1、必考部分 第八章第八章 解析几何解析几何 第三讲 圆的方程 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点一 圆的定义及方程 定义 平面内到_的距离等于_的点的集合(轨迹)叫做圆 圆心 C：_ 标准 方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 半径：_ 圆心： D 2 ，E 2 一般 方程 x2y2DxEyF0(D2 E24F0) 半径：r_ 定点 定长 (a，b) r D2E24F 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 知识点二 点与圆的位置关系 圆的标
2、准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)， (1)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆上； (2)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆外； (3)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆内 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1圆心在过切点且垂直于切线的直线上 2圆心在任一弦的垂直平分线上 3两圆相切时，切点与两圆心三点共线 4以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(xx1)(x x2)(yy1)(yy2)0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA kPB 1，由斜率公式代入整理即可) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八
3、章 解析几何 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径 ( ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x x1)(xx2)(yy1)(yy2)0 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)方程 x22axy20 一定表示圆 ( ) (4)若点 M(x0， y0)在圆 x2y2DxEyF0 外， 则 x2 0y 2 0DxEy F0 ( ) (5)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的圆 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
4、考） 第八章 解析几何 题组二 走进教材 2(必修2P124A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和 B(1,3)，则圆C的方程为_ (x2)2y210 解析 设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，|CA|CB|， 即 a121 a129，解得 a2，圆心为 C(2,0)， 半径|CA| 2121 10， 圆 C 的方程为(x2)2y210 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3(必修2P132A组T3)以点(2，1)为圆心且与直线3x4y50相 切的圆的方程为 ( ) A(x2)2(y1)23 B(x2)2(y1)23
5、 C(x2)2(y1)29 D(x2)2(y1)29 C 解析 因为圆心(2，1)到直线 3x4y50 的距离 d|645| 5 3，所以圆的半径为 3，即圆的方程为(x2)2(y1)29故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 题组三 走向高考 4(2019 北京高考)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l则以F为 圆心，且与l相切的圆的方程为_ 解析 抛物线的方程为y24x，其焦点坐标为F(1，0)，准线l 的方程为x1又圆与直线l相切，圆的半径r2，故圆的方程为 (x1)2y24 (x1)2y24 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 B
6、5(2020 高考全国)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到 直线 2xy30 的距离为 ( ) A 5 5 B2 5 5 C3 5 5 D4 5 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设圆心为 P(x0，y0)，半径为 r，圆与 x 轴，y 轴都相切， |x0|y0|r，又圆经过点(2,1)，x0y0r 且(2x0)2(1y0)2r2， (r2)2(r1)2r2，解得 r1 或 r5r1 时，圆心 P(1,1)，则 圆心到直线 2xy30 的距离 d |213| 2212 2 5 5 ；r5 时，圆心 P(5,5)， 则圆心到直线 2xy30 的距离
7、 d |1053| 2212 2 5 5 故选 B 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点一 求圆的方程自主练透 (1)(2021 海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x4y0及3x 4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为 ( ) A(x3)2(y1)21 B(x3)2(y1)21 C(x3)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 (2)(2021 重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半 轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为 ( ) Ax2y22x30 Bx2y24x0 Cx2y24x0 Dx2
8、y22x30 例 1 C B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)(2018 天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0) 的圆的方程为_ (4)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆 心到直线 2xy0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的方程为_ x2y22x0 (x2)2y29 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由题意知，圆 M 的半径 r 为两平行线间距离 10 32422 的一半， r1，设圆心的坐标为(a，a4)， 则|3a4a4| 3242 |3a4
9、a410| 3242 解得 a3，圆心坐标为(3，1)， 圆 M 的方程为(x3)2(y1)21，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 另解：与两平行直线距离相等的直线方程为 3x4y50， 由 3x4y50 yx4 ，得圆心坐标为(3，1)， 又两平行线间距离为 10 32422， 圆 M 的半径 r1， 圆 M 的方程为(x3)2(y1)21故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设圆心 C(a,0)(a0)，由题意知 |3a4| 32422，解得 a2，故圆 C 的方程为(x2)2y222，即 x2y24x0，故选 B
10、(3)设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0分别代入(0,0)，(1,1)， (2,0)三点，得 F0， 11DEF0， 42DF0， 解得 D2， E0， F0. 故圆的方程为 x2y22x0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (4)设圆 C 的圆心坐标为(a,0)，a0，半径为 r，则4 5 5 |2a| 2212 a0，a2r2(20)2(0 5)29，圆 C 的方程为(x2)2 y29 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写 出方程 (2)待定系数法： 若
11、已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据 已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依 据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练1 (1)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都 相切，则该圆的标准方程是 ( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21 C(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 (2)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆 的方程为_
12、 A (x1)2(y2)210 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，可设圆心为(a,1)(a 0)，又圆与直线 4x3y0 相切， |4a3| 5 1，解得 a2 或 a1 2(舍去) 圆的标准方程为(x2)2(y1)21 故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)AB 的中点为 H(0，4)， 且 kAB35 22 1 2， AB 中垂线方程为 y42x，即 2xy40 由 2xy40 x2y30得圆心 C(1，2)，r 2AC210 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210 返回导航
13、高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 角度 1 斜率型最值 已知点 P(x，y)在圆 x2(y1)21 上运动，则y1 x2的最大 值与最小值分别为_ 考点二 与圆有关的最值问题多维探究 例 2 3 3 ， 3 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 设y1 x2k，则 k 表示点 P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该 直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值 由 |2k| k211，解得 k 3 3 ，故填 3 3 ， 3 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 3 角度 2 截距型最值 (2021 海南海口模拟)已知
14、实数 x，y 满足 x2y24(y0)， 则 m 3xy 的取值范围是 ( ) A(2 3，4) B2 3，4 C4,4 D4,2 3 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 x2y24(y0)表示圆 x2y24 的 上半部分，如图所示，直线 3xym0 的斜率 为 3，在 y 轴上的截距为 m；当直线 3xym 0 过点(2,0)时， m2 3 设圆心(0,0)到直线 3xym0 的距离为 d，则 m2 3， d2. 即 m2 3， |m| 2 2. 解得 m2 3，4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 4 角度 3 与距离有关的最
15、值 (2021 陕西西安一中质检)P 是圆 M：x2(y3)24 上的动 点，则 P 到直线 l： 3xy30 的最短距离为 ( ) A5 B3 C2 D1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 如图，过 M 作 MAl 于 A， 当 P 在线段 MA 上时，|PA|为最短距离， |MA| 3 033| 321 3， |PA|MA|21 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引申本例中若P(x，y)，则 (1)(x3)2(y1)2的最大值为_，最小值为_ (2)|x2y2|的取值范围为_ 49 9 82 5，82 5 解析 (1)(x3)2
16、(y1)2表示圆上的点到点 N(3，1)距离的平 方， 由|MN| 0323125 知圆上的点到 N 的距离的最 大值为 7，最小值为 3， 故(x3)2(y1)2的最大值为 49，最小值为 9 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)|x2y2|表示圆上的点到直线 l1：x2y20 距离的 5倍， 又圆心 M(0,3)到直线 l1的距离为 8 5 8 5 5 ， 圆 M 上的点到直线 l2距离的取值范围为 8 5 5 2，8 5 2 2 故|x2y2|的取值范围为82 5，82 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 与圆有关的最值问题的常见
17、解法 (1)形如 yb xa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题 (2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问 题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距 离的平方的最值问题 (4)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值为圆心到定点(定 直线)距离与半径的和与差 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 2 已知实数 x、y 满足方程 x2y24x10求： (1)(角度 1)y x的最大值和最小值； (2)(角度 2)yx 的最大值和最小值；
18、 (3)(角度 3)x2y2的最大值和最小值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)如图， 方程 x2y24x10 表示 以点 C(2,0)为圆心，以 3为半径的圆 设y xk，即 ykx， 则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线 与圆相切，斜率取得最大、最小值 由 |2k0| k21 3，解得 k 23，所以 k max 3，kmin 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)解法一：yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 y xb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值， 此时|20b| 2 3， 解
19、得 b2 6 所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：设圆的参数方程为 x2 3cos ， y 3sin (02)， 则 yx 3sin 3cos 2 6sin 4 2， 当 3 4 时，取最大值 62， 当 7 4 时，取最小值 62 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (3)解法一： x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知 识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3 x2y2的最小值是(2
20、3)274 3 解法二：由(2)中的参数方程可得： x2y2(2 3cos )2( 3sin )274 3cos从而得x2y2的最大 值为 74 3，最小值为 74 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 考点三 与圆有关的轨迹问题师生共研 已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q 为圆上的动点 (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程 解析 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标 为(2x2,2y) 因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24 故线段AP中点的轨迹方程
21、为(x1)2y21 例 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标 原点，连接ON，则ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 求与圆有关的轨迹方程的方法 直接法直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法 | 定义法根据圆或直线的定义列方程求解的方法 | 几何法利用圆的几何性质，得出方程的方法 代入法 找出要求的点与已知点的关系，代入已
22、知点满 足的关系式的方法 | 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 变式训练 3 (2021 河北衡水中学调研)已知 RtABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)， B(3,0)求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)解法一：设 C(x，y)， 因为 A，B，C 三点不共线，所以 y0 因为 ACBC，所以 kAC kBC1， 又 kAC y x1，kBC y x3，所以 y x1 y x31， 化简得 x2y22x30 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x
23、2y22x30(y0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解法二：设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角 形的性质知|CD|1 2|AB|2 由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径的圆(由 于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点) 所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3,0)， M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx 03 2 ，yy 00 2 ， 所以 x
24、02x3，y02y 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将 x02x3，y02y 代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(y0) 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 例 6 对称思想在圆中的应用 (1)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3)2 (y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为 ( ) A5 3或 3 5 B3 2或 2 3 C5 4或 4 5 D4 3或 3 4 (2)已知 A(0,2)，点 P 在直线 xy20 上，点 Q
25、在圆 C：x2y2 4x2y0 上，则|PA|PQ|的最小值是_ D 2 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 解析 (1)圆(x3)2(y2)21 的圆心为 C(3,2)，半径 r1如图，作出点 A(2， 3)关于 y 轴的对称点 B(2，3)由题意可知， 反射光线的反向延长线一定经过点 B 设反射光 线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y (3)k(x2)，即 kxy2k30由反射光线与圆相切可得 |k322k3| 1k2 1，即|5k5| 1k2，整理得 12k225k120， 即(3k4)(4k3)0，解得 k4 3或 k 3 4，故选 D 返回导航
26、高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 (2)圆 C 的方程可化为(x2)2(y1)2 5，其圆心 C(2，1)关于直线 l：xy2 0 的对称点为 C(3，4)，|PA|PQ| 的最小值为|AC| 56232 5 2 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 引 申 本 例 (1) 中 入 射 光 线 所 在 直 线 的 方 程 为 _ 4x3y10或3x4y60 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 1光的反射问题一般化为轴对称解决 2求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段 的最值问题的基本思路： (1)“动化
27、定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离； (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和， 一般要通过对称性解决 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 3定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心的距离加(减)半 径；圆上的点到定直线距离的最大(小)值为圆心到直线的距离加(减)半 径 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第八章 解析几何 A 变式训练 4 已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为 ( ) A5 24 B 171 C62 2 D 17 解析 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C3(2，3)， 又|C2C3| 2323425 2， |PM|PN|的最小值为 5 2315 24故选 A 谢谢观看
