 代入法(相关点法)求轨迹方程师生共研 例 4 (2021 河南新乡模拟)在直角坐标系 xOy 中,点 M(2,0),N 是曲线 x1 4y 22 上的任意一点,动点 C 满足MC NC 0 (1)求点 C 的轨迹方程; (2)经过点 P(1,0)的动直线 l 与点 C 的轨迹交于 A,B 两点,在 x 轴上 是否存在定点 D(异于点 P),使得ADPBDP?若存在,求出 D 的坐 标;若不存在,请说明理由 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)设 C(x,y),N(x0,y0), 则MC (x2,y),NC (xx0,yy0), MC NC

26、(2xx02,2yy0) 又MC NC 0,则 2xx020, 2yy00, 即 x02x2, y02y. 因为点 N 为曲线 x1 4y 22 上的任意一点,所以 x 01 4y 2 02, 所以 2x21 4(2y) 22, 整理得 y22x,故点 C 的轨迹方程为 y22x 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)设存在点 D(t,0),使得ADPBDP, 所以 kDAkDB0 由题易知,直线 l 的倾斜角不可能为 0 , 故设直线 l 的方程为 xmy1, 将 xmy1 代入 y22x,得 y22my20 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析

27、几何 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y22m,y1y22 因为 kDAkDB y1 x1t y2 x2t y1 my11t y2 my21t0, 所以 2my1y2(1t)(y1y2)0, 即4m2m (1t)0,所以 t1 故存在点 D(1,0),使得ADPBDP 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 代入法(相关点法)求轨迹方程 (1)当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用相关点法求其 轨迹方程: 某个动点P在已知方程的曲线上移动; 另一个动点M随P的变化而变化; 在变化过程中P和M满足一定的规律 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八

28、章 解析几何 (2)代入法(相关点法)的基本步骤 设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1); 求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式 x1fx,y, y1gx,y; 代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨 迹方程; 检验:注意检验所求方程是否符合题意 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 D 变式训练 4 (2021 河北石家庄模拟)已知点 Q 在椭圆 C: x2 16 y2 101 上,点 P 满 足OQ 1 2(OF1 OP )(其中 O 为坐标原点,F1为椭圆 C 的左焦点),则点 P 的轨迹为 ( ) A圆 B抛物线 C双曲线

29、D椭圆 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 设 P(x,y),Q(x0,y0),椭圆 C 的左焦点 F1(2,0), 由题意知 x 0 x2 2 , y0y 2 又 x2 0 16 y2 0 101, x22 64 y2 401,故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 考点五 参数法求轨迹方程师生共研 (2021 河北衡水中学调研)已知 圆C1:x2y22,圆C2:x2y24,如图, C1,C2分别交x轴正半轴于点E,A射线OD 分别交C1,C2于点B,D,动点P满足直线BP 与y轴垂直,直线DP与x轴垂直 例 5 返回导航 高考一轮

30、总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 E 作直线 l 交曲线 C 与点 M,N,射线 OHl 于点 H,且交 曲线 C 于点 Q问: 1 |MN| 1 |OQ|2的值是否是定值?如果是定值,请求出 该定值;如果不是定值,请说明理由 分析 显然点P(x,y)的变动由AOD的大小(或kOD)决定,故可 通过(或kOD)建立x,y间的关系,即点P的轨迹方程 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 (1)解法一:如图设BOE, 则 B( 2cos , 2sin ),D(2cos ,2sin ), 所以 xP2cos ,y

31、P 2sin 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解法二:当射线 OD 的斜率存在时,设斜率为 k,OD 方程为 ykx, 由 ykx x2y22得 y 2 P 2k2 1k2, 同理得 x2 P 4 1k2, 所以 x2 P2y 2 P4 即有动点 P 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y 2 2 1 当射线 OD 的斜率不存在时,点(0, 2)也满足 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (2)由(1)可知 E 为 C 的焦点, 设直线 l 的方程为 xmy 2(斜率不为 0 时)且设

32、点 M(x1, y1), N(x2, y2), 由 xmy 2 x22y24 ,得(m22)y22 2my20, 所以 y 1y2 2 2m m22 y1y2 2 m22 ,所以 1 |MN| 1 1m2|y1y2| m22 4m21, 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 又射线 OQ 方程为 ymx, 代入椭圆 C 的方程得 x22(mx)24, 即 x2 Q 4 12m2,y 2 Q 4m2 12m2, 1 |OQ|2 12m2 4m21, 所以 1 |MN| 1 |OQ|2 m22 4m21 12m2 4m21 3 4, 又当直线 l 的斜率为 0 时,也符合条件

33、 综上, 1 |MN| 1 |OQ|2为定值,且为 3 4 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 (1)在选择参数时,参数可以具有某种物理或几何意义,如时间、速 度、距离、角度、直线的斜率、点的横(纵)坐标等,也可以没有具体的 意义,但要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 (2)参数法求轨迹方程的适用条件 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关 点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某 两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 变式训练5 若过点P(1,1)且互

34、相垂直的两条直线l1,l2分别与x轴、y轴交于A、B 两点,则AB中点M的轨迹方程为_ xy10 解析 当直线 l1的斜率存在时,l2的斜率也存在,设直线 l1的方程 是 y1k(x1),则直线 l2的方程是 y11 k(x1),所以直线 l1 与 x 轴的交点为 A 11 k,0 ,l2 与 y 轴的交点为 B 0,11 k , 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设 AB 的中点 M 的坐标为(x,y),则有 x1 2 11 k , y1 2 11 k , 两式相加消去 k, 得 xy1 x1 2 ,即 xy10(x1 2),所以 AB 中点 M 的轨迹方程为 x

35、y10 x1 2 当直线 l1(或 l2)的斜率不存在时,点 M 的坐标为 1 2, 1 2 ,此点在直线 xy10 上 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 综上,AB 中点 M 的轨迹方程为 xy10 另解:由题意易知|MP|MO|, M 的轨迹为线段 OP 的中垂线, 其方程为 y1 2 x1 2 , 即 xy10 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 例 6 高考中的轨迹问题 (2019 课标)已知点 A(2,0),B(2,0),动点 M(x,y)满足直 线 AM 与 BM 的斜率之积为1 2记 M 的轨迹为曲

36、线 C (1)求 C 的方程,并说明 C 是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交 C 于 P,Q 两点,点 P 在第一象限,PEx 轴,垂足为 E,连接 QE 并延长交 C 于点 G 证明:PQG 是直角三角形; 求PQG 面积的最大值 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解题思路 (1) 由题直译 得关系 化简,观察方程 形式得结论 (2)设直线PQ:ykx 与C的方程联立得 P,Q两点坐标 得直线QG 的方程 与C的方程联立 得G的坐标 求PG的 斜率 得结论 利用公式 求面积 得关于k 的函数 判断单调 性求最值 得结论 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考)

37、第八章 解析几何 解析 (1)由题设得 y x2 y x2 1 2,化简得 x2 4 y 2 2 1(|x|2), 所以 C 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,不含左右顶点 (2)证明:设直线 PQ 的斜率为 k,则其方程为 ykx(k0), 由 ykx, x2 4 y 2 2 1得 x 2 12k2 记 u 2 12k2,则 P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 于是直线 QG 的斜率为k 2,方程为 y k 2(xu) 由 yk 2xu x2 4 y 2 2 1 , 得(2k2)x22uk2xk2u280 返回导航

38、 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设 G(xG,yG),则u 和 xG是方程的解, 故 xGu3k 22 2k2 ,由此得 yG uk3 2k2 从而直线 PG 的斜率为 uk3 2k2uk u3k22 2k2 u 1 k 所以 PQPG,即PQG 是直角三角形 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 由得|PQ|2u 1k2,|PG|2uk k 21 2k2 , 所以PQG 的面积 S1 2|PQ|PG| 8k1k2 12k22k2 8 1 kk 12 1 kk 2 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 设 tk1 k,则由 k0

39、得 t2,当且仅当 k1 时取等号, 因为 S 8t 12t2在2,)单调递减,所以当 t2, 即 k1 时,S 取得最大值,最大值为16 9 因此,PQG 面积的最大值为16 9 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解题关键 利用方程思想得出点P、Q的坐标,进而利用换元法 及整体代换法简化运算过程是顺利解决本题的关键;正确利用基本不 等式及函数单调性是求解PQG面积最值的关键 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 A 变式训练 6 (2020 新课标)在平面内,A,B 是两个定点 C 是动点,若OC BC 1,则点 C 的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C抛物线 D直线 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第八章 解析几何 解析 不妨以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点为原点, 建立平面直 角坐标系, 设 C(x,y),A(c,0),B(c,0),c0, 则AC (xc,y),BC (xc,y), 由AC BC 1,得(xc)(xc)y y1, 即 x2y2c210, 点 C 的轨迹为圆故选 A 谢谢观看