1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第六讲 双曲线 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的_ _的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_， 两焦点间的距离叫做双曲线的_ 距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|) 焦距 焦点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 注：设集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常 数，且a0，c0； (1)当ac时，P点的轨迹是_； (
2、2)当ac时，P点的轨迹是_； (3)当ac时，集合P是_ 双曲线 两条射线 空集 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 范围 xa或xa，yR xR，ya或ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1_， A2_ 顶点坐标： A1_， A2_ 性 质 渐近线 y_ y
3、_ (a,0) (a,0) (0，a) (0，a) b ax a bx 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 离心率 ec a，e(1，)，其中c a 2b2 性 质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的_，它的长|A1A2|_； 线段B1B2叫做双曲线的_，它的长|B1B2|_； _叫做双曲线的_，b叫做双曲线的 _ a、b、c 的关系 c2a2b2(ca0，cb0) 实轴 2a 虚轴 2b a 实半轴长 虚半轴长 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 双曲线中的
4、几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为 b (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近 线互相垂直(位置关系) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a (通径) 过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为2b 2 a ；与两支 相交所得弦长的最小值为 2a (4)过双曲线焦点 F1的弦 AB 与双曲线交在同支上，则 AB 与另一个 焦点 F2构成的ABF2的周长为 4a2|AB| 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (5)
5、双曲线的离心率公式可表示为 e1b 2 a2 (6)双曲线的形状与 e 的关系：|k|b a c2 a21 e 21，e 越大，即 渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔 (7)x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 y2 b2 x2 a21(a0，b0)互为共轭双曲线， 其离心率倒数的平方和为 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨 迹是双曲线 ( ) (2)方程x 2 m y2 n 1(mn0)表示焦点
6、在 x 轴上的双曲线 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)双曲线方程 x2 m2 y2 n2(m0， n0， 0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n2 0，即 x m y n0 ( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2 ( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与 x2 b2 y2 a21(a0， b0)的离心率 分别是 e1, e2，则 1 e2 1 1 e2 21(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 题组二 走进教材 2(必修 2P61T1)若
7、双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线 的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) A 5 B5 C 2 D2 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 双曲线的渐近 线方程为x a y b0，即 bxay0，2a bc a2b2b又 a 2b2c2， 5a2c2e2c 2 a25，e 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 3(必修 2P61A 组 T3)已知 ab0，椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，双 曲线 C2的方程为x 2 a2 y2 b21，C1 与 C2的离心率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线 方程为 (
8、 ) Ax 2y0 B 2xy0 Cx2y0 D2xy0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 椭圆 C1的离心率为 a2b2 a ， 双曲线 C2的离心率为 a2b2 a ， 所以 a2b2 a a2b2 a 3 2 ，即 a44b4，所以 a 2b，所以双曲线 C2的 渐近线方程是 y 1 2x，即 x 2y0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 题组三 走向高考 4(2018 全国卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 3，则 其渐近线方程为 ( ) Ay 2x By 3x Cy 2 2 x Dy 3 2 x
9、解析 由题意 ec a 1 b a 2 3，b a 2， 双曲线的渐近线方程为 y 2x，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B 5(2020 新课标)设 F1，F2是双曲线 C：x2y 2 3 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|OP|2，则PF1F2的面积是 ( ) A7 2 B3 C5 2 D2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 由题意可得 a1，b 3，c2， |F1F2|2c4，|OP|2， |OP|1 2|F1F2|，PF1F2 为直角三角形，PF1PF2， |PF1|2|PF2|24c216， |
10、PF1|PF2|2a2， |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|4， |PF1| |PF2|6， PF1F2的面积为 S1 2|PF1| |PF2|3，故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 双曲线的定义及其应用自主练透 例 1 (1)已知定点 F1(2,0)，F2(2,0)，N 是圆 O：x2y21 上任 意一点，点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P 的轨迹是 ( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)(2021 河南洛阳统考)已知 F 是双曲线x
11、 2 4 y2 121 的左焦点， A(1,4)， P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_ B 9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)如图，连接 ON，由题意可得 |ON|1，且 N 为 MF1的中点，又 O 为 F1F2 的中点， |MF2|2 点 F1关于点 N 的对称点为 M，线段 F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，由垂 直平分线的性质可得|PM|PF1|， |PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|， 由双曲线的定义可得，点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
12、第八章 解析几何 (2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4 |PF1|，所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图形可 知，当点A，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1|PA|的最 小值又|AF1|5，故所求的最小值为9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是 差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合 |PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1| |PF2|的联系 返回导航
13、高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 x2 4 y2 121(x2) C 变式训练 1 (1)在ABC 中，B(4,0)，C(4,0)，动点 A 满足条件 sin Bsin C1 2 sin A 时，则点 A 的轨迹方程为_ (2)(2021 广东佛山质检)已知 P 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0) 上一点，O 为坐标原点，F1，F2为双曲线 C 左右焦点若|OP|OF2|， 且满足 tanPF2F13，则双曲线的离心率为 ( ) A 5 2 B 2 C 10 2 D 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设 A 的坐标为
14、(x，y)，在ABC 中，由正弦定理，得 a sin A b sin B c sin C2R(其中 R 为ABC 外接圆的半径)，代入 sin Bsin C 1 2sin A，得 |AC| 2R |AB| 2R 1 2 |BC| 2R 又|BC|8，|AC|AB|4，因此 A 的 轨迹为以 B，C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且 2a4,2c8， 即 a2，c4，b2c2a212所以所求 A 点的轨迹方程为x 2 4 y2 121(x 2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)点 P 在双曲线 C 的右支上， 且满足|OP|OF2|， 即有 O 为PF1F
15、2 外接圆的圆心， 即有F1PF290 ， 由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a， tanPF2F13，所以|PF1|3|PF2|， 则|PF1|3a，|PF2|a，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即(3a)2a24c2， 即有 c25 2a 2，e 10 2 知，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点二 双曲线的标准方程师生共研 例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为 y1 2x，焦距为 10； (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7)；
16、 (4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4， 10) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)设所求双曲线方程为 x24y2(0)， 将(2,2)的坐标代入上述方程，得 224 22， 12 所求双曲线方程为y 2 3 x2 121 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设所求双曲线方程为x 2 4 y2(0)， 当 0 时，双曲线标准方程为 x2 4 y2 1， c 5 55，5； 当 0 时，双曲线标准方程为 y2 x2 41， c 5 55，5 所求双曲线方程为 x2 20 y2 5 1 或y 2 5 x
17、2 201 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 9m28n1， 72m49n1，解之得 m1 75， n 1 25. 双曲线方程为 y2 25 x2 751 (4)依题意，e 2ab设方程为x 2 m y2 m1， 则16 m 10 m 1，解得 m6x 2 6 y 2 6 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义， 确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程 (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y
18、轴，设出标准方程，再由条 件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定， 可将双曲线方程设为Ax2By21(AB0)，根据条件确定A、B即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 特别的与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0， b0)共渐近线的双曲线方程可设为 x2 a2 y 2 b2(0)；与双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)共焦点的双曲线方程可 设为 x2 a2k y2 b2k1(b 2ka2)； 渐近线为 yb ax(或 y b ax)的双曲 线的方程可设为x 2 a2 y2 b2(0) 特别地：离心率为 2的双曲线的方程可设为 x
19、2y2(0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 2 (1)(2017 新课标)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的一条渐近 线方程为 y 5 2 x，且与椭圆 x2 12 y2 3 1 有公共焦点，则 C 的方程为( ) Ax 2 8 y2 101 Bx 2 4 y 2 5 1 Cx 2 5 y 2 4 1 Dx 2 4 y 2 3 1 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A (2)(2019 新课标)双曲线 C：x 2 4 y 2 2 1 的右焦点为 F点 P 在 C 的 一条渐近线上，O 为坐标原点若|
20、PO|PF|，则PFO 的面积为( ) A3 2 4 B3 2 2 C2 2 D3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)椭圆 x2 12 y2 3 1 的焦点坐标(3,0)，则双曲线的焦点坐标 为(3,0)，可得 c3，双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方 程为 y 5 2 x，可得b a 5 2 ，即c 2a2 a2 5 4，可得 c a 3 2，解得 a2，b 5， 所求的双曲线方程为：x 2 4 y 2 5 1故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)双曲线 C：x 2 4 y 2 2
21、 1 的右焦点为 F( 6，0)，渐近线方程为：y 2 2 x，不妨设 P 在第一象限，可得 tanPOF 2 2 ，P 6 2 ， 3 2 ，所以 PFO 的面积为：1 2 6 3 2 3 2 4 ，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 双曲线的几何性质多维探究 例 3 角度 1 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围 (2021 武汉武昌区调研)双曲线 C：y 2 a2 x2 b21(a0，b0) 的焦距为 10，焦点到渐近线的距离为 3，则 C 的实轴长等于_ 8 解析 双曲线的焦点(0,5)到渐近线 ya bx，即 axby0 的距离为 |5
22、b| a2b2 5b c b3，所以 a4,2a8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 4 角度 2 双曲线的渐近线 (1)(多选题)(2021 河北张家口、衡水、邢台联考)已知双曲线 E： x2 m y2 4 1(m0)的一条渐近线方程为 x3y0，则下列说法正确的是 ( ) AE 的焦点在 x 轴上 Bm4 9 CE 的实轴长为 6 DE 的离心率为 10 3 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B (2)(2021 福建厦门质检)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的一个 焦点为 F，点 A，B 是 C 的一
23、条渐近线上关于原点对称的两点，以 AB 为 直径的圆过 F 且交 C 的左支于 M，N 两点，若|MN|2，ABF 的面积为 8，则 C 的渐近线方程为 ( ) Ay 3x By 3 3 x Cy2x Dy1 2x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由 m0， 可知双曲线 E 的焦点一定在 x 轴上， 故 A 正确； 根据题意得b a 2 m 1 3，所以 m36，故 B 错误；双曲线 E 的实轴长为 2 m12，故 C 错误；双曲线 E 的离心率 ec a m4 m 10 3 ，故 D 正 确故选 AD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章
24、解析几何 (2)设双曲线的另一个焦点为 F，由双曲线的对称性，四边形 AFBF是矩形，所以 SABFSAFF，即 bc8，由 x2y2c2 x2 a2 y2 b21 ，得：y b 2 c ，所以|MN|2b 2 c 2，所以 b2c，所以 b2，c4，所以 a2 3， C 的渐近线方程为 y 3 3 x故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 5 C 角度 3 双曲线的离心率 (1)(2021 福建三明期末质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的一条渐近线与直线 x 3y40 垂直，则该双曲线的离心率为 ( ) A2 3 3 B4 3 C2
25、D4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C (2)(2018 新课标)设 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的 左，右焦点，O 是坐标原点，过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P， 若|PF1| 6|OP|，则 C 的离心率为 ( ) A 5 B2 C 3 D 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C (3)(2021 河北省衡水中学调研)已知点 F 是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的右焦点，点 E 是该双曲线的左顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与 双曲线交于 A，B 两点，若AEB
26、 是钝角，则该双曲线的离心率 e 的取值 范围是 ( ) A(1 2，) B(1,1 2) C(2，) D(2,1 2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意可知b a 3 3 1，b a 3， ec a 1 b a 22故选 C (2)点 F2(c,0)到渐近线 yb ax 的距离|PF2| bc a 0 1 b a 2b(b0)，而 |OF2|c，所以在 RtOPF2中，由勾股定理可得|OP| c2b2a，所以 |PF1| 6|OP| 6a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 在 RtOPF2中，cosPF2O|PF2| |
27、OF2| b c， 在F1F2P 中，cosPF2O|PF 2| 2|F 1F2| 2|PF 1| 2 2|PF2| |F1F2| b 24c26a2 2b 2c ， 所以b c b24c26a2 4bc 3b24c26a2， 则有 3(c2a2) 4c26a2， 解得c a 3(负值舍去) 即 e 3故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)由题意，得 AB 为双曲线的通径， 其长度为|AB|2b 2 a ， 因为AEB 2，所以AEF 4， 则 tanAEF|AF| |EF|1，即 b2 aac)1， 即 c2a2a(ac)， 即 e2e20，解得 e2故
28、选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1求双曲线离心率或其范围的方法 (1)直接法：由题设条件求出 a，c，从而得 e (2)等价转化法： 由 ec a或 e 1b 2 a2等公式将已知条件转化为 e 的 等式，从而得 e (3)列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解解题时要特别注意几何特 点，以简化运算 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 2求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线的方法是令 x2 a2 y2 b20
29、，即 得两渐近线方程x a y b0 或确定焦点位置并求出b a或 a b的值，从而写出渐近线方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 注：如图 F 为双曲线x 2 a2 y2 b21 的焦点，l 为渐近线；FHl，则|FH| b，|OH|a 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C 7 变式训练 3 (1)(角度 1)(2021 安徽蚌埠质检)已知双曲线的渐近线方程为 y 3 3 x，一个焦点 F(2,0)，则该双曲线的虚轴长为 ( ) A1 B 3 C2 D2 3 (2)(角度 2)(2021 河南郑州一中期中)设 P 是双曲线x 2 a2 y
30、2 9 1 上一点， 双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦 点，若|PF1|3，则|PF2|的值为_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A (3)(角度 3)(2021 安徽皖南八校联考)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0， b0)的一条渐近线与圆(x2)2y21 相切，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A2 3 3 B 3 C2 2 D 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)因为双曲线的渐近线方程为 y 3 3 x，一个焦点 F(2,0)， 所以 a2b2c24， b a 3 3
31、， 联立、可得：a23，b21，b1，从而 2b2， 该双曲线的虚轴长 2，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)双曲线的渐近线方程 y3 2x， 得 a2，由于|PF1|3,2a4， 由双曲线定义知|PF1|PF2|2a4，得|PF2|7 (3)由题意可知圆心(2,0)到渐近线 yb ax 的距离为半径 r1， 即 |2b| a2b21，即 3b 2a2， 又 a2b2c2，则 3(c2a2)a2， 解得 ec a 2 3 3 故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点四 直线与双曲线多维探究 例 6 角度 1 直线与双曲
32、线位置关系 (2021 唐山一中模拟)过点 A(0,1)作直线，与双曲线 x2y 2 9 1 有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为 ( ) A0 B2 C4 D无数 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 通解：由题意可得直线的斜率一定存在， 设为 k，则直线方程为 ykx1， 代入双曲线方程整理得 (9k2)x22kx100 当 k3 时，方程有一解，直线与双曲线 只有一个公共点； 当 k3 时，由 0 解得 k 10， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4 条，选项C正确
33、 优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2 条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点 的直线有4条，选项C正确 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申1本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率 的取值范围为_ 引申2本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线 有_条 引申3本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线 有_条 引申4本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取 值范围为_ (3,3) 3 2 (3， 10) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
34、高考） 第八章 解析几何 解析 设直线方程为 ykx1， 由 ykx1， x2y 2 9 1 得(9k2)x22kx100 由 4k240(9k2)0，得 k 10，即 k 切 10 结合图形可知 3k 10 注：或由 4k2409k2)0 x1x2 2k 9k20 x1x2 10 9k20 求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申5本例中，过双曲线左焦点且与左支有两个不同交点的直线斜 率的取值范围为_ (，3)(3，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后 把直线方程和双曲线方程组成
35、方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元 二次方程，利用判别式和根与系数的关系求解，注意整体代入 2有时利用数形结合思想，根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某 切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 7 B 4xy70 角度 2 弦的问题 (1)(2021 山东师大附中模拟)过双曲线x2y 2 3 1的右焦点作 直线 l 交双曲线 A，B 两点，则满足|AB|6 的直线 l 有 ( ) A4 条 B3 条 C2 条 D1 条 (2)以 A(2,1)为中点的双曲线 C：2x2y22 的弦所在直线的方程为 _ 返回导航
36、高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)当直线 l 的倾斜角为 90 时，|AB|2b 2 a 6；当直线 l 的倾 斜角为 0 时，|AB|26故当直线 l 适当倾斜时，还可作出两条直线使 得|AB|6故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设弦的端点分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 2x2 1y 2 12， 2x2 2y 2 22 ，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0， 又 MN 的中点为 A(2,1)，即 x1x24，y1y22， 4(x1x2)y1y2，即 kMN4， 所求直线方程为 y14(x
37、2)，即 4xy70 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求弦所在直线方程后应 代回检验 (2)弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴 长间关系的应用如本例(1)中双曲线实轴长为2，通径长为6，则满足 |AB|m的直线当2m6时有2条；当m6时有4条；当m2时 有1条；当0m2有0条 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 4 (1)如果直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的右支有两个公共点， 则 k 的取值范围是_ (2)已知双曲线 x2y 2 3 1，过 P(2,1)点作一直
38、线交双曲线于 A，B 两 点，并使 P 为 AB 的中点，则直线 AB 的方程为_ 1， 5 2 6xy110 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由 ykx1， x2y24 得(1k2)x22kx50， 由 4k220(1k2)0 得 k 5 2 ， 结合图形可知 1k 5 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程 3x2y23，相减得直线 AB 的斜率 kABy 1y2 x1x2 3x1x2) y1y2 3x 1x2 2 y1y2 2 32 1 6 故所求直线的方 程为
39、y16(x2)，即 6xy110 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 8 高考中的离心率问题 D (1)(2021 广东六校联考)已知双曲线 ：x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的左焦点为 F( 5，0)，点 A 的坐标为(0,2)，点 P 为双曲线右支上 的动点，且APF 周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为 ( ) A 2 B 3 C2 D 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A (2)(2019 全国)已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，过 C 的左焦 点且垂直于 x
40、轴的直线交 C 于 M，N 两点，若以 MN 为直径的圆经过 C 的右焦点，则 C 的离心率为 ( ) A 21 B2 C 3 D 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B (3)(2021 江西吉安五校联考)已知 F1，F2是双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b 0)的左， 右焦点， 若双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 ybx a 对 称，则该双曲线的离心率为 ( ) A 5 2 B 5 C 2 D2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A (4)(2021 天津南开区期末)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)
41、的左、 右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此 双曲线离心率的最大值为 ( ) A4 3 B5 3 C2 D7 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 D (5)(2021 安徽省安庆一中模拟)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的 右焦点为 F， 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一 个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) A(1,2) B(1,2 C(2，) D2，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题易知双曲线的右焦点 F1( 5，0)
42、， 即 c 5，|AF| 5223， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|PF|PF1| 2a，|PF|PF1|2a， 所以APF 周长为：|AF|AP|PF|AF|AP|PF1|2a， 当点 A，P，F1共线时，周长最小， 即|AF|AF1|2a8，解得 a1， 故离心率 e 5，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2， 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， |F1M|F1F2|，b 2 a 2c， c2a22ac，e22e10，e1 2， e1，
43、e 21，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)由题意可知|OF1|OF2|OP|， PF2PF1，|PF2| |PF1| b a， 设|PF2|bx，则 x2(b2a2)4c2，x2， 又 2a|PF2|PF1|2(ba)，2ab， e1 b a 2 5，故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)由 |MF2|MF1|2a， |MF2|7|MF1| 知|MF1|a 3， a 3ca，e c a 4 3，故选 A (5)由题意可知b atan 60 3， e1 b a 22，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
44、） 第八章 解析几何 引申本例(5)中，若直线与双曲线的右支有两个交点，则离心率的 取值范围是_；若直线与双曲线左、右两支各有一个交点，则 离心率的取值范围是_ (1,2) (2，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求离心率的取值范围需构造a、b、c间的不等关系，一般从以下几方 面入手：曲线的范围；构造方程，借助判别式；数形结合 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 变式训练 5 (1)(2019 全国卷，12)设 F 为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的 右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2y2a2交
45、于 P，Q 两 点若|PQ|OF|，则 C 的离心率为 ( ) A 2 B 3 C2 D 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 C (2)(2021 湖北武汉综合测试)过双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)左焦 点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆 与 C 的渐近线相切，则 C 的离心率为 ( ) A 51 B 3 C 2 D 21 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3 2 2 (3)(2021 东北三省四市模拟)已知矩形 ABCD， AB12， BC5， 以 A， B 为焦点，
46、且过 C，D 两点的双曲线的离心率为_ (4)(2019 新课标)已知双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦 点分别为 F1， F2， 过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点 若 F1A AB ，F1B F2B 0，则 C 的离心率为_ 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)如图，连接 OP，|PQ|OF|c， PQ 过圆心 c 2，0 易得 P c 2， c 2 又|OP|a，a2 c 2 2 c 2 2c 2 2 ， c a 22，ec a 2故选 A (2)由题意知b 2 a b，即b a1， e1 b a 2
47、 2，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)由题意知：2cAB12， 即 c6，BD 1225213， 由双曲线定义可得 2aBDAD1358，a4， 双曲线的离心率为 ec a 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)如图， F1A AB A 为 F1B 的中点，且 O 为 F1F2的中点， AO 为F1F2B 的中位线， 又F1B F2B 0， F1BF2B，则 OBF1Oc 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 设 B(x1，y1)，A(x2，y2)， 点 B 在渐近线 yb ax 上， x2 1y 2 1c 2 y1b ax1 ，得 x1a y1b， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 又A 为 F1B 的中点， x 2ca 2 y2b 2 ， A 在渐近线 yb ax 上， b 2 b a ac 2 ，得 c2a， 则双曲线的离心率 ec a2 谢谢观看
