1、11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线,人教版 数学 八年级 上册,当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,把一条线段分成两条相等的线段的点,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,复 习 回 顾,你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?,放、,靠、,过、,画.,过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?,3. 提高学生动手操作及解决问题的能力.,1. 了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.,2. 掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条
2、高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.,三角形高的概念,三角形的高的定义,A,从三角形的一个顶点，,B,C,向它的对边,所在直线作垂线，,顶点,和垂足,之间的线段,叫做三角形的高线，,简称三角形的高.,如右图， 线段AD是BC边上的高.,几何语言：ADBC于点D，读作AD垂直BC于点D或ADC=ADB=90.,你还能画出一条高来吗？,一个三角形有三个顶点，应该有三条高.,(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?,(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？,(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,锐角三角形的三条高交于同一点；,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,如图所示；,锐角三角
3、形的三条高,(1) 画出直角三角形的三条高，,AB,BC,它们有怎样的位置关系？,直角三角形的三条高交于直角顶点.,BD,直角三角形的三条高,(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？,D,E,F,BF,CE,AD,钝角三角形的三条高,A,B,C,D,F,(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？,(4)它们所在的直线交于 一点吗？,O,E,钝角三角形的三条高不相交于一点；,钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三角形的三条高所在直线交于一点.,三角形 内部,直角顶点,三角形 外部,例1 作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(),方法总结：三角
4、形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.,D,识别三角形的高,1.在下图中，正确画出ABC 中边BC 上高的是( ),C,例2 如图所示，在ABC中，ABAC5，BC6，ADBC于点D，且AD4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_,利用三角形的高求值,解析：当BPAC时，BP的值最小. SABC= BCAD，SABC= ACBP， BCAD= ACBP BCAD=ACBP 64=5BP， BP= 所以BP的最小值为,2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度.,解：(1)ABE，A
5、BD，ABC，AED，AEC，ADC. (2)设AB边上的高为x， SABC= BCAE= ABx BCAE=ABx，83=6x 解得x=4.,我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？,三角形中线的概念,如图， 点D 是BC 的中点， 则线段AD 是ABC 的中线，,几何语言：BD =DC = BC,在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线,三角形的中线的定义,如上页图，画出ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？,画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三
6、角形的三条中线.,三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.,1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点. 3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部. 4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则SABD=SACD. 5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.ABD的周长ACD的周长=ABAC.,例3 如图所示，AD是ABC的中线，已知ABD的周长为25 cm，AB比
7、AC长6 cm，则ACD的周长为() A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm,解：AD是BC边上的中线， BD=CD， ABD和ACD周长的差=(AB+BD+AD)(AC+CD+AD)=AB AC. ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm， ACD的周长为256=19(cm).,利用三角形的中线求线段的值,A,3.如图，AD，BE，CF 是ABC 的三条中线 (1)AC = AE ，AE=_； CD = ； AF = AB； (2)若SABC = 12 cm2， 则SABD = ,(3)若AB=4，AC=3，则ABD的周长与ACD的周长之差是_.,2,BD,6
8、cm,EC,1,在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?,三角形的角平分线,B,A,C,用量角器画最简便，用圆规也能.,在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.,折痕AD即为三角形的A的平分线.,在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.,1,2,A,B,C,D,“三角形的角平分线”是一条线段.,几何语言：1=2= BAC,三角形的角平分线的定义,每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用
9、折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ?,做一做,三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.,三角形角平分线的性质,解：AD是ABC的角平分线，BAC68， DACBAD34. 在ABD中，B+ADB+BAD180， ADB180BBAD 1803634 110.,例4 如图，在ABC中，BAC=68，B=36，AD是ABC的一条角平分线，求ADB的度数.,A,利用三角形的角平分线求角的度数,4. 如图，AD，BE，CF 是ABC 的三条角平分线，则： 1 = ； 3 = ； ACB = 2 .,1,2,3,4,2,ABC,4,B,1. 如图
10、，在ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是ABC的中线，则该线段是() A线段DE B线段BE C线段EF D线段FG,2. 如图，ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是BAC、ABC的平分线，BAC=50，ABC=60，则EAD+ACD=() A75 B80 C85 D90,解析：AD是BC边上的高，ABC=60，BAD=30，BAC=50，AE平分BAC， BAE=25，DAE=3025=5， ABC中，C=180ABCBAC=70，EAD+ACD=5+70=75.,A,1下列说法正确的是() A三角形三条高都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点 C三角形的三
11、条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D三角形的角平分线是射线,B,2在ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：BAD=CAD；ABE=CBE；BD=DC； AE=EC其中正确的是 () A B C D,D,A,B,D,C,E,3. 如图，ABC中C=90，CDAB，图中线段中可以作为ABC的高的有() A2条 B3条 C4条 D5条,B,4. 下列各组图形中，哪一组图形中AD是ABC 的BC边上的高 ( ),D,5.填空： (1)如图，AD，BE，CF是ABC的三条中线，则 AB= 2，BD= ，AE= .,(2)如图，AD，BE，CF是ABC的三条角平分线，则1= ，
12、 3=_， ACB=2_.,图,图,AF,DC,2,4,AC,ABC,在ABC中，CD是中线，已知BCAC=5cm，DBC的周长为25cm，求ADC的周长.,解：CD是ABC的中线， BDAD， DBC的周长BCBDCD25cm， 则BD+CD25BC. ADC的周长ADCDAC BDCDAC 25BCAC 25(BCAC)25520cm.,如图，在ABC中，AD是ABC的高，AE是 ABC的角平分线，已知BAC=82，C=40，求DAE的大小.,解： AD是ABC的高，,ADC90., ADC+C+DAC=180，, DAC=180(ADC+C ),=1809040=50.,AE是ABC的角平分线，且BAC=82，,CAE=41，,DAE=DACCAE=5041= 9.,三角形重要线段,高,钝角三角形两短边上的高的画法,中线,会把原三角形面积平分,一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,角平分线,
